【沪科版】初二数学上期中试题(带答案)(2)

一、选择题
1．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（ ）
A ．16
B ．32
C ．64
D ．128
2．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
3．如图，在ABC ∆中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交
,AB AC 于点M 和N ，再分别以,M N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．AD 是∠BAC 的平分线
B ．60AD
C ∠=︒ C ．点
D 在AB 的垂直平分线上 D ． : 1:3DAC ABD S S ∆∆=
4．如图，在Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 长为半径作弧交BC 于点
D ，再分别以点B ，D 为圆心，以大于
12
BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，如果AB ＝3，AC ＝4，那么线段AE 的长度是（ ）
A ．125
B ．95
C ．85
D ．75
5．如图，△ACB ≌△A′C B′，∠ACB ＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（ ）
A ．40°
B ．35
C ．30°
D ．45°
6．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）
A ．3cm
B ．6cm
C ．9cm
D ．12cm 7．如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ．
E 、
F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )
A ．a ＋c
B ．b ＋c
C ．a ＋b －c
D ．a －b ＋c 8．下列说法正确的是（ ）
A ．两个长方形是全等图形
B ．形状相同的两个三角形全等
C ．两个全等图形面积一定相等
D ．所有的等边三角形都是全等三角形 9．已知两条线段15cm a =，8cm b =，下列线段能和a ，b 首尾相接组成三角形的是
（ ）
A ．20cm
B ．7cm
C ．5cm
D ．2cm 10．在△ABC 中，∠A ＝x °，∠B ＝(2x ＋10)°，∠C 的外角大小(x ＋40)°，则x 的值等于（ ）
A ．15
B ．20
C ．30
D ．40 11．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、C
E 相交于点D ，则BDC
∠的度数是（ ）
A ．65︒
B ．75︒
C ．85︒
D ．105︒
12．现有两根木棒，长度分别为5cm 和13cm ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）
A ．20cm 的木棒
B ．18cm 的木棒
C ．12cm 的木棒
D ．8cm 的木棒
二、填空题
13．等腰三角形的周长为24，其中一边为6，则另两边的长分别为__________． 14．如图，DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，若110BAC ∠=︒，则
DAE =∠__________°．
15．如图所示，在ABC 中，D 是BC 的中点，点A 、F 、D 、E 在同一直线上．请添加一个条件，使BDE CDF ≌（不再添其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．你添加的条件是______
16．如图，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE BC ⊥于点E ，若2DE =，7BC =，12ABC S =△，则AB 的长为______．
17．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．
18．已知三角形三边长分别为m ，n ，k ，且m 、n 满足2|9|(5)0n m -+-=，则这个三角形最长边k 的取值范围是________．
19．如图，在ABC 中，80B ∠=︒，BAC ∠和BCD ∠的平分线交于点E ，则E ∠的度数是______．
20．若线段AM ，AN 分别是ABC ∆的高线和中线，则线段AM ，AN 的大小关系是AM _______AN （用“≤”，“≥”或“=”填空）．
三、解答题
21．如图，在ABC 中，90,C AC BC ∠=︒>，D 为AB 的中点，E 为CA 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ．作点B 关于直线DF 的对称点G ，连接DG ．
（1）依题意补全图形；
（2）若ADF α∠=．
①求EDG ∠的度数（用含α的式子表示）；
②请判断以线段,,AE BF EF 为边的三角形的形状，并说明理由．
22．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，点E 在AD 上．
（1）连接BE ，CE ，求证：BE CE =；
（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF AC ⊥，45BAC ∠=︒，原题设其他条件不变．求证：AB BF EF =+．
23．作图题：已知∠α，线段m 、n ，请按下列步骤完成作图（不需要写作法，保留作图痕迹）
（1）作∠MON ＝∠α
（2）在边OM 上截取OA ＝m ，在边ON 上截取OB ＝n ．
（3）作直线AB ．
24．如图①，∠BAD=90°，AB=AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥CA 的延长线
点E ，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D ，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD ，得△ABC ≌△DAE 进而得到AC=DE ，BC=AE ， 我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．
请应用上述“一线三等角”模型，解决下列问题：
