新人教版初中数学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知：如图，四边形AOBC是矩形，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，3），∠OAB＝60°，以AB为轴对折后，C点落在D点处，则D点的坐标为（）
A．
33
(3,)
22
-B．
33
(3,)
22
--C．
33
(,3)
22
D．(3,33)
-
2．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD 相交于点O，则sin∠BOD的值等于（）
A．10
B．
310
C．
210
5
D．
10
3．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到'
PB的位置，测得(
''
PB C a B C
∠=为水平线），测角仪/B D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）
A．
1
1sin a
+
米B．
1
1cos a
-
米C．
1
1sin a
-
米D．
1
1cos a
+
米
4．如图，O是ABC的外接圆，60
BAC
∠=︒，若O的半径OC为1，则弦BC的长为（）
A ．12
B ．32
C ．1
D ．3
5．某兴趣小组想测量一座大楼 AB 的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC ，已知 BC 的长为 12 米它的坡度1:3i = ．在离 C 点 40 米的 D 处，用测量仪测得大楼顶端 A 的仰角为 37度，测角仪DE 的高度为 1.5米，求大楼AB 的高度约为（ ）米
（sin 370.60,cos370.80,tan 370.75,3 1.73︒=︒=︒==）
A ．39.3
B ．37.8
C ．33.3
D ．25.7
6．如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A ．BD BC
B ．B
C AB C ．A
D AC D ．CD AC
7．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ，若2AC =，30ADC ∠=︒，①四边形ACED 是平行四边形；②BCE ∆是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10213+；则以上结论正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②
C ．①③
D ．②③ 8．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为BC 的中点，点
E 在AB 上，AD ，CE 交于点
F ，AE ＝EF ＝4，FC ＝9，则cos ∠ACB 的值为（ ）
A ．35
B ．59
C ．512
D ．45 9．点
E 在射线OA 上，点
F 在射线OB 上，AO ⊥BO ，EM 平分∠AEF ，FM 平分∠BFE ，则tan ∠EMF 的值为( )
A ．12
B ．33
C ．1
D ．3
10．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，∠CAB ＝45°，BC ＝4，点D 为AB 边上一个动点，连接CD ，以DA 、DC 为一组邻边作平行四边形ADCE ，则对角线DE 的最小值是（ ）
A ．2+6
B ．1+3
C ．4
D ．2+23 11．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40︒，若55D
E =米，DE CE ⊥，36CE =米，CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）
A ．78.6米
B ．78.7米
C ．78.8米
D ．78.9米 12．河堤横断面如图所示，迎水坡10AB =米，迎水坡AB 的坡比为1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平度AC 之比)，则AC 的长是（ ）
A ．53
B ．2米
C ．15米
D ．10米
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
参考答案
二、填空题
13．如图，在边长为10的菱形ABCD 中，AC 为对角线，∠ABC =60°，M 、N 分别是边BC ，CD 上的点，BM =CN ，连接MN 交AC 于P 点，当MN 最短时，PC 长度为_____．
14．三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，则CD 的长度是_____.
15．如图，在ABC 中,已知90,4,8C AC BC ∠=︒==，将ABC 绕着点C 逆时针旋转到''A B C 处，此时线段''A B 与BC 的交点D 为BC 的中点，那么'B D 的长度为_________．
16．计算：112tan 6032()2
-+--____． 17．如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2016的坐标是______．
18．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2AC ，则∠A ＝__°，∠B ＝___°．
19．乐乐同学的身高为166cm ，测得他站立在阳光下的影长为83cm ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为103cm ，那么乐乐竖直举起的手臂超出头顶的长度约为
___________cm ．
20．如图，O 的直径2AB =，弦1AC =，点D 在O 上，则D ∠的度数是______．
三、解答题
21．sin 30tan 452cos 45sin 60tan 60︒⋅︒+⋅︒+︒⋅︒
22．计算：()2
0120201232cos302π-⎛⎫----+︒ ⎪⎝⎭． 23．如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE ＝3米，CE ＝2米，CE 平行于江面AB ，DE ⊥CE ，迎水坡BC 的坡度i ＝1：0.75，坡长BC ＝10米，求此时AB 的长．（小数点后面保留一位，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
24．如图，某乡村有一块菱形空地ABCD ，∠A ＝60°，AB ＝40米，现计划在内部修建一个四个顶点分别落在菱形四条边上的矩形鱼池EFGH ，其余部分种花草，园林公司修建鱼池，设AE 为x 米．
(1)填空：ED ＝ 米，EH ＝ 米，(用含x 的代数式表示)；
(2)若矩形鱼池EFGH 的面积是32，求EF 的长度；
(3)若草坪的造价为每平方米60元，鱼池造价为每平方米50元，EF 的长度为多少时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价为多少元？
