【高考数学状元之路——最新高考数学名师讲解专题】专题复习课件【9】高考解题中的数学思想
第七节 数学归纳法-高考状元之路
第七节 数学归纳法预习设计 基础备考知识梳理1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出 的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为 归纳法和 归纳法．2．数学归纳法(1)数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：①当n 取第1个值0n 时命题成立；②假设当 ,(,+∈=N k k n 且≥k 0n )时，命题成立的前提下成立的前提下，推出当1+=k n 时命题也成立，那么可以断定这个命题对于n 取第1个值后面的所有对正整数成立．(2)数学归纳法证题的步骤；①（归纳奠基）证明当n 取第一个值 时，命题成立． ②（归纳递推）假设 *),(0N k n k ∈≥时命题成立，证明当 对命题也成立． 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立，典题热身1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为)3(21-n n 条时，第一步检验n 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.0答案：C2．已知,121111)(2nn n n n f +⋅⋅⋅⋅+++++=则( ) )(.n f A 中共有n 项，当2=n 时，3121)2(+=f )(.n f B 中共有1+n 项，当2=n 时，413121)2(++=f )(.n f c 中共有n n -2项，当2=n 时，3121)2(+=f )(.n f D 中共有12+-n n 项，当2=n 时，413121)2(++=f 答案：D3．用数学归纳法证明等式⋅⋅=+++12)()2)(1(n n n n n *),)(12(.3N n n ∈-⋅ 从”到“1+k k 左端需增乘的代数式为（ ）12.+k A )12(2.+k B 112.++k k c 132.++k k D 答案：B 4．记凸k 边形的内角和为),(k f 则凸1+k 边形的内角和=+)1(k f +)(k f答案：π5．用数学归纳法证明“n n 53+”能被6整除”的过程中，当=n 1+k 时，对式子)1(5)1(3+++k k应变形为答案：6)1(3)5(3++++k k k k课堂设计 方法备考题型一 用数学归纳法证明等式【例1】（2009．绵阳模拟）设nn f 131211)(++++= ).(⋅∈N n 求证：,2](1)([)1(...)2()1(≥-⋅=-+++n n f n n f f f *).N n ∈题型二 用数学归纳法证明不等式【例2】求证：当*)(1N n n ∈≥时，+++++211)(21(n .1...312n n>≥++ 题型三 用数学归纳法证明整除问题【例3】用数学归纳法证明121)1(-+++n n a a 能被1.2++a a 整除*).(N n ∈ 题型四 归纳、猜想、证明【例4】 已知数列}{n a 中，22+=a a （a 为常数），n s 是}{n a 前n 项和，且n s 是n na 与na 的等差中项．(1)求⋅31,a a(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明．技法巧点(1)利用数学归纳法可以对不完全归纳的问题进行严格的证明．(2)利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式问题．(3)利用数学归纳法可以证明与正整数有关的不等式问题．(4)利用数学归纳法可以证明整除问题，在证明时常常利用凑数、凑多项式等恒等变形．失误防范1．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个（或两个以上）初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．2．注意1+=k n 时命题的正确性．3．在进行1+=k n 命题证明时，一定要用*)(N k k n ∈=时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．随堂反馈1．用数学归纳法证明下列等式⋅+=+++⨯+⨯+⨯)1(4)22(2186641421n n n n I 2．若不等式24131...312111a n n n n >++++++++对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论． 3．求证：*)(17)13(N n n n ∈-⨯+能被9整除．4．设数列}{n a 满足 ,3,2,1,112=+-=+n na a a n n n(1)当21=a 时，求,,,432a a a 并由此猜想出n a 的一个通项公式；(2)当31≥a 时，证明对所有的,1≥n 有.2+≥n a l高效作业 技能备考一、选择题1．对于不等式*),(12N n n n n ∈+<+某学生采用数学归纳法证明过程如下：(1)当1=n 时，,1111+<+不等式成立．(2)假设)(⋅∈=N k k n 时，不等式成立，即,1+<+k k k 则1+=k n 时，23)1()1(22++=+++k k k k)2()23(2++++<k k k.1)1()2(2++=+=k k∴ 当1+=k n 时，不等式成立，上述证法 ( )A ．过程全部正确B ．n=l 验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+l 的推理不正确 答案：D2．用数学归纳法证明等式2)1()12(531+=+++++n n *)(N n ∈的过程中，第二步假设k n =时等式成立，则当=n 1+k 时应得到( )2)12(531.k k A =+++++2)2()32(531.+=+++++k k B2)2()12(531.+=+++++k k C2)3()32(531.+=+++++k k D答案：B3．某个命题与自然数n 有关，若*)(N k k n ∈=时命题成立，那么可推得当1+=k n 时该命题也成立．现已知当5=n 时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当6=n 时，该命题不成立B ．当6=n 时，该命题成立C ．当4=n 时，该命题不成立D ．当4=n 时，该命题成立答案：C4．已知-=⨯++⨯+⨯+⨯+-na n n n (333433321132 *)N n c b ∈+对一切都成立，则a 、b 、c 的值为 （ ） 41,21.===c b a A 41.===c b a B 41,0.===c b a C D ．不存在这样的a 、b 、c 答案：A 5．在数列}{n a 中，,.311=a 且n n a n n s )12(-=，通过求,,32a a ,4a 猜想n a 的表达式为 )1)(1(1.+-n n A )12(21.+n n B )12)(12(1.+-n n c )22)(12(1.++n n D答案：C6．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2)(k k f ≥成立时，总可推出2)1()1(+≥+k k f 成立”．那么，下列命题总成立的是 ( )A ．若9)3(≥f 成立，则当1≥k 时，均有2)(k k f ≥成立B ．若25)5(≥f 成立，则当5≤k 时，均有2)(k k f ≥成立C ．若49)7(<f 成立，则当8≥k 时，均有2)(k k f <成立D ．