2019校一模理数答案

1.设集合}052
|{<-=x x
x A ,集合(){}2lg 2B x y x x ==--,则集合=B A （ D ）
A.),2()1,(+∞--∞
B.)
,2(+∞
C.)
0,1[-
D.()
(),10,-∞-+∞
2.下面是关于复数2
1z i
=
-+的四个命题：其中的真命题为（ C ） 1:2p z = 2
2:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-
A.
23,p p B. 12,p p C. ,p p 24 D. ,p p 34 3.下列函数中,与函数y ＝－3|x|的奇偶性相同,且在(－∞,0)上单调性也相同的是( C ) A.y ＝－
|
|1x B.x
x y --=33 C.||log 5.0x y = D.||sin x y = 4.若14
79a -
⎛⎫=
⎪⎝⎭,15
97b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,2
7log 9c =,则( D ) A.b a c << B.b c a << C.c a b << D.c b a << 5.在等比数列{}n a 中,“4a ,12a 是方程2310x x ++=的两根”是“18-=a ”的（ A ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4123a a +=-,4121a a =,则40a <,120a <,则等比数列中4840a a q =<,则81a ==-.在常数列1n a =或1n a =-中,4a ,12a 不是所给方程的两根.则在等比数列{}n a 中,“4a ,12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的充分不必要条件.
6.若
－2x n
x
的展开式中x 3
的系数为80,其中n 为正整数,则
－2x n
x
的展开式中各项系
数的绝对值之和为( C )
A.32
B.81
C.243
D.256
7.若7)4
tan(=+
π
α,则=+αα2sin 2cos 2( A )
A.6425
B.4825
C.1
D.1625
tan α＝34,则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2
α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1
＝1＋4×
34
⎝⎛⎭⎫342
＋1＝64
25
8.已知函数f (x )的部分图象如图所示
,则
f (x )的解析式可以是( D )
A. f (x )＝222x x -
B. f (x )＝2cos x x
C. f (x )＝－2cos x x
D. f (x )＝cos x
x
9.若x,y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4,则k 的值为( D )
A.2
B.－2
C. 12
D.－1
2
作出可行域,平移直线y ＝x,由z 的最小值为－4求参数k 的值. 作出可行域,如图中阴影部分所示,直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫－2k ，0.∵z ＝y －x 的最小值为－4,∴2
k ＝－4, 解得k ＝－1
2
,
10.设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点,M 是线段PF 上的点,且|PM |＝2|MF |,则直线OM 的斜率的最大值为( C )
A.
33 B.23 C.2
2
D.1 如图所示,设P (x 0,y 0)(y 0>0),则y 20＝2px 0,
即x 0＝y 20
2p . 设M (x ′,y ′),由PM →＝2MF →
,
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝－y ，
化简可得⎩⎨⎧
x ′＝p ＋x
03
，y ′＝y
3.
∴直线OM 的斜率为k ＝y 0
3p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2
y 0＋y 0
≤2p 22p 2＝2
2(当且仅当y 0＝2p 时取等号).
11.已知点G F E 、、分别是正方1111
A B C D A B C D -的棱111DD CC AA 、、的中点,点
P Q N M 、、、分别在线段11B C BE AG DF 、、、上. 以P Q N M 、、、为顶点的三棱锥P MNQ -的俯视图不可能是（ C ）
A. B. C. D.
解析：当M 与F 重合、N 与G 重合、Q 与E 重合、P 与 B1重合时,三棱锥P-MNQ 的俯视图为A ；当M 、N 、Q 、P 是所在线段的中点时为B ；当M 、N 、P 是所在线段的非端点位置,而E 与B 重合时,三棱锥 P-MNQ 的俯视图有选项D 的可能. 故选C. 12.关于函数()2
ln f x x x
=
+,下列说法正确的是（ B ） （1）2x =是()f x 的极大值点
（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点
（3）存在正实数k ,使得()f x kx >恒成立
（4）对任意两个正实数12,x x ,且21x x >,若()()12f x f x =,则124x x +>
A. (1)(2)(3)(4)
B. (2)(4)
C. (2)(3)
D. (3)(4)
13.已知非零向量a ,b ,c 满足a ＋b ＋c ＝0,向量a ,b 的夹角为120°,且|b |＝2|a |,则向量a 与c 的夹角为( B )
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
因为〈a ,b 〉＝120°,|b |＝2|a |,a ＋b ＋c ＝0,所以在△
OBC 中,BC 与CO 的夹角为90°,即a 与c 的夹角为90°.
14. 曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>
的一条渐近线与圆(()2
2
1
1x y -+-=相切,
则此双曲线
的离心率为（ A ） A.2
因为双曲线222
21x y a b
-=的一条渐近线为b
y x a =±,0bx ay ±=,所以
2222213
00b a b a b b =⇒+±=+
⇒=⇒=
,因为0
a >,0
b >
, 所以2b c a =⇒=,2e =,故选A.