（1）如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AC=AE ，连接BC 、DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ，求证：点G 是DE 的中点．
（2）如图③，在平面直角坐标系中，点A 为平面内任意一点，点B 的坐标为（4，1），若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标．
25．如图，已知在ABC 中，CE 是外角ACD ∠的平分线，BE 是ABC ∠的平分线．
（1）求证：2A E ∠=∠．
（2）若A ABC ∠=∠，求证：//AB CE ．
26．如图，在ABC 中，40B ∠=，80C ∠=．
（1）求BAC ∠的度数；
（2）AE 平分BAC ∠交BC 于E ，AD BC ⊥于D ，求EAD ∠的度数．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据三角形的外角性质以及等边三角形的判定和性质得出OA1=B1A1=1，OA2=B2A2=2，OA3=B3A3=224
=，…进而得出答案．
=，OA4=B4A4=328
【详解】
如图，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠2=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1= A1A2=1，
∵△A2B2A3是等边三角形，
同理可得：OA2=B2A2=2，
同理；OA3=B3A3=224
=，
OA4=B4A4=328
=，
OA5=B5A5=4216
=，
…，
以此类推：
=，
所以OA7=B7A7=6264
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出OA2=B2A2=2，OA3=B3A3=224
=，…进而发现规律是解题的关键．
=，OA4=B4A4=328
2．D
解析：D
【分析】
点D到点A、点B的距离相等可知点D在线段AB的垂直平分线上，据此可得答案．【详解】
解：∵点D到点A、点B的距离AD=BD，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
故选择：D ．
【点睛】
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图． 3．D
解析：D
【分析】
根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，即可判断A ；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，即可判断B ；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断C ；由30CAD ∠=︒，可得12CD AD =
，由AD DB =，可得12DC DB =．可得::DAC ABD S
S CD DB =，由12CD DB =，可得:1:21:3DAC ABD S S =≠，即可判断
D ．
【详解】
解：根据作图方法可得AD 是BAC ∠的平分线，故A 正确；
∵90,30C B ∠=︒∠=︒，
∴60CAB ∠=︒．
∵AD 是BAC ∠的平分线，
∴30DAC DAB ∠=∠=︒．
∴60ADC ∠=︒．故B 正确；
过D 作DE ⊥AB
∵30,30B DAB ∠=︒∠=︒，
∴AD DB =．
∴AE=BE
∴点D 在AB 的垂直平分线上．故C 正确；
∵30CAD ∠=︒， ∴12
CD AD =
， ∵AD DB =， ∴12DC DB =
． ∴12DAC CD AC S
⋅=，12ABD DB AC S ⋅=， ∴::DAC ABD S
S CD DB =， ∴12
CD DB =， ∴:1:21:3DAC ABD S S =≠，故D 错误．
故选择：D．
【点睛】
本题考查角平分线的作图方法及性质应用，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据作图过程可得AP是BD的垂直平分线，根据勾股定理可得BC的长，再根据等面积法求出AE的长即可．
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC225
AB AC
+=，
根据作图过程可知：AP是BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，AE⊥BD，
∴△ABC的面积：1
2AB•AC＝
1
2
BC•AE，
∴5AE＝12，
∴AE＝12
5
．
故选：A．
【点睛】
本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
根据已知ACB≌A′CB′，得到∠A′CB′=∠ACB=70︒，再通过∠ACB′=100︒，继而利用角的和差求得∠BCB′=30︒，进而利用∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′得到结论．
【详解】
解：∵ACB≌A′CB′，
∴∠A′CB′=∠ACB=70︒，
∵∠ACB′=100︒，
∴∠BCB′=∠ACB′-∠ACB=30︒，
∴∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′=40︒，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
过点O作MN，MN⊥AB于M，证明MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度，再把它们求和即可．
【详解】
如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm，
∴OM＝OE＝3cm，
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON＝OE＝3cm，
∴MN＝OM＋ON＝6cm，
即AB与CD之间的距离是6cm，
故选B
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．
7．C
解析：C
【分析】
由“AAS”可证△ABF≌△CDE，根据全等三角形的性质可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，则可推出AD＝AF＋DF＝a＋（b−c）＝a＋b−c．
【详解】