若25)4(=f 成立，则当4≥k 时，均有2)(k k f ≥成立答案：D二、填空题7．若,)2(321)(2222n n f ++++= 则)1(+k f 与)(k f 的递推关系是答案：22)22()12()()1(++++=+k k k f k f8．在数列}{n a 中，,11=a 且112,,s s s n n +成等差数列(n s 表示 数列}{n a 的前n 项和），则432,,s s s 分别 为 由此猜想=n s 答案：1212815,47,23--n π 9．下面三个判断中，正确的是),(1)(2⋅∈++++=N n k k k n f n ①当1=n 时，11)(=n f),(121...31211)(⋅∈+++++=N n n n f ② 当1=n 时，;31211)(++=n f ),(1312111)(⋅∈++++++=N n n n n n f ③ 则⋅++++++=+431331231)()1(k k k k f k f 答案：②三、解答题10．（2011．肇庆模拟）已知数列}{n a 中，=+=1,211n a a *),)(2sin(N n a n ∈π求证：.101<<<+n n a a 11.数列}{n a 满足*).(2N n a n s n n ∈-=(1)计算,,,,4321a a a a 并由此猜想通项公式,n a(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．12．已知数列∈=-++=≥+n a a a a a a n n n n n (11,0,0),{2211).⋅N 记,21n n a a a s +++=++++++= )1)(1(111211a a a T n ⋅+++)1()1)(1(121n a a a 求证：当*N n ∈时，;1)1(+<n n a a.2)2(->n s n。
【高考数学状元之路——最新高考数学名师讲解专题】专题复习课件【1】不等式、函数和导数
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C. D .
【解析】 y=x2 与 y=t2 的交点( t,t2), 第一部分面积为
S1=
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∴函数 f( x)=ln(x2-x) 的定义域为 ( -∞, 0) ∪(1, + ∞) .
【答案】 C
2.已知 x>0, y>0, 若 + >m2+ 2m 恒成立, 则实数 m 的取
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值范围是 (
) .
A.m≥4 或 m≤ -2 B.m≥2 或 m≤-4 C.-2<m<4 D.-4<m<2 【解析】 因为 x>0, y>0, 所以 + ≥2 ������������=8, 要使原不等Fra bibliotek) .
【解析】由题意得函数 f(x) 在区间 [ 1, + ∞)上单调递增, 在区间 ( -∞, 1) 上单调递增, 又在 x=1 处 , 两端的函数值相等, 故函数 f( x)在(-∞, + ∞) 上是单调递增函数 .所以 f( m2+ 1) ≥
f(tm-1)对任意实数 m 恒成立, 等价于 m2+ 1≥ tm-1 对任意实
第一篇 知 识 专 题
【考情报告】
年份 题型 考点
2012 年
2013 年 第 2 题: 集合与不等式 结合 第 7 题: 定积分应用题 第 10 题: 导数的综合题 ( 含参函数的极值点, 涉 及切线、单调性) 第 13 题: 柯西不等式
第一节 不等关系与不等式-高考状元之路
第一节 不等关系与不等式复习备考资讯◎考纲点击（一）不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象一元二次不等式模型．(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式；对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4．基本不等式：)0,(2≥≥+b a ab b a (1)了解基本不等式的证明过程，(2)会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．（二)推理与证明1.合情推理与演绎推理（1)了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的了解合情推理在数学发现中的作用，（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并用它们进行一些简单的演绎推理．（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异，2. 直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解法和分析法的思考过程和特点．（2）了解间接证明的一种基本方法：反证法；了解反证法的思考过程和特点。
3．数学归纳法(1)了解数学归纳法的原理．(2)能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．考情分析1．不等关系与不等式以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题．常以选择题的形式考查不等式的性质，主要在其他知识交汇点处命题．2．一元二次不等式及其解法以考查一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式，根的存在性等一元二次不等式经常与数列、函数、解析几何相结合考查参数的取值范围．以选择题、填空题为主，解答题中也会出现．3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题以考查线性目标函数的最值为重点，并同时考查代数式的几何意义（如斜率、距离、面积等）．主要以选择题和填空题的形式考查线性规划，以中、低档题为主，出现在解答题中常与实际问题相联系．4．基本不等式主要考查不等式的应用和不等式的证明，对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大．5．合情推理与演绎推理考查的重点是对合情推理和演绎推理的理解及应用，主要是以选择题和填空题的形式出现．难度不大，多以中低档题为主．6．直接证明与间接证明主要考查对综合法和分析法的理解和简单的应用，反证法一般不会单独命题．综合法和分析法在历年高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一．选择题、填空题的形式较少，主要是综合法、分析法的思想渗透到解答题中．7．利用数学归纳法证明简单数学命题是高考重点，其中归纳一猜想一证明是高考的热点，常与函数、不等式、数列等知识结合，在知识交汇处命题。
第一讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-高考状元之路
