3.1 3.1.1 分数指数幂

1
1
9＝0
的两根，且
a＜b，求a
2 1
－b
2 1
的值．
a 2 ＋b 2
1
1
1
1
1
解：a a
2
1 2
－b ＋b
2
1 2
＝ a
1 2
a 2 ＋b
－b
1
2 a
2
1 2
2 －b
1 2
＝a＋ba－－2bab
2
.
①
∵a＋b＝12，ab＝9，
②
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.
∵a＜b，∴a－b＝－6 3.
.
结束
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指数(1)2350＋2－2×214
1 2
－0.010.5；
(2)0.064
1 3
－－780＋[(－2)3]
4 3
＋16－0.75；
1 (3)4
1 2
4ab－13 · 0.1－2a3b－3
1 2
(a>0，b>0)．
结束
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根式和分数指数幂的互化
[典例] 将下列根式化成分数指数幂的形式．
1
(1) a 3 a(a>0)；
(2) 1 (x>0)； 3 x5 x22
(3)4
b
2 3
2 3
(b>0)．
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11
5
51
5
[解] (1)原式＝ a 3 ·a 2 ＝ a 6 ＝(a 6 ) 2 ＝a12 .
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[活学活用]
计算：
(1)2790.5＋0.1－2＋21207
2 3
－3π0＋3478；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)23
6 a÷4
a·b·3
b3.
结束
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解：(1)原式＝295
1 2
＋110－2＋6247
2 3
－3＋3478＝53＋100＋196－3
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结束
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为 奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简 或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去 掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
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[活学活用]
1．若 xy≠0，则使 4x2y2＝－2xy 成立的条件可能是( )
(2)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的 另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化．
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[活学活用] 1．用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)：
(1)x
2 3
；(2)x
3 5
；(3)x
1 2
y
4 7
.
2
解：(1)x 3
＝3
x2.
(2)x
3 5
＝
1
.
5 x3
1 4
(3)x 2 y 7
根式的化简与求值
[典例] 化简：
6 (1)
4a2－4a＋1a≤12；
(2) x2－2xy＋y2＋5 y－x5；
(3)( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3.
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[解] (1)∵a≤12，∴1－2a≥0，
结束
∴6 4a2－4a＋1＝6 2a－12＝6 1－2a2＝3 1－2a. (2)原式＝ x－y2＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当 x≥y 时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当 x<y 时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． ∴ x2－2xy＋y2＋5 y－x5＝02， y－x≥xy，，x<y. (3)由题意知 a－1≥0，即 a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
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结束
[点睛]
(1)a
m n
不可理解为mn 个
a
相乘；
(2)不可轻易对mn 进行约分，否则有时会改变 a 的取
值范围而导致出错，如8 a2，a∈R，而4 a，a≥0.
6．有理数指数幂的运算性质 (1)as·at＝ as＋t ；(2)(as)t＝ ast ；(3)(ab)t＝ atbt .
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条件求值问题
[典例]
已知
a
1 2
＋a
1 2
＝
5，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[解]
(1)将
a
1 2
＋a
1 2
＝
5两边平方，
得 a＋a－1＋2＝5，即 a＋a－1＝3.
(2)将 a＋a－1＝3 两边平方，得 a2＋a－2＋2＝9，
∴a2＋a－2＝7.
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4．两个等式 (1)n∈N *，n≥2，(n a)n＝a.
结束
(2)n 为奇数时，n an＝a，n 为偶数时，n an＝|a|.
5．分数指数幂的意义
一般地，我们规定
a
m n
＝
n
am
(a>0，m，n 均为正
1
整数)；a
m n
＝
m
an
(a>0，m，n 均为正整数).0 的正分数
指数幂为 0,0 的 负分数指数幂 没有意义．
16 (3)81
3 4
＝23
4
3 4
＝23－3＝287.
答案：(1)15
(2)32
27 (3) 8
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4．求值： － 32＋3 － 33＋4 3－π4＋5 3－π5＝ ________. 解析：原式＝ 3－ 3＋(π－3)＋(3－π)＝0. 答案：0
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其中 a，b，s，t 的取值范围是 a＞0，b＞0，s，t∈Q .
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[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) －22＝－2；
(2) 3 －23＝－2；
(3)a
3 2
＝a
2 3
；
3 (4)
2＝6
4.
结束
(× ) (√ ) (×) (√)
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5 2.
