超实用高考数学重难点专题复习：导数计算(习题课件)

导法
则
思考1 试求函数y＝ln(2x＋5)的导数.
答 y′＝2x＋1 5·(2x＋5)′＝2x＋2 5.
例1 求下列函数的导数： (1)y＝32x－1； 解 函数y＝32x－1看作函数y＝3u与函数u＝2x－1的复合， ∴y′＝yu′·ux′＝(3u)′·(2x－1)′ ＝(2ln 3)·3u＝2·32x－1·ln 3.
导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数
公式及导数的运算法则
距离高考还有一段时间，不少有经验的老师都会提醒考生，愈是临近高考 ，能否咬紧牙关、学会自我调节，态度是否主动积极，安排是否科学合理，能 不能保持良好的心态、以饱满的情绪迎接挑战，其效果往往大不一样。以下是 本人从事10多年教学经验总结出的超实用新高考数学专题复习讲义希望可以帮 助大家提高答题的正确率，希望对你有所帮助，有志者事竟成！
类型一 利用导数公式求出函数的导数
(1)y＝sin π3；(2)y＝5x；(3)y＝x13；
(4)y＝4 x3；(5)y＝log3x；(6)y＝1－2sin22x.
解 (1)y′＝0； (2)y′＝(5x)′＝5xln 5；
(3)y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－4；
(4)y′＝(4
x3)′＝(x
解析答案
(5)y＝xtan x.
解 f′(x)＝(xtan x)′＝(xcsoisnxx)′
xsin x′cos x－xsin xcos x′
＝
cos2x
sin x＋xcos xcos x＋xsin2x
＝
cos2x
sin xcos x＋x ＝ cos2x .
解析答案
跟踪训练1 (1)若函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，且
解析 ∵y＝x2－12sin x，∴y′＝2x－12cos x. 解析答案
2.函数 y＝c1o－s xx的导数是( C )
－sin x＋xsin x A. 1－x2
xsin x－sin x－cos x B. 1－x2
cos x－sin x＋xsin x C. 1－x2
cos x－sin x＋xsin x
A．π6
B．π4
C．π3
D．34π
【解析】 由于 y＝ x，∴y′＝21x，于是 f ′(41)＝1， ∴曲线在点(41，21)处的切线的斜率等于 1，倾斜角为π4.
例4若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y ＋1＝0，则点P的坐标是________.
解析 设P(x0，y0)，∵y＝xln x， ∴y′＝ln x＋x· ＝1＋ln x，∴k＝1＋ln x0. 又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.∴y0＝eln e＝e. ∴点P的坐标是(e，e).
解 y′＝x2＋1′x2＋3x2＋－3x22＋1x2＋3′
＝2xx2＋3x2＋－32x2x2＋1＝x2＋4x32.
(4)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)； 解 方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝ [(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋ 5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23. 方法二 y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5) ＝x3＋9x2＋23x＋15， y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
解析答案
(2)已知函数 f(x)＝1xcos x，则 f′(π2)等于( A )
A.－2π
2 B.π
1 C.π
D.－1π
cos x′x－cos xx′ －xsin x－cos x
解析 f′(x)＝
x2
＝
x2
，
f′(π2)＝－π2π22＝－2π.
(3)已知
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y＝x2－sin
x 2cos
2x，则 y′＝___2_x_－__12_c_o_s_x.
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，
∴a＝130.
解析答案
例2.已知函数f(x)＝x2·f′(2)＋5x，则f′(2)＝ ________.
解析 ∵f(x)＝x2·f′(2)＋5x， ∴f′(x)＝2f′(2)·x＋5， ∴f′(2)＝2f′(2)×2＋5， ∴3f′(2)＝－5，∴f′(2)＝－.
3 4
)′＝
3
x
1 4
＝
3
；
4 44 x
(5)y′＝(log3x)′＝xln1 3；
(6)y＝1－2sin22x＝cos x，y′＝(cos x)′＝－sin x.
跟踪训练1 (1)下列函数求导运算正确的个数为( C )
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝xln1 2；③ln 1x′＝x；④若 y＝x12，
②f′(x)＝1x，∴f′(x0)＝x10＝x120，解得 x0＝1.
解析答案
知识点三 导数运算法则
1.和差的导数 [f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(.x) 2.积的导数 (1)[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) . (2)[cf(x)]′＝cf′(x). 3.商的导数
k切线 f '(x0 )
4.物理意义：位移函数在t= t0的导数表示物体在t= t0这个时刻瞬时速度，即
v＝s’(t0).
知识点一 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(1)等于( A )
A.24
B.－24
C.10
D.－10
解析 f′(x)＝(x－1)′[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]＋(x－1)[(x－ 2)(x－3) ·(x－4)(x－5)]′ ＝(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′. f′(1)＝(1－2)·(1－3)·(1－4)·(1－5)＋0＝24.