解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，
∵EF＝c，
∴AD＝AF＋DF＝a＋（b−c）＝a＋b−c．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法并准确寻找全等三角形解决问题．
8．C
解析：C
【分析】
性质、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答．
【详解】
A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；
B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；
C、两个全等图形面积一定相等，故正确；
D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形；
故选：C．
【点睛】
此题考查全等图形的概念及性质，熟记概念是解题的关键．
9．A
解析：A
【分析】
根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
【详解】
A、15+8=23>20，能组成三角形，符合题意；
B、7+8=15，不能组成三角形，不合题意；
C、5+8=13<15，不能组成三角形，不合题意；
D、2+8=10＜15，不能组成三角形，不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较．
10．A
解析：A
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列出方程求解即可．
【详解】
解：∵∠C的外角=∠A+∠B，
∴x+40=2x+10+x，
解得x=15．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵∠CEA=60︒，∠BAE=45︒，
∴∠ADE= 180︒−∠CEA−∠BAE=75︒，
∴∠BDC=∠ADE=75︒，
故选：B
【点睛】
本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
12．C
解析：C
【分析】
设选取的木棒长为xcm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，选出合适的x的值即可．
【详解】
解：设选取的木棒长为xcm，
∵两根木棒的长度分别为5cm和13cm，
∴13cm-5cm＜x＜13cm+5cm，即8cm＜x＜18cm，
∴12cm的木棒符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
二、填空题
13．【分析】题中没有指明长为的边长是腰还是底则分两种情况进行分析还应验证是否满足三角形的三边关系【详解】当腰长是时底边长不能构成三角形；当底长是时三角形的腰能构成三角形其他两边长为故答案为：【点睛】本题 解析：9，9
【分析】
题中没有指明长为6的边长是腰还是底，则分两种情况进行分析，还应验证是否满足三角形的三边关系．
【详解】
当腰长是6时，底边长246612=--=，6、6、12不能构成三角形；
当底长是6时，三角形的腰()24629=-÷=，6、9、9能构成三角形，其他两边长为9、9．
故答案为：9，9．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目—定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14．【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD ∠C=∠CAE 则有∠BAD+∠CAE=70°进而求得∠DAE 的度数【详解】解：∵在△A
解析：40︒
【分析】
先由已知求出∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD ，∠C=∠CAE ，则有∠BAD+∠CAE=70°，进而求得∠DAE 的度数．
【详解】
解：∵在△ABC 中，∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，
∵DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，
∴AD=BD ，AE=CE ，
∴∠B=∠BAD ，∠C=∠CAE ，
∴∠BAD+∠CAE=70°，
∴∠ADE=∠BAC ﹣（∠BAD+∠CAE ）=110°﹣70°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质是解答的关键．
15．ED=FD （答案不唯一∠E=∠CFD 或∠DBE=∠DCF ）【分析】根据三角形全等的判定方法SAS 或AAS 或ASA 定理添加条件然后证明即可【详解】解：∵D 是
的中点∴BD=DC①若添加ED=FD在△BD
解析：ED=FD（答案不唯一，∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）
【分析】
根据三角形全等的判定方法SAS或AAS或ASA定理添加条件，然后证明即可．【详解】
解：∵D是BC的中点，
∴BD=DC
①若添加ED=FD
在△BDE和△CDF中，
BD CD
BDE CDF ED FD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BDE≌△CDF（SAS）；
②若添加∠E=∠CFD
在△BDE和△CDF中，
BDE CDF
E CFD
BD CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
③若添加∠DBE=∠DCF
在△BDE和△CDF中，
BDE CDF BD CD
DBE DCF ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
故答案为：ED=FD（答案不唯一，∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
16．5【分析】作DF⊥AB于F根据角平分线的性质得到DE=DF根据三角形的面积公式计算即可；【详解】如图：作DF⊥AB于F∵BD平分
∠ABCDE⊥BCDF⊥AB∴DE=DF∴×AB×DF+×BC×DE=
解析：5
【分析】
作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据三角形的面积公式计算即可；【详解】
如图：作DF⊥AB于F，