A．x＞0，y＞0
B．x＞0，y＜0
C．x≥0，y≥0
D．x＜0，y＜0
解析：∵ 4x2y2＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0. 又∵xy≠0，∴xy＜0，故选 B.
答案：B
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2．若 2a－12＝3 1－2a3，则实数 a 的取值范围为________． 解析： 2a－12＝|2a－1|，3 1－2a3＝1－2a. 因为|2a－1|＝1－2a， 故 2a－1≤0，所以 a≤12. 答案：－∞，12
a－2可化为
A．a
2 5
2
C．a 5
答案：A
结束
5
B．a 2
5
D．－a 2
()
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3．计算：(1)25
1 2
＝________；(2)12－5＝________；
16 (3)81
3 4
＝________.
解析：(1)25
1 2
＝(52)
1 2
＝5
2
1 2
＝5－1＝15.
(2)12－5＝(2－1)－5＝2(－1)×(－5)＝25＝32.
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[一题多变] 1．[变设问]在本例条件下，则 a2－a－2＝________.
解析：令 y＝a2－a－2，两边平方，得 y2＝a4＋a－4－2＝ (a2＋a－2)2－4＝72－4＝45， ∴y＝±3 5，即 a2－a－2＝±3 5. 答案：±3 5
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2．[变条件，变设问]若本例变为：已知 a，b 分别为 x2－12x＋
＋3478＝100. (2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1
＝－13ac－1＝－3ac.
1
11
3
(3)原式＝2a 3 ÷(4a 6 b 6 )·(3b 2 )
＝12a
1 3
1 6
b
1 6
·3b
3 2
＝32a
1 6
b
4 3
.
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(2)原式＝ 1 ＝ 1 ＝ 1
3
2
3
4 39
x·x 5 2
x·x 5
x5
＝
1
9
1＝
1
3
＝x
3 5
.
x 5 3 x 5
(3)原式＝[(b
2 3
)
1 4
2
]3
2×
＝b 3
1× 4
-
2 3
＝b
1 9
.
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(1)此类问题应熟练应用
a
m n
＝n
am(a>0，m，n∈N
*，
且 n>1)，当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数， 由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．
结束
指数函数
3．1.1 分数指数幂
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预习课本 P59～61，思考并完成以下问题 (1)n 次实数方根是如何定义的？它具有什么性质？ (2)什么叫 n 次根式？ (3)我们是怎样规定分数指数幂的？ (4)有理数指数幂有哪些运算性质？
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[新知初探]
1．n 次实数方根 如果一个实数 x 满足 xn＝a ，那么称 x 为 a 的 n 次
(3)0 的 n 次实数方根等于 0，记作 n 0＝0. 3．根式的定义 式子n a叫做根式，其中 n 叫做根指数 ，a 叫做被开方数．
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[点睛] (1)根指数 n 的范围是 n＞1 且 n∈N *. (2)若根指数 n＝2，可省略不写． (3)当 n 为奇数时，n a对任意 a∈R 都有意义； 当 n 为偶数时，只有当 a≥0 时，n a才有意义．
7 ＝
y4 x.
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2．用分数指数幂表示下列各式(a>0)：
(1)a2 a； (2)
a a；
3 (3)
a2·
a3.
解：(1)原式＝a2a
1 2
＝a
2+
1 2
＝a
5 2
.
1
3
3
(2)原式＝ a·a 2 ＝ a 2 ＝a 4 .
(3)原式＝a
2 3
·a
3 2
＝a
2 3
3 2
＝a
13 6
[解]
(1)原式＝1＋14×49
1 2
－1100
1 2
＝1＋16－110＝1165.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2176.
13
(3)原式＝4120·402
·a
3 2
·a
3 2
·b
3 2
·b
3 2
＝245a0b0＝245.
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利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根 式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方 数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂 的形式表示．
③
1
1
1
将②③代入①，得a a
2
1 2
－b ＋b
2
1 2
＝12－－62×39
2
＝－
3 3.
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条件求值的步骤
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十)” (单击进入电子文档)
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实数方根，其中 n＞1 且 n∈N *.
2．n 次实数方根的性质 (1)当 n 为奇数时，正数的 n 次实数方根是一个正数， 负数的 n 次实数方根是一个负数，这时，a 的 n 次实数
方根只有一个，用符号n a表示．
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(2)当 n 为偶数时，正数的 n 次实数方根有两个，它们互为 相反数，这时，正数 a 的正的 n 次实数方根用符号n a表示，负 n 次实数方根用符号－n a表示．它们可合并写成±n a(a＞0)．