第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习备考资讯考纲点击1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．3．理解排列、组合的概念．4．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．5．能解决简单的实际问题．6．能用计数原理证明二项式定理．7．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．8．事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．(2)了解两个互斥事件的概率加法公式．9．古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式．(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．10．随机数(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．(2)了解几何概型的意义．11．离散型随机变量及其分布列(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．(2)理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．12.二项分布及其应用(1)了解条件概率和两个事件相互独立的概念．(2)理解n次独立重复试验的模型及二项分布．(3)能解决一些简单的实际问题．13.离散型随机变量的均值与方差(1)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．(2)能计算简单离敬型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．14．正态分布利用实际问题的直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义．考情分析1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理仍会与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目．从能力要求上看，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论的思想．2．以实际问题为背景考查排列、组合，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．以选择题、填空题的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查．3．高考中对二项式定理的考查，主要涉及利用通项公式求展开式的特定项，利用二项展开式性质求系数或与系数有关的问题，考查二项展开式中的特定项、某项的系数等是高考的热点．以选择题、填空题为主，综合性的大题较少．4．互斥事件有一个发生的概率是高考重点考查内容，求对立事件的概率是“正难则反”思想的具体应用，在高考中时有考查，多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属容易题．5．古典概型的概率是高考考查的重点，通常要结合互斥事件、对立事件求概率，各种题型均有可能出现，属中低档题．6．对几何概型的考查有升温的迹象，在复习时要注意几何概型与线性规划、不等式的解集、方程的根所在的区间等的结合，多以选择题、填空题的形式呈现，属中低档题，有时也出现在解答题中．7．在实际问题中，考查分布列的概念及其求法，在选择、填空题中考查分布列的性质，服从超几何分布的随机变量的概率，属中低档题．8．相互独立事件、n次独立重复试验的概率及条件概率是高考重点考查的内容．三种题型均有可能出现，在解答题中常和分布列的有关知识结合在一起考查，属中档题目．9．以选择、填空的形式考查离散型随机变量均值与方差的概念和计算。
第一节 直线的斜率与直线方程-高考状元之路
第一节直线的斜率与直线方程复习备考资讯考纲点击1．直线与方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素．(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．2．圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程．(2)能根据给定直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定的两个圆的方程判断两圆的位置关系．(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．3．圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质．(4)了解圆锥曲线的简单应用．(5)理解数形结合的思想．4．直线与圆锥曲线的位置关系掌握直线与椭圆、抛物线的位置关系，考情分析1．直线的倾斜角和斜率、直线的方程以及两直线的位置关系是高考的热点．高考题主要以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题目．直线也常和圆锥曲线结合，以解答题的形式出现，属中高档题．2．直线的交点坐标与距离公式重点体现转化与化归的数学思想越种数学思想是高考的热点之一，在蕊考中主要以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题目．3．利用待定系数法求圆的方程和已知圆的方程确定圆心和半径是考查的重点．在高考中常以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题．4．直线与圆、圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题．在高考试题中多为选择题和填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题．5．椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点，各种题型都有涉及，作为选择题、填空题属中低档题，作为解答题则属于中高档题．6．双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；直线与双曲线的位置关系有时也考查，但不作为重点，主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题目：7．抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点．考题以选择、填空题为主，多为中低档题．8．直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的重点，以直线与椭圆、抛物线相交、相切为背景命题，常以解答的形式出现，属中高档题，预习设计基础备考知识梳理1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：②倾斜角的范围为(2)直线的斜率：①定义：一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k= 倾斜角是 90的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点))(,(),,(21222111x x y x p y x p =/的直线的斜率公式为k=2．直线方程的五种形式3．过),(),,(222111y x p y x P 的直线方程(1)若,21x x =且21y y ≠时，直线垂直于x 轴，方程为 ;(2)若,21x x =/且21y y =时，直线垂直于y 轴，方程为 ;(3)若,021==x x 且21y y ≠时，直线即为y 轴，方程为 ;(4)若,21x x =/且021==y y 时，直线即为x 轴，方程为 .4．