∵ BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
∴1
2×AB×DF+
1
2
×BC×DE=ABC
S
∆
，
即
1
2
×AB×2+
1
2
×7×2=12，
解得：AB=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；17．3【分析】由AD⊥CEBE⊥CE可以得到∠BEC=∠CDA=90°再根据∠ACB=90°可以得到∠BCE=∠CAD从而求得△CEB≌△ADC然后利用全等三角形的性质可以求得BE的长【详解】解：∵∠A
解析：3
【分析】
由AD⊥CE，BE⊥CE，可以得到∠BEC=∠CDA=90°，再根据∠ACB=90°，可以得到
∠BCE=∠CAD，从而求得△CEB≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求得BE的长．【详解】
解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
在△CEB和△ADC中，
BCE CAD
BEC CDA AC BC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△CEB≌△ADC（AAS）；
∴BE=CD，CE=AD=9．
∵DC=CE-DE，DE=6，
∴DC=9-6=3，
∴BE=3．
故答案为：3
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
18．【分析】根据求出mn的长根据三角形三边关系求出k的取值范围再根据k 为最长边进一步即可确定k的取值【详解】解：由题意得n-9=0m-5=0解得
m=5n=9∵mnk为三角形的三边长∴∵k为三角形的最长边
解析：914k ≤<
【分析】
根据2|9|(5)0n m -+-=求出m 、n 的长，根据三角形三边关系求出k 的取值范围，再根
据k 为最长边进一步即可确定k 的取值．
【详解】
解：由题意得n-9=0，m-5=0，
解得 m=5，n=9，
∵m ，n ，k ，为三角形的三边长，
∴414k ≤<，
∵k 为三角形的最长边，
∴914k ≤<．
故答案为：914k ≤<
【点睛】
本题考查了绝对值、偶次方的非负性，三角形的三边关系，根据题意求出m 、n 的长是解题关键，确定k 的取值范围时要注意k 为最长边这一条件．
19．40°【分析】根据角平分线的性质可得∠EAC=∠BAC ∠ECD=∠BCD 最后根据三角形外角的性质解答即可【详解】解：∵∠BAC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点E ∴∠EAC=∠BAC ∠ECD=∠BCD
解析：40°
【分析】
根据角平分线的性质可得∠EAC=
12∠BAC,∠ECD=12∠BCD ，最后根据三角形外角的性质解答即可．
【详解】
解：∵∠BAC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点E ，
∴∠EAC=12∠BAC ，∠ECD=12
∠BCD ， ∵∠BCD-∠BAC=∠B=80°， ∴∠ECD-∠EAC=
12（∠BCD-∠BAC ）=40°， ∵E ∠是△ACE 的外角
∴∠E=∠ECD-∠EAC=40°．
故答案为40°．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角的性质等知识点，灵活利用三角形外角的性质是解答本题的关键．
20．；【分析】根据三角形的高的概念得到AM ⊥BC 根据垂线段最短判断【详解】解：如图∵线段AM 是△ABC 边BC 上的高∴AM ⊥BC 由垂线段最短可知
AN≥AM 故答案为：【点睛】本题考查的是中线和高的概念掌握垂
解析：≤；
【分析】
根据三角形的高的概念得到AM ⊥BC ，根据垂线段最短判断．
【详解】
解：如图，
∵线段AM 是△ABC 边BC 上的高，
∴AM ⊥BC ，
由垂线段最短可知，AN≥AM ，
故答案为：≤．
【点睛】
本题考查的是中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．
三、解答题
21．（1）补图见解析；（2）①90EDG α∠=︒-；②以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，理由见解析．
【分析】
(1)根据题意画出图形解答即可；
(2) ①根据轴对称的性质解答即可；②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE GE =，进而解答即可．
【详解】
解：（1）补全图形，如图所示，
（2）①∵ADF α∠=，∴180BDF α∠=︒-，
由轴对称性质可知，180GDF BDF α∠=∠=︒-，
∵DF DE ⊥，∴90EDF ∠=︒，
∴1809090EDG GDF EDF αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-，
②以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，
如图,连接,GF GE ，
由轴对称性质可知，,GF BF DGF B =∠=∠，
∵D 是AB 的中点，∴AD BD =，
∵GD BD =，∴AD GD =，
∵90,GDE EDA DE DE α∠=∠=︒-=，
∴
GDE ADE ≌，∴,EGD EAD AE GE ∠=∠=，
∵90EAD B ∠=︒+∠，∴90EGD B ∠=︒+∠，
∴9090EGF EGD DGF B B ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒， ∴以线段,,GE GF EF 为边的三角形是直角三角形，
∴以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）先根据等腰三角形的性质得出∠BAE=∠CAE ，再根据SAS 证明△ABE ≌△ACE 即可； （2）由BF ⊥AC ，∠BAC=45°就可以求出AF=BF ，在由条件证明△AEF ≌△BCF 就可以得出EF=CF ，结合已知AB=AC 即可得出结论．
【详解】
证明：（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，
∴∠BAE=∠CAE ，
在△ABE 和△ACE 中，
AB AC BAE CAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABE ≌△ACE （SAS ），
∴BE=CE ；