D
16．设锐角ABC
△三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
)
cos cos2sin
a
B b A c C
+=,1
b=,则c
的取值范围为_______
⎝
___.
)
cos cos
2sin
a B
b A
c C
+=及余弦定理得
222222
2sin
22
a c
b b
c a
a b c C
ac bc
⎫
+-+-
⋅+⋅=
⎪
⎭
,2sin
c
C
=,
∴
sin C.
又ABC
△为锐角三角形,∴
π
3
C=.
由正弦定理得
sin sin
c b
C
B
=,∴
sin
sin
b C
c
B
=.由
2
2π
π
2
π
3
B
B
<<
<-<
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
得
π
6
π
2
B
<<,
∴
1
sin1
2
B
<<,c
<∴c的取值范围为
⎝
.
17.已知数列{}n a满足2
3
12
23
2222
n
n
a a
a a
n n
++++=+
(Ⅰ)求数列{}n a的通项公式；(Ⅱ)若数列n
n
a
b
2
log
=,求数列}
{
n
b的前n项和
n
S. 解：(Ⅰ
) 2
3
12
23
2222
n
n
a a
a a
n n
++++=+……①,
∴当2
n≥时,()2
31
12
231
11
2222
n
n
a a
a a
n n
-
-
++++=-+-②
①-②得()
22
2
n
n
a
n n
=≥,∴()
1
22
n
n
a n n
+
=⋅≥.
又∵当1n =时,
1
112
a =+,∴14a =,∴12n n a n +=⋅. (Ⅱ))2(log 12+⋅=n n n
b n n 2log 1++=, !
2l o g 2
)3(n n n n S ++=
18.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格
.
(1)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件,求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；
(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测,已知三件中有两件是合格品的条件下,另外一件是不合格品的概率.
(3)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件,用X 表示乙车间的零件个数,求X 的分布列与数学期望.
[解] (1)由题意得甲车间的合格零件数为4,乙车间的合格零件数为2, 故所求概率为P ＝⎝⎛⎭⎫1－C 2
4C 28⎝⎛⎭⎫1－C 2
2C 24＝55
84
. 即甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率为55
84.
（2）7
63414241424=
+=
C C C C C P
(3)由题意可得X 的所有可能取值为0,1,2.
P (X ＝0)＝C 28C 212＝1433, P (X ＝1)＝C 14C 1
8C 212＝1633, P (X ＝2)＝C 24
C 212＝111
.
∴ 随机变量X 的分布列为
∴E (X )＝0×1433＋1×1633＋2×111＝2
3
.
19.如图,四棱锥P －ABCD 中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,AB ＝2, ∠BAD ＝π3,M 为BC 上一点,且BM ＝1
2,MP ⊥AP .
(1)求PO 的长；(2)求二面角A －PM －C 的余弦值.
解 (1)如图,连接AC ,BD ,因ABCD 为菱形,
则AC ∩BD ＝O ,且AC ⊥BD .
以O 为坐标原点,OA →,OB →,OP →
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O －xyz .
因∠BAD ＝π3,故OA ＝AB ·cos π
6＝3,
OB ＝AB ·sin π
6
＝1,
所以O (0,0,0),A (3,0,0),B (0,1,0),C (－3,0,0),OB →
＝(0,1,0),BC →
＝(－3,－1,0).
由BM ＝12,BC ＝2知,BM →＝14BC →
＝⎝⎛⎭⎫－34，－1
4，0,
从而OM →
＝OB →
＋BM →
＝⎝
⎛⎭⎫－
34，34，0, 即M ⎝⎛⎭
⎫－34，34，0.设P (0,0,a ),a >0,
则AP →＝(－3,0,a ),MP →
＝⎝⎛
⎭⎫
34
，－34，a . 因为MP ⊥AP ,故MP →·
AP →
＝0, 即－34＋a 2＝0,所以a ＝32,a ＝－32(舍去),即PO ＝3
2.
(2)由(1)知,AP →
＝⎝
⎛⎭⎫－3，0，
32,MP →
＝⎝⎛⎭⎫34，－34，32,CP →
＝⎝
⎛⎭⎫3，0，3
2. 设平面APM 的法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1), 平面PMC 的法向量为n 2＝(x 2,y 2,z 2),
由n 1·AP →
＝0,n 1·MP →
＝0,得
⎩⎨⎧
－3x 1
＋32z 1
＝0，
34x 1
－34y 1
＋3
2z 1
＝0，
故可取n 1＝⎝⎛⎭
⎫1，533，2, 由n 2
·MP →
＝0,n 2
·CP →
＝0,得 ⎩⎨
⎧
34x 2
－34y 2
＋3
2
z 2
＝0，3x 2
＋32
z 2
＝0， 故可取n 2＝(1,－3,－2),
从而法向量n 1,n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1,n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－15
5,
故所求二面角A －PM －C 的余弦值为－
15
5
. 20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,焦距为4,直线1:b
l y x c =与椭
圆相交于A 、B 两点,2F 关于直线1l 的对称点E (0,b).斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点
P ,与椭圆相交于C 、D 两点
.
（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围.
解析:（1）椭圆方程为22
184
x y +=.