线段的中点坐标公式若点21P P 、的坐标分别为),,(),(2211y x y x 、且线段21P P 的中点M 的坐标为(x ，y)，则此公式为线段21P P 的中点坐标公式，典题热身1．过点)4,(),,2(m N m M -的直线的斜率等于1，则m 的值 为( )1.A 4.B 31.或C 41.或D答案：A2．如图，直线Z 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( )0sin .>αk A 0cos >⋅αk B 0sin .≤αk C 0cos .≤αk D答案：B3．已知,0=/m 则过点(1，-1)的直线023=++a my ax 的斜率为（ ）31.A 31.-B 3.C 3.-D 答案：B4．已知),0,1(),4,3(-B A 则过AB 的中点且倾斜角为0120的直线方程是（ ） )1(32-=-⋅x y A )2(31--=-⋅x y B)1(32--=-⋅x y C )2(31-=-⋅x y D答案：C5．已知a>0，若平面内三点),3(),,2(),,1(2sa c a B a A -共线，则=a 答案：21+ 课堂设计 方法备考题型一 直线的倾斜角【例1】已知),2,6[ππα∈求直线013cos 2=++y x α的倾斜角的取值范围．题型二 直线的斜率【例2】 已知直线l 过点),2,1(-p 且与以),3,2(--A )0,3(B 为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.题型三 求直线的方程【例3】求适合下列条件的直线方程；(1)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点),3,1(--A 且倾斜角等于直线x y 3=的倾斜角的2倍．题型四 直线方程的应用【例4】过点P(2，1)的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使：(1)△AOB 面积最小时直线l 的方程；||||)2(PB PA ⋅最小时直线l 的方程，题型五 直线方程中参数的确定【例5】设直线l 的方程为).(02)1(R a a y x a ∈=-+++(1)若直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程；(2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．技法巧点(1)求斜率可用),90(tan =/=ααk 其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段， 90是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．(2)求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．失误防范1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．利用一般式方程0=++C By Ax 求它的方向向量为(-B ，A)不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的．4．利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程，随堂反馈1．已知直线l 过点),1tan ,1(),1,(++αm m 则( )A ．α-定是直线l 的倾斜角B ．α-定不是直线l 的倾斜角C ．α不一定是直线l 的倾斜角α- 180.D 一定是直线l 的倾斜角答案：C2．已知直线l 的倾斜角为α，并且,1200<≤α则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） 03.≤<-k A 3.->k B 30.-<≥k k C 或 330.-<≥k k D 或答案：C3．如果,0<⋅C A 且,0<⋅C B 那么直线0=++C By Ax 不通过 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．直线l 过点P(-2，3)，且与x 轴、y 轴分别交于A 、 B 两点，若点P 恰为AB 的中点，则直线l 的方程为 （ ）01223.=+-y x A 01223.=++y x B 02043.=+-y x C 033.=-+y x D答案：A5．经过点P(2，-1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b ，且满 足b a 3=的直线方程为 答案：02=+y x 或.013=++y x高效作业 技能备考一、选择题1．(2010．淄博模拟)直线l 经过)(),1()1,2(2R m m B A ∈ 、两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( )),0.[πA ),43[]4,0.[πππ B ]4,0.[πc ),2(]4,0.[πππ D 答案：D2．设直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且,0cos sin =+αα则a 、b 满足( )1.=+b a A 1.=-b a B 0.=+b a c 0.=-b a D答案：D3．(2011．郑州月考)直线,013:1=+-y x l 直线2l 过点(1，O)，且它的倾斜角是直线1l 的倾斜角的2倍，则直线2l 的方程为( )16+=⋅x y A )1(6-=⋅x y B )1(43-=⋅x y c )1(43--=⋅x y D 答案：D4．(2011．金华调研)若直线=-+-+y m m x m m )()32(2214-m 在x 轴上的截距为1，则实数m 等于( )1.A2.B 21.-c 2.D 或21- 答案：D5．（2011．中山模拟)直线01=++y ax 与连接、)3,2(A )2,3(-B 的线段相交，则a 的取值范围是 ( )]2,1.[-A ),2[)1,.(+∞--∞ B ]1,2.[-c ),1[]2,.(+∞--∞ D答案：D6．经过点P(l ，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为 ( )062.=-+y x A 062.=-+y x B 072.=+-y x C 072.=--y x D二、填空题7．已知两点),2,3(),5,1(---B A 若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 答案：318．过点P(l ，2)，在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为答案：.032=-+=y xRx y9．已知点),2,5(),3,2(-B A 若直线l 过点),6,1(-p 且与线段AB 相交，则直线l 倾斜角的取值范围是 答案：]43,4[ππ三、解答题10.（2010．芜湖模拟）已知两点).3,(),2,1(m B A -(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数],13,133[---∈m 求直线AB 的倾斜角α的取值范围．11．已知△ABC 中，).0,2(),6,6(),4,1(--C B A 求：(1)△ABC 的平行于BC 边的中位线的一般式方程和截距式方程；(2)BC 边的中线的一般式方程，并化为截距式方程．12．已知直线).(021:R k k y kx l ∈=++-(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．。
