高中数学人教A版选修2-1高二上学期数学理科月考试卷.doc

高二上学期数学理科月考试卷 （总分：150分 ）考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.
1.已知命题p ：∀x ∈R ，x>sin x ，则p 的否定（ )
A ．﹁p ： 000sin ,x x R x <∈∃
B ．﹁p ：x x R x sin ,≤∈∀
C ．﹁p ：000sin ,x x R x ≤∈∃
D ．﹁p ：00sin ,x x R x <∈∀
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )
A.13
B.33
C.12
D.32
3.已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，若a ∥b ，则λ与μ的值分别为( )
A.15，12 B ．5,2 C ．－15，－1
2
D ．－5，－2
4.若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.
1728122=+y x B.198122=+y x C.1817222=+y x D.181
92
2=+y x 5. 已知双曲线C ：122
22=-b
y a x 的焦距为10，点P(2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )
A.
152022=-y x B.120522=-y x C.120802
2=-y x D.
180
202
2=-y x 6. 已知在空间四边形OABC 中，c OC b OB a OA ===,,，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，N 为
BC 中点，则MN →
等于( )
A.
c b a 213221+- B.c b a 212132++- C.c b a 212121-+ D.c b a 2
13232-+ 7.若直线4=+ny mx 与圆O ：42
2=+y x 没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆14
922=+y x 的交点个数为( )
A ．至多一个
B ．2
C ．1
D ．0
8.命题“[]0,2,12
≤-∈∀a x x ”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A ．a ≥4
B ．a ≤4
C ．a ≥5
D ．a ≤5
9. 正方体1111D C B A ABCD -中，二面角11B BD A --的大小为( ) A ．90° B ．60° C ．120° D ．45°
10.已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x ＜3x
，命题q ：∀x ∈(0,1)，0log 2<x ，则下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∨(﹁q )
C ．(﹁p )∧q
D ．p ∧(﹁q ) 11.“1≠a 或0≠b ”是“1≠+b a ”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为2
3
，过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与
C 相交于A ，B 两点．若FB AF 3=，则=k （ ）
A.1
B.2
C.3
D.2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
13.已知命题p ：|x 2
－x |≠6，q ：x ∈N ，且“p 且q ”与“﹁q ”都是假命题，则x 的值为________．
14.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点，则异面直线D 1E 与AC 所成的角的余弦值是________．
15.在平面直角坐标系中，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆，
过点)0,(2
c
a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.
16.已知21,F F 为双曲线)0,0(122
22b a b a b
y a x ≠>>=-且的两个焦
点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四
个命题（ ）.
（1）．21F PF ∆的内切圆的圆心必在直线x a =上； （2）．21F PF ∆的内切圆的圆心必在直线x b =上； （3）．21F PF ∆的内切圆的圆心必在直线OP 上；
（4）．21F PF ∆的内切圆必通过点)0,(a .
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共70分.解答题应写出文字证明，证明过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 17.设p ：实数x 满足0342
2
<+-a ax x ，其中a ＞0，
命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧>-+≤--0
820622x x x x .
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
(2)若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
18.如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 中点． (1)求证：PO ⊥平面ABCD ； (2)求点A 到平面PCD 的距离．
19.已知双曲线
14
162
2=-y x 的两焦点为21,F F . (1)若点M 在双曲线上，且021=⋅MF MF ，求M 点到x 轴的距离；
(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．
20.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21F F ，，点P 在椭圆C 上，且34
1
=PF ，3
14
2=PF ，21PF PF ⊥.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线L 过圆0242
2
=-++y x y x 的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程.
21.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为11D A 和1CC 的中点． (1)求证：EF ∥平面1ACD ；
(2)在棱1BB 上是否存在一点P ，使得二面角P －AC －B 的大小为
30°？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．
22.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是
)0,(),0,(21c F c F -，Q 是椭圆外的动点，满足a Q F 21=.
点P 是线
段Q F 1与该椭圆的交点，点T 在线段Q F 2上，并且满足
0||,022≠=⋅TF TF PT .
（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x a
c
a P F +
=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；
（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△21MF F 的面积S=2
b .若存在，求∠21MF F 的正切值；若不存在，请说明理由. 数学答案：
1—5 CDAAA 6—10 BBCCC 11—12 BB
13.3 14.
105 15.2
2 16.(1)(4) 17.解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2
＜0得(x －3a )·(x －a )＜0，
又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，
当a ＝1时，1＜x ＜3，即p 为真时，实数x 的取值范围是1＜x ＜3. 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －6≤0，x 2
＋2x －8＞0，得2＜x ≤3，
即q 为真时，实数x 的取值范围是2＜x ≤3. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3.
(2)法一：﹁p 是﹁q 的充分不必要条件， 即﹁p ⇒﹁q ，且﹁q ﹁p ，
设A ＝{x |﹁p }，B ＝{x |﹁q }，则A B . 又A ＝{x |﹁p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， B ＝{x |﹁q }＝{x ≤2或x ＞3}， 则0＜a ≤2，且3a ＞3，
所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.