（2）设直线2l 方程：+y x m =-,()11,C x y 、()22,D x y ,
由22184x y y x m +==-+⎧⎪⎨⎪⎩,得22
34280x mx m -+-=,所以122
12
43283x x m m x x +=-=⎧
⎪⎪⎨⎪⎪⎩
, 由（1）知直线1l ：y x =,
代入椭圆得A ⎛ ⎝
,B ,
得AB =,由直线
2l 与线段AB 相交于点P ,
得m ⎛∈ ⎝,满足0>∆
.
12CD x =-=而21l k =-与11l k =,知21l l ⊥
,12ACBD S AB CD ∴=
⨯
由m ⎛∈ ⎝,得232,03m ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦,
3232,93⎛⎤
⎥⎝⎦, ∴四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤
⎥⎝⎦
.
21.已知函数()()2e ,x f x a x bx a b =+-∈R ,其导函数为()'y f x =.
（1）当2b =时,若函数()'y f x =在R 上有且只有一个零点,求实数a 的取值范围； (2)当1=a 时,若0)3()(/
≥+-x m x f ,)(R m ∈,求b mb +的最大值。

解：（1）当2b =时,()2e 2x f x a x x =+-,()a ∈R ,()'e 22x f x a x =+-,()a ∈R , 由题意得e 220x a x +-=,即22e x
x
a -=
,
令()22e x x h x -=
,则()24
0e
x
x h x -'==,解得2x =, 当2x <时,()'0h x <,()h x 单调递减；当2x >时,()'0h x >,()h x 单调递增, ()2
2
()2e min h x h ∴==-
, 当1x =-时,()14e 0h -=>,当2x >时,()220e x
x
h x -=
<, 则2
2
e a =-
或[)0,a ∈+∞时,()'f x 在R 上有且只有一个零点. （2）（参考2012年高考题答案） 由已知条件得e x -(m+1)x≥b.①
(i)若m+1<0,则对任意常数b,当x<0,且x<1
1+-m b
时,可得e x -(m+1)x<b,因此①式不成立. (ii)若m+1=0,则(m+1)b=0.
(iii)若m+1>0,设g(x)=e x -(m+1)x, 则g'(x)=e x -(m+1). 当x ∈(-∞,ln(m+1))时,g'(x)<0;当x ∈(ln(m+1),+∞)时,g'(x)>0. 从而g(x)在(-∞,ln(m+1))上单调递减,在(ln(m+1),+∞)上单调递增. 故g(x)有最小值g(ln(m+1))=m+1-(m+1)ln(m+1). 所以原不等式等价于b≤m+1-(m+1)ln(m+1).② 因此(m+1)b≤(m+1)2-(m+1)2ln(m+1).
设h(m)=(m+1)2-(m+1)2ln(m+1), 则h'(m)=(m+1)[1-2ln(m+1)].
所以h(m)在)1,1(--e 上单调递增,在),1(+∞-e 上单调递减,故h(m)在1-=e m 处取
得最大值. 从而h(m)≤
2e ,即(m+1)b≤2
e 当a=1-e ,b=
2
e 时,②式成立,故当1=a 时,0)3()(/
≥+-x m x f . 综合得,(m+1)b 的最大值为2
e .
22.已知直线l ：⎩⎨⎧
x ＝1＋1
2t ，
y ＝3
2t
(t 为参数),曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝sin θ
(θ为参数).
(1)设直线l 与曲线C 1相交于A ,B 两点,求劣弧AB 的弧长；
(2)若把曲线C 1上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标缩短为原来的3
2,得到曲线C 2,设
点P 是曲线C 2上的一个动点,求点P 到直线l 的距离的最小值,及点P 坐标。

[解] (1)直线l 的普通方程为y ＝3(x －1),曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1.
联立得⎩⎨⎧
y ＝3x －，
x 2＋y 2
＝1，
得交点为(1,0),⎝⎛⎭⎫12
，－3
2,则|AB |＝1,劣弧AB 的弧长=3
π
(2)曲线C 2
的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1
2cos θ，
y ＝3
2sin θ
(θ为参数),
设点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫12cos θ，3
2sin θ,从而点P 到直线l 的距离为d ＝
⎪⎪⎪
⎪
32cos θ－32sin θ－32
＝
34⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋2,当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－1时,d 取得最小值,且最小值为23－64
. P （4
6-4
2，
） 23.已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|.
(1)当a <2时,函数f (x )的最小值为3,求实数a 的值. (2)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解,求实数a 的取值范围；
[解] (1)函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|的零点为a 2和1,当a <2时知a
2
<1,
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－3x ＋a ＋1，x <
a 2
x －a ＋1，a 2
≤x ≤13x －a －1，x >1
由图可知f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 2上单调递减,在⎣⎡⎭⎫a
2，＋∞上单调递增, ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a
2
＋1＝3, 得a ＝－4<2(合题意),即a ＝－4. (2)由题意f (x )≤2－|x －1|,即为⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪x －a
2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪
a 2－1,
由不等式f (x )≤2－|x －1|有解, ∴⎪⎪⎪
⎪
a 2－1≤1,即0≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是[0,4].。