《状元之路》高考数学理新课标A一轮总复习课件第10章计数原理、概率、随机变量及其分布列-9
■考点调查360% KAODIANDIAOCHA 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布课前学案基础诊断夯基固本基础自测1・离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分佈列为:(1)均值:称E(X)= E _________________________ 为随机变量X的均值或②—,它反映了离散型随机变量取值的m⑵方差：称r>(x)= S ____________________ 为随机变量x的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的⑤ ________________ ，其总 ___________ 为随机变量X的标准差.2 •均值与方差的性质(1 )E@X+ b) = [3 __________ ■(2)____________________ D(dX+b)=⑧ .(a, b为常数)3.两点分布与二项分布的均值、方差⑴若X服从两点分布，则E(X)=回_________ , D(X)= 0⑵若X〜p),则E(X)= 回___________________ , D(X)= 04.正态曲线及性质（1）正态曲线的定义：函数/（%）= 0 ___________________ ，兀丘（一8, +°°）, 其中实数〃和<7（d>0）为参数，我们称/（X）的图像（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(2)正态曲线的性质：①曲线位于X轴回____ ,与X轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线回________ 对称;③曲线在［3 ____ 处达到峰值一A ；④曲线与无轴之间的面积为0 ________ :⑤当/一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着IS ______ 的变化而沿X轴平移，如图甲所示；⑥当“一定时，曲线的形状由＜7确定，O西_______ ,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；G因 _________ ,曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示.甲乙甲乙5・正态分布(1)正态分布的定义及表示：若对于任何实数d, b(u<b),随机变量X满足P(a<X^b)= 0 ,则称X的分布为正态分布，记作回⑵正态总体在三个特殊区间内取值的概率值:①_crVXW〃 + cr）=羽____________ ；②弘―2/VXW〃 + 26= E3 ____________ ；③弘一3<7VXW“ + 3（7）= E3 _________ ・0N(|i, o2) 00.682 6 H 0.954 4 0 0.997 4答案：IK 兀p i + x2p2 H -- XiPi ------ F x n p nn②数学期望③平均水平［3厶(X-E(X))2P/⑤平均偏离程度⑥算术平方根価环\31aE(X)+b\^\aD(X)⑨卩面#(1一p)回np( 1 ~p)回誌孑―"") Ex=^回回砂0 pf(x)dx2桁e—上厂辺上方1 迪〃13越小园越大微膊3条性质——期望与方差的性质(.1)E•(愁土b).=.aE(x).+.b(a,......b 为常数).：. (2)E 凶±&)三E(&)土E(X2),一….0N(|i, o2) 00.682 6 H 0.954 4 0 0.997 4(3)Q•(瞌±切.•三.『.DX)(Q.?......b 为常数)......I测1.设随机变量X〜B(n, p)且玖X)=1.6, D(X) = 1.28则)A・ n = 8 p = 0.2 B・ n=4 p = 0.4C・ n = 5 p —0.32 D ・ n = 7 p = 0・45解析：TX〜B(n, p),・••玖X) = np=1.6,D(X) = np(l —p)= 1.28,解得n=8, p = 0.2.答案:A2.已知X的分布列为:23 1则在下列式子中：①玖X)= —〒②D(X) =刃；③P(X^0) = 2- 正确的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个解析：E(X)=-lx|+Ox|+lx|=-|,故①正确；D(X)= I，故②不正确；由分布列知③正确.答案:C3・已知随机变量g服从正态分布N(0, o2).若Pg>2) = 0.023,则P(-2<^<2) = ( )4. 0477 B.0628C・ 0・954 D. 0・977解析:V|1=O, A Pg>2)=Pg< -2)=0.023,A P(-2<^<2)= 1-2X0.023=0.954.答案：C4.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，贝i)D(X)= ________ .(1)139解析：TX〜B〔3,事•••D(X) = 3XjX]=Y^.9嗾案.—口木.165・两封信随机投入A, B, C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X 的数学期望玖X)= _________ .解析：两封信投入A, B, C三个空邮箱，投法种数是32 = 9,4A中没有信的投法种数是2X2=4,概率为印4 A中仅有一封信的投法种数是C]X2=4,概率为g,A中有两封信的投法种数是1,概率为| ,故A邮箱的信件数X4 4 12的数学期望是9X0+9X14-9X2 = 3-答案：IL ___ _【例1】［2014-安徽］甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多2 1者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为亍乙获胜的概率为予各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望).解析：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛” ,Ak表示2“第k局甲获胜”,珈表示“第k局乙获胜”,则P(Ak) = 〒P(B k) = k= 1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P( A 1 B 2A3A4)=P(AJP(A2)+P(B I )P(A2)P(A3)+P(A I )P(B2)・P(A3)P(A4)⑵ 56同2帀国2,2 1 + 3X 3X10(2)X 的可能取值为2,3,4,5.P(X = 2) = P( A! A 2)+P(B ] B 2) = P( A! )P( A 2)+P(B 1 )P(B2)=I, P (X=3)=P(B! A 2A 3)+P( A, B 2B 3) = P(B 1)P(A 2)P(A 3)+P(A 1)P(B 2)P(B 3) 2 9-P(X=4)=P(A !B 2A 3A 4)+P(B i A2B3B4)=P(AJP(B2)P(A3)P(A4)+P(B I )P(A2)P(B3)P(B4) 8T P(X = 5)= 1 -P(X=2)-P(X = 3)-P(X=4)=^-.故X的分布列为E(X)=2X|+3X|+4X|YA名师点拨求离散型随机变量均值' 方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量g的均值、方差，求g的线性函数r|=ag+b的均值、方差和标准差，可直接用g的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.