法二：∵﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，
∴﹁p ⇒﹁q ，且﹁q ﹁p ， 与它等价的命题是q ⇒p 且p q . 令M ＝{x |p }，N ＝{x |q }，则N M ，
结合(1)在数轴上表示不等式如图，
从而⎩
⎪⎨⎪⎧
0＜a ≤23a ＞3，
∴1＜a ≤2，
∴实数a 的取值范围是(1,2]．
18.解：(1)
证明：如图所示，以O 为坐标原点，OC →、OD →、OP →
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz .
则A (0，－1,0)，B (1，－1,0)，C (1,0，0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．
所以OP →＝(0,0,1)，AD →
＝(0,2,0)，
OP →·AD →
＝0，所以，PO ⊥AD ，
又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD .
(2)设平面PCD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，CP →＝(－1,0,1)，CD →
＝(－1,1,0)， 由⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·CP →＝0
n ·CD →＝0
，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x 0＋z 0＝0
－x 0＋y 0＝0，
即x 0＝y 0＝z 0，取x 0＝1，得平面PCD 的一个法向量为 n ＝(1,1,1)．又AC →
＝(1,1,0)，从而点A 到平面PCD 的距离
d ＝|AC →
·n ||n |＝23
＝233.
19.解：
(1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ， MF 1→·MF 2→
＝0， 则MF 1⊥MF 2，
设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，
由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①
又m 2＋n 2＝(2c )2
＝80，② 由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝1
2|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255
.
(2)设所求双曲线C 的方程为
x 2
16－λ－y 2
4＋λ
＝1(－4＜λ＜16)， 由于双曲线C 过点(32，2)，
所以1816－λ－44＋λ
＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 2
8
＝1.
20. 解：(1) ∵点P 在椭圆C 上，∴6221=+=PF PF a ，a=3.
在Rt △PF 1F 2中，,
522
1
2221=-=
PF PF F F
35323431422
2
2
1
2
221=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=
=PF PF F F c 故椭圆的半焦距c=353,
从而b 2
=a 2
－c 2
=9
28
, ∴椭圆C 的方程为19
28922=+y x . (2)已知圆的方程为（x+2）2+(y －1)2=5, ∴圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2). 由题意x 1≠x 2且
192892
12
1=+y x ……① 19
2892
22
2=+y
x ……②
由①－②得
09
28)
)((9
))((21212121=+-++-y y y y x x x x ……③
又∵A 、B 关于点M 对称，∴x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得2
121x x y y --＝8156
，即直线l 的斜率为
81
56， ∴直线l 的方程为y －1＝
81
56
（x+2），即01938156=+-y x . 此时方程（*）的 0≥∆，故所求的直线方程为01938156=+-y x .
21.解：如图，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，由已知得D (0,0,0)、A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、B 1(2,2,2)、E (1,0,2)、F (0，2,1)．
(1)证明：易知平面ACD 1的一个法向量DB 1→
＝(2,2,2)． ∵EF →＝(－1,2，－1)，∴EF →·DB 1→
＝－2＋4－2＝0， ∴EF →⊥DB 1→
，而EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1.
(2)设点P (2,2，t )(0<t ≤2)，平面ACP 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·AC →＝0，
n ·AP →＝0.
∵AC →＝(－2,2,0)，AP →
＝(0,2，t )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ＋2y ＝0，2y ＋tz ＝0，
取n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，1，－2t .
易知平面ABC 的一个法向量BB 1→
＝(0,0,2)，
依题意知〈BB 1→，n 〉＝30°或〈BB 1→
，n 〉＝150°，
∴|cos 〈BB 1→
，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪－4t 2·2＋4
t
2
＝32，
即4t 2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4t 2，解得t ＝6
3. ∵
63∈(0,2]，∴在棱BB 1上存在一点P ，当BP 的长为6
3
时，二面角P －AC －B 的大小为30°.
22.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法
和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力。

（Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x
由P ),(y x 在椭圆上，得
.
)()()(||22
222
2
2
2
1x a
c
a x
a b b c x y c x P F +=-++=++=
由0,>+-≥+
≥a c x a
c
a a x 知，所以 .||1x a c a P F +=………………………3分
证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==
则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++= 由.||,4,211222121x a
c a r P F cx r r a r r +
===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+
x a
c
a 由椭圆第二定义得a c c
a
x P F =+|
|||21，即.||||||2
1x a c a c a x a c P F +=+=
由0,>+-≥+
-≥a c x a
c
a a x 知，所以.||1x a c a P F +=…………………………3分
（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x
当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==
||2
1
||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.
设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧'=+'=.2
,2y y c
x x
因此⎩⎨
⎧='-='.
2,
2y y c x x ①
由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+
综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分
（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||22
1,
2
022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||2
0c b y ≤ 所以，当c
b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；
当c
b a 2
<时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当c
b a 2
≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2222
022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，
212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，
22121sin ||||2
1
b MF F MF MF S =∠⋅=
，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||22
1,2
022020b y c a y x 由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((22242
20≥+-=-=c b a c b a c
b a x
于是，当c
b a 2
≥时，存在点M ，使S=2b ；
当c
b a 2
<时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当c
b a 2
≥时，记c
x y k k c x y k k M F M F -=
=+=
=00
200121
,， ③ ④
③
④
由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 2
12121=+-=∠k k k k MF F …………14分。