（2）∵BF ⊥AF ，
∴∠AFB=∠CFB=90°．
∵∠BAC=45°，
∴∠ABF=45°，
∴∠ABF=∠BAC ，
∴AF=BF ．
∵AB=AC ，点D 是BC 的中点，
∴AD ⊥BC ，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF ⊥AC ，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF ，
在△AEF 和△BCF 中，
EAF CBF AF BF
AFE BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AEF ≌△BCF （ASA ）
∴EF=CF ．
∴AB=AC=AF+FC=BF+EF
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）先画一条射线ON ，以∠α的顶点为圆心，任意长度为半径画弧，交∠α的两个边于两个点，这两个点的距离记为a ，接着以点O 为圆心，同样的长度为半径画弧，交ON 于一个点，以这个点为圆心，a 为半径画弧，与刚刚画的弧有一个交点，连接这个点和点O ，得到射线OM ，即可得到∠MON ＝∠α；
（2）以点O 为圆心，m 为半径画弧，交OM 于点A ，以点O 为圆心，n 为半径画弧，交ON 于点B ；
（3）连接AB ，线段AB 所在的直线即直线AB ．
【详解】
解：（1）如图所示，
（2）如图所示，
（3）如图所示，
【点睛】
本题考查尺规作图，解题的关键是掌握作已知角度的方法，截取线段和画直线的方法． 24．（1）见解析；（2）A(
32，52)或(52，-32)． 【分析】
（1）过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ．根据“K 字模型”即可证明AH=DM 和AH=EN ，即EN=DM ，再根据全等三角形的判定和性质即可证明DG=EG ，即点G 是DE 的中点．
（2）分情况讨论①当A 点在OB 的上方时，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．根据“K 字模型”即可证明AC BD OC AD DE ===，，再利用B 点坐标即可求出A 点坐标．②当A 点在OB 的下方时，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．同理即能求出A 点坐标．
【详解】
（1）如图，过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ，则∠DMA=90°，∠ENG=90°．
∵∠BHA=90 ，
∴∠2+∠B=90°．
∵∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠1 ．
在△ABH 和△DAM 中1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABH ≅△DAM （AAS ），
∴AH=DM ．
同理 △ACH ≅△EAN （AAS ），
∴ AH=EN ．
∴EN=DM ．
在△DMG 和△ENG 中MGD NGE DMG ENG DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△DMG ≅△ENG （AAS ）．
∴DG=EG ．
∴点G 是DE 的中点．
（2）根据题意可知有两种情况，A 点分别在OB 的上方和下方．
①当A 点在OB 的上方时，如图，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．
利用“K 字模型”可知ACO BDA ≅，
∴AC BD OC AD DE ===，，
设AC x =，则BD x =，
∵1DE BD BE x =+=+，
∴1OC AD DE x ===+，
又∵4CD AD AC =+=，即14x x ++=， 解得32x =
， ∴32
AC =，35122DE =+=．
即点A 坐标为(32，52
)．
②当A 点在OB 的下方时，如图，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．
根据①同理可得：52AP =
，32MQ =． 即点A 坐标为(52，32
-)．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质．熟练利用三角形的判定方法是解答本题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可求证；
（2）由∠A=2∠E ，∠A=∠ABC ，∠ABC=2∠ABE 得∠ABE=∠E ，从而AB ∥CE ．
【详解】
证明：（1）∵ACD ∠是ABC 的一个外角，2∠是BCE 的一个外角，
∴ACD ABC A ∠=∠+∠，21E ∠=∠+∠，
∴A ACD ABC ∠=∠-∠，21E ∠=∠-∠．
∵CE 是外角ACD ∠的平分线，BE 是ABC ∠的平分线，
∴22ACD ∠=∠，21ABC ∠=∠，
∴2221A ∠=∠-∠
2(21)=∠-∠
2E =∠．
（2）由（1）可知2A E ∠=∠．
∵A ABC ∠=∠，2ABC ABE ∠=∠，
∴22E ABE ∠=∠，
即E ABE ∠=∠，
∴//AB CE ．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形的外角性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
26．（1）60BAC ∠=；（2）20EAD ∠=
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理求解即可；
（2）根据垂直定义和三角形内角和定理求得∠DAC=10°，再根据角平分线的定义求得∠CAE=30°，两角作差即可求解．
【详解】
解：（1）∵180B BAC C ∠+∠+∠=，40B ∠=，80C ∠=，
∴180408060BAC ∠=--=；
（2）∵AD BC ⊥，
∴90ADC ∠=，
∵180,80DAC ADC C C ∠=-∠-∠∠=，
∴180908010DAC ∠=--=，
∵AE 平分BAC ∠， ∴1302
BAE CAE BAC ∠=∠=∠=， ∵EAD CAE DAC ∠=∠-∠，
∴20EAD ∠=．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、垂直定义，熟练掌握角平分线的定义和三角形的内角和定理是解答的关键．。