通关特训1 [2014-湖南]某企业有甲、乙两个研发小组，他们2 3研发新产品成功的概率分别为§和g•现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.功｝・解析：记E=｛甲组研发新产品成功｝, F=｛乙组研发新产品成2 ——1 3=2由题设知P(E)=3，P(E)=3，P(F) = 5, P(F)=§・且事件E与F、E与F、E与F、E与F都相互独立.(1)记H= ｛至少有一种新产甜研发成功｝, 则H =E F,于是————122P(H)=P(E)P(F) = 3X5=T5?—— 2 13故所求的概率为P(H) = 1 -P(H)=1 一厉=怎⑵设企业可获利润为X（万元），则X的可能取值为0,100,120,220.—— 1 2 2因P(X=0)=P(E F)=3X5=T5,P(X=100) = P(EF)=|x|=^,—224P(X=120)=P(E F)=^X^=—,2 3 6P(X=220)=P(EF)=^X-=—.故所求的分布列为数学期望为2 3 4E(X) = OX — +100X 訝+120X — +220X300+480+1 320 2 100140.15 = 15 =【例2】设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3 分.(1)当a=3, b = 2, c=l时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量g为取出此2球所得分数之和，求g的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量T| 为取出此球所得分数.若E(m=|, D(r|)=|，求a ： b ： c.解析：⑴由题意得g=2,3,4,5,6・—3X31故卩忆=2)=五=才，2X3X2 1P忆=可=在矿=矛2X3X1+2X2 5P忆—药—=逼,2X2X1 1P忆=5)=在矿=§，1X1 1所以g的分布列为(2)由题意知T|的分布列为所以E(m = a+b + c + “+b + c + a+b + c —3,D(r|) =2 a3 丿a+b+c( £ + 2-i2. . J- Q一— 2.3 丿a+b+c I c5汇c3 丿a+b + c5 992a—b—4c = 0, 化简得a+4b—llc = O. 解得a=3c, b = 2c,故a : bA名师点拨均值与方差的意义与作用(1 )D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X 的取值越集中在E(X)附近，统计中常用^D(X)来描述X的分散程度.(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.通关特训2有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下:其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好•试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.。
【状元之路】高考数学二轮复习 专题知识突破 1-1-4 不等式课件(文、理)新人教A版
(2)由已知得 a＋2b＝2.又∵a>0，b>0，∴2＝a＋2b≥2 2ab， ∴ab≤12，当且仅当 a＝2b＝1 时取等号．
答案 (1)D (2)A
[方法规律] (1)利用基本不等式求最值的注意点：①在运用基 本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值 是关键；②若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致 性，否则就会出错．
第一部分 高考专题串串讲
第一版块 专题知识突破
专题一 集合与常用逻辑用语、
函数与导数、不等式
第四讲 不等式
考情分析 真题体验
知识方法 考点串联
高频考点 聚焦突破
多维探究 师生共研
考情分析·真题体验
明确备考方向 实战高考真题
考情剖析 1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的 解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问 题，线性规划主要是考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或 取值范围． 2．多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈 现，属中档题.
(3)简单指数不等式的解法 ①当 a>1 时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)； ②当 0<a<1 时，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)． (4)简单对数不等式的解法 ①当 a>1 时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)且 f(x)>0，g(x)>0； ②当 0<a<1 时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)<g(x)且 f(x)>0，g(x)>0.
目标函数 z＝x＋2y 的最小值为( )
A．2
B．3
高考数学二轮复习-细致讲解专题10-高考解题中的数学能力-理省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT
3 3
3 3
3),B( 2 ,-2,0),C(0,-2, 2 ).
3
则 =(- 2 ,0, 2 ), =(- 3,0, 3).
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所以 =2 ,得 BC∥EF.
3
(2)由 OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知 S△EOB= 2 .
而△OED 是边长为 2 的正三角形,故 S△OED= 3.
分出基本图形,能分析其中的基本图形和基本元素之间的基
本关系.
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热点一 空间中点、线、面位置关系的判断
这类题为高考常考题型,主要考查空间中线面之间的位置关
系,要求熟悉有关公理、定理及推论,并具备较好的空间想象能力,
做到快速准确地解题.
例 1 已知 m,n 为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平
因此∠A1B1N=30°.
所以,直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 30°.
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【点评】空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、
面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想
象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全导致推理片面.