答案
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问题导学
知识点二 几个常用函数的导数
新知探究 点点落实
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝_0__
f(x)＝x
f′(x)＝ _1_
f(x)＝x2
f(x)＝1 x
f(x)＝
x
f′(x)＝_2_x__
f′(x)＝_－_x_12___
1 f′(x)＝__2_x___
答案
题型探究
重点难点 个个击破
解析答案
(2)y＝2x＋1 14； 解 y＝2x＋1 14＝(2x＋1)－4，函数 y＝2x＋1 14看作函数 y＝u－4 与 ＝2x＋1 的复合.
y′＝y′u·u′x＝(u－4)′·(2x＋1)′ ＝－4u－5×2＝－8(2x＋1)－5
－8 ＝2x＋15.
解析答案
(3)y＝5log3(1－x)； 解 函数y＝5log3(1－x)看作函数y＝5log3u与函数u＝1－x的 复合.
D.
1－x
cos x －sin x1－x－cos x·－1
解析 y′＝1－x′＝
1－x2
cos x－sin x＋xsin x ＝ 1－x2 .
1 2345
解析答案
1 2345
3.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( D )
19
16
13
10
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3
知识点回顾
1.导数的概念 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
f
(x0 )
lim
x0
f (x0
Δx) x
f (x0 )
.
2．导函数的概念
f′(x)是 f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作 y′，即
f′(x)＝y′＝
lim
Δx→0
fx＋Δx－fx
Δx
.
3.几何意义： 函数 y=f(x)在点x0处的导就是曲线 y=f(x) 在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.即
f(x)＝ln x
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝__α_xα_－_1___ f′(x)＝_c_o_s_x___ f′(x)＝_－__si_n_x __ f′(x)＝__a_xln_a__ (a>0)
f′(x)＝_e_x__
1 f′(x)＝___xl_n_a__(a>0且a≠1)
f′(x)＝_1x____
的概 数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝
念 f(g(x)) .
复合
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)
函数 的求
的导数间的关系为y′x＝ y′u·u′x ，即y对x的导 数等于_y_对__u_的_导__数__与_u_对__x_的_导__数__的__乘积
f′xgx－fxg′x [gfxx]′＝________[g__x__]2_______ (g(x)≠0).
答案
题型探究
类型一 应用导数的运算法则求导 例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋x3-x4
重点难点 个个击破
解 ∵y＝x2＋x3-x4
∴y′＝(x2)′＋(x3)′-(x4)′＝2x＋3x2-4x3.
解析答案
题型：切线问题
例 1 已知曲线 y＝1x，求曲线在点 P(1,1)处的切线方程；
解：∵P(1,1)在曲线 y＝1x上，且 y′＝－x12， ∴在点 P(1,1)处的切线的斜率 k＝y′|x＝1＝－1； ∴曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)， 即 x＋y－2＝0.
例 2 已知曲线 y＝1x，求曲线过点 Q(1,0)的切线方程．
养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前， 要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌 跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要 善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检 查，查漏补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量 。在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去 面对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难 ”，遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最 好再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30 天冲刺复习方法。
则 y′|x＝3＝－227.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①中(3x)′＝3xln 3，②③④均正确.
解析答案
(2)①已知f(x)＝5x，则f′(2)＝_2_5_l_n__5__.
1 ②已知f(x)＝ln x，且f′(x0)＝x20 ，则x0＝____1____.
解析 ①f′(x)＝5xln 5，f′(2)＝25ln 5.
例5：y=x2的斜率等于2的切线方程为( ) A.2x-y+1=0 B.2x-y+1=0或2x-y-1=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y=0
解析答案
达标检测
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（2）设y＝－2exsin x，则y′等于( D )
A.－2excos x
B.－2exsin x
C.2exsin x
D.－2ex(sin x＋cos x)
解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x).
解析答案
x2＋1 (3)y＝x2＋3；
解：设曲线 y＝1x过点 Q(1,0)的切线与曲线相切于点 A(x0，x10)，则切线 的斜率 k＝－x120，
∴切线方程为 y－x10＝－x120(x－x0)， ∵点 Q(1,0)在切线上，∴－x10＝－x120(1－x0)，解得 x0＝12. 故所求的切线方程为 4x＋y－4＝0.
例 3．函数 y＝ x在点(14，12)处切线的倾斜角为 ( B )
已知 f(x)＝13x3＋3xf′(0)，则 f′(1)＝____1____.
解析 f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0， ∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
解析答案
知识点四 复合函数的导数
复合 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通
函数 过变量u，y可以表示成 x的函数 ，那么称这个函
＝y′ul5n＝3×y′u(u－′x1＝)＝(5llnog335ux)－′1(1. －x)′
解析答案
(4)y＝x2cos(2x－3π). 解 函数 t＝cos(2x－π3)看作函数 t＝cos u 与 u＝2x－3π的复合. ∴[cos(2x－3π)′]＝(cos u)′(2x－π3)′ ＝－2sin u＝－2sin(2x－π3). ∴y′＝(x2)′cos(2x－π3)＋x2[cos(2x－π3)]′ ＝2xcos(2x－π3)－2x2sin(2x－π3).