解决平行与垂直问题需要一些技巧,特别需要学会化归与转化能
中观察线面位置关系,结合有关定理,肯定或否定某些选项,并作
出选择.
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热点二 空间几何体的认识及表面积与体积的计算
涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的表面积和体积的计算
问题,要在正确理解概念的基础上,结合三视图画出符合题意的
图形或辅助线(面),分析几何体的结构特征,选择合适的公式,进
行计算.另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换
面,则下列命题中正确的是(
【高考数学状元之路——最新高考数学名师讲解专题】专题复习课件【10】高考解题中的数学能力
证明空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系: 一要熟练掌握所有判定定理与性质定理, 梳理好几种位置关 系的常见证明方法, 如证明线面平行, 既可以构造线线平行, 也可以构造面面平行.而证明线线平行常用的是三角形中位 线性质, 或构造平行四边形; 二要用分析与综合相结合的方 法来寻找证明的思路; 三要注意表述规范, 推理严谨, 避免使 用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论.
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∴∠BDB1=∠BC1C. ∴∠FBD+ ∠BDF=∠ C1BC+ ∠ BC1C=90° . ∴BC1⊥B1D.∵B1D∩AD=D, ∴BC1⊥平面 AB1D.
【点评】解决线线、线面的平行与垂直问题常有以下 技巧 : (1) 证明线线平行常用的方法: ①利用平行公理 , 即证两 直线同时和第三条直线平行; ②利用平行四边形进行平行转 换; ③利用三角形的中位线定理证线线平行; ④利用线面平 行、面面平行的性质定理进行平行转换.
(2) 证明线面平行常用的方法: ①利用线面平行的判定定 理, 把证线面平行转化为证线线平行; ②利用面面平行的性 质, 把证线面平行转化为证面面平行.
(3) 证明线线垂直常用的方法: ①利用等腰三角形底边中 线即高线的性质; ②勾股定理; ③线面垂直的性质: 即要证两 线垂直, 只需证明一线垂直于另一线所在平面即可, 即 l⊥
相互关系; 能对图形进行分解、组合; 会运用图形与图表 等手段形象地揭示问题的本质 .其主要包括四个方面的要求: 一是对基本几何图形必须非常熟悉, 能正确画图, 画图是指 将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅 助图形或对图形进行各种变换, 能在头脑中分析基本图形的 基本元素之间的度量关系及位置关系; 二是能借助图形来反 映并思考客观事物的空间形状及位置关系; 三是能借助图形 来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关
高考状元学习方法课件(高中班会课件)
采用多种学习方式，如听讲、阅读、实践等，以 提高学习效果。
养成好习惯
定时复习
定期复习所学内容，巩固 记忆，加深理解。
积极思考
在学习过程中积极思考， 主动发现问题和解决问题。
笔记整理
及时整理课堂笔记和重点 内容，方便日后复习。
心态调整
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保持积极心态
相信自己能够取得好成绩， 遇到困难时保持乐观和自 信。
总结词
理解与练习
详细描述
数学学习需要深入理解概念和定理，通过大量练习巩固知识。学生应注重解题思 路和方法的掌握，学会归纳和总结，提高数学思维能力。
英语学习方法
总结词
语境与表达
详细描述
英语学习需要创设语境，培养语感，同时注重口语和写作表达。学生应多听、多说、多读、多写，提高英语实际 应用能力。
理综/文综学习方法
应试技巧
• 先做自己擅长的科目，这样可以获得更高的分数和信心。
应试技巧
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检查答案
02
答完所有题目后，留出时间检查 答案，避免因为疏忽而失分。
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案例分享
成功案例一：逆袭学霸的学习方法
总结词
刻苦努力，科学规划
详细描述
该生在高中阶段通过制定详细的 学习计划，合理安排时间，攻克 了一个又一个学习难关，最终取 得了优异的成绩。
缓解压力
学会合理释放压力，如进 行适当的运动、听音乐等。
与老师和同学交流
与老师和同学交流学习心 得和经验，互相鼓励和支 持。
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各科学习方法
语文学习方法
总结词
积累与运用
详细描述
语文学习需要长期积累，包括词汇、语法、阅读和写作等方面。学生应注重日 常积累，多读、多写、多听，提高语言运用能力。
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在遇到有关求范围、解 ( 证) 不等式、解方程以及讨论参 数的取值范围等问题时, 常通过构造函数, 借助相关函数的 性质求解 . 已知 a, b, c∈R , a+ b+ c=0, a+ bc-1=0, 求 a 的取值范 围.
【解析】 ( 法一 ) 因为 b+ c=-a, bc=1-a, 所以 b, c 是方程 x2+ ax+ 1-a=0 的两根 , 所以 Δ=a2-4(1-a) ≥0, 即 a2+ 4a-4≥0, 解得 a≥-2+ 2 ������或 a≤-2-2 ������. 所以 a 的取值范围是( -∞,-2-2 ������]∪ [-2+ 2 ������, + ∞). ������ + ������ + ������ = ������, ( 法二 ) 由已知 ������ + ������������-������ = ������, 得 b+ c-bc+ 1=0, 如果 c=1, 则 b+ 1-b+ 1=0,
( 1) 函数和方程是密切相关的, 对于函数 y=f( x) , 当 y=0 时, 就转化为方程 f( x)=0, 也可以把函数式 y=f( x) 看作二元方程
y-f(x)=0, 函数问题 ( 例如 方程问题也可以转化为函数问题来求解, 如解方 程 f( x)=0, 就是求函数 y=f( x) 的零点 . ( 2) 函数与不等式也可以相互转化, 对于函数 y=f( x) , 当
第三篇 阅 读 专 题
【高考考情解读】 数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括, 数 学思想方法较之数学知识具有更高的层次, 具有理性的地位, 它是一种数学意识, 属于思维和能力的范畴, 它是数学知识 的精髓, 是知识转化为能力的桥梁.数学思想方法是使复杂
问题简单化, 抽象问题具体化, 变抽象思维为形象思维 的过程, 有助于把握数学问题的本质, 它是数学的规律性与 灵活性的有机结合 . 纵观近几年的高考试题, 都加大了对数学思想方法的考 查, 把对数学思想方法的考查寓于对各部分知识的考查之中, 以知识为载体, 着重考查能力与方法的题目很常见.预测 2015 年数学高考中, 还会有较多的题目以数学知识为背景,
【点评】 ( 1) 求参数的取值范围, 一般有两种途径: 其一 , 充分挖掘题设条件中的不等关系, 构建以待求字母为元的不 等式 ( 组) 求解 ; 其二, 充分应用题设中的等量关系, 将待求参 数表示成其他变量的函数, 然后, 应用函数知识求值域 . (2) 当问题中出现多个变量时, 往往要利用等量关系减少 变量的个数, 如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个 变量的表达式, 那么就可用研究函数的方法将问题解决.
2.方程的思想, 就是分析数学问题中变量间的等量关系, 从而建立方程或方程组, 或者构造方程, 通过解方程或方程 组, 或者运用方程的性质去分析、 转化问题, 使问题获得解决 . 方程的思想是对方程概念的本质认识, 用于指导解题就是善 于利用方程或方程组的观点观察处理问题 .方程思想是动中 求静, 研究运动中的等量关系 . 3.涉及的几个问题:
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所以 f'(c)=-
.
令 f'(c)=0, 则 c=1± ������. 当 c<1- ������时 , f'(c)<0,
函数 f(c) 在区间 ( -∞, 1- ������) 上是减函数; 当 1- ������<c<1 时 , f'(c)>0, 函数 f(c) 在区间 ( 1- ������, 1) 上是增函数 ; 当 1<c<1+ ������时 , f'(c)>0, 函数 f(c) 在区间 ( 1, 1+ ������) 上是增函数 ; 当 c>1+ ������时 , f'(c)<0,
(3) 当问题中出现两数的积与和时, 构建一元二次方程的 信息明显, 此时可考虑利用一元二次方程解决问题 . (4) 求最值与范围的问题, 当与不等式结合时, 利用基本 不等式可求得一端最值, 而利用函数可求得范围, 函数有全 局的宏观, 不等式有局部的深刻 . 热点二: 利用函数与方程的转化关系处理方程根的问题 如果方程 cos x-sin x+ a=0 在 ( 0, ] 上有解, 求 a的
y>0 时, 就转化为不等式 f( x)>0, 借助函数图象与性质解决有
关问题, 而研究函数的性质, 也离不开解不等式.
( 3) 数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数, 用 函数的观点处理数列问题十分重要. ( 4) 解析几何中的许多问题, 常需要通过解二元方程组才 能解决, 涉及二次方程与二次函数的有关理论. ( 5) 立体几何中有关线段、面积、体积的计算, 也常需要 运用列方程或者建立函数表达式的方法加以解决. 热点一: 利用函数与方程思想求解最值、范围问题
考查数学思想方法, 对数学思想方法的考查不会削弱, 只会更加鲜明, 更加重视. 【函数与方程的思想】 1.函数的思想, 是用运动和变化的观点, 分析和研究数学 中的数量关系, 建立函数关系或构造函数, 运用函数的图象 和性质去分析问题、转化问题, 从而使问题获得解决.函数思 想是对函数概念的本质认识, 用于指导解题就是善于利用函 数知识或函数观点观察、分析和解决问题 .
即 2=0, 不成立 , 因此 c≠1, 所以 b= 令 f(c)=
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, a=
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-c.
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-c= ������-������ ,
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函数 f(c) 在区间 ( 1+ ������, + ∞)上是减函数 . 函数 f(c)=
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的图象如图所示,
所以 f(c) ≥f( 1- ������)=-2+ 2 ������或 f( c)≤f(1+ ������)=-2-2 ������, 所以 a 的取值范围是( -∞,-2-2 ������]∪ [-2+ 2 ������, + ∞).