25．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A 处时，船上游客发现岸上M 处的临皋亭和N 处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m 到达B 处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m 到达C 处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．求临皋亭M 处与遗爱亭N 处之间的距离（计算结果保留根号）．
26．如图，在△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到△A′BC′，连接A C '，求A C '的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
如图，作 DE ⊥x 轴于点E ，灵活运用三角函数解直角三角形来求点 D 的坐标．
【详解】
解：如图，作DE ⊥x 轴于点E ，∵点A 的坐标为（0，3），
∴OA ＝3．
又∵∠OAB＝60°，
∴OB＝OA•tan∠OAB＝33，∠ABO＝30°．∴BD＝BC＝OA＝3．
∵根据折叠的性质知∠ABD＝∠ABC＝60°，∴∠DBE＝30°，
∴DE＝1
2BD＝
3
2
，BE＝
33
∴OE＝33－33
2=
33
2
，
∴E33
(3,)
22
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质以及折叠问题，翻折前后对应角相等，对应边相等；注意构造直角三角形利用相应的三角函数值求解．
2．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质和锐角三角函数定义以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得
sin∠BOD的值，本题得以解决．
【详解】
解：连接AE、EF，如图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE=∠BOD，
∵每个小正方形的边长为1，
则AE AF EF ======
∴△FAE 是直角三角形，∠FEA=90°，
∴sin
10EF FAE AF ∠=
==
∴sin 10
BOD ∠=
故选：B ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、锐角三角函数定义、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 3．C
解析：C
【分析】
设PA=PB=PB′=x ，在RT △PCB′中，根据sin αPC PB =
＇，列出方程即可解决问题． 【详解】
解：设PA=PB=PB′=x ，
在RT △PCB′中，sin αPC PB =
＇ ∴1sin αx x
-= ∴x 1xsin α-=，
∴（1-sin α）x=1，
∴x=
11sin α
-． 故选C ．
【点睛】 本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．
4．D
解析：D
【分析】
先作OD ⊥BC 于D ，由于∠BAC ＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC ＝120°，又OD ⊥BC ，根据垂径定理可知∠BOD ＝60°，BD ＝
12
BC ，在Rt △BOD 中，利用特殊三角函数值易求BD ，进而可求BC ．
【详解】
解：如右图所示，作OD ⊥BC 于D ，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
又∵OD⊥BC，
∴∠BOD＝60°，BD＝1
2
BC，
∴BD＝sin60°×OB＝3，
∴BC＝2BD＝23，
故答案是23．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线
OD⊥BC，并求出BD．
5．C
解析：C
【分析】
延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长．
【详解】
解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．
∵在Rt△BCF中，BF
CF
=3
i
∴设BF=k，则3k，BC=2k．
又∵BC=12，
∴k=6，
∴BF=6，CF=63
∵DF=DC+CF，
∴DF=40+3
∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=AH
EH
，
∴AH=tan37°×（40+63≈37.785（米），∵BH=BF-FH，
∴BH=6-1.5=4.5．
∵AB=AH-HB，
∴AB=37.785-4.5≈33.3．
故选C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．
6．C
解析：C
【分析】
利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】
解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠α＝∠ACD，
∴cosα＝cos∠ACD＝BD
BC ＝
BC
AB
＝
DC
AC
，
只有选项C错误，符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．
7．A
解析：A
【分析】
证明AC∥DE，再由条件CE∥AD可证明四边形ACED是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=23
出AB长可得四边形ACEB的周长是10+213
【详解】
①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；
②∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EC=EB，
∴△BCE是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
AD⋅︒=23，
∴AD=4，CD=cos30
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB，
∴EB=4，DB=23，
∴BC=43，
∴AB=()2
222
+=+=，
243213
AC BC
+，故③正确；
∴四边形ACEB的周长是10213
综上，①②③均正确，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法．
8．D
解析：D
【分析】
如图，延长AD到M，使得DM=DF，连接BM．利用全等三角形的性质证明BM=CF=9，AB=BM，利用勾股定理求出BC，AC即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长AD到M，使得DM=DF，连接BM．
∵BD=DC，∠BDM=∠CDF，DM=DF，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴CF=BM=9，∠M=∠CFD，
∵CE∥BM，
∴∠AFE=∠M，
∵EA=EF ，
∴∠EAF=∠EFA ，
∴∠BAM=∠M ，
∴AB=BM=9，
∵AE=4，
∴BE=5，
∵∠EBC=90°，
∴BC=2222135EC BE -=-=12，
∴AC=2222912AB BC +=+=15，
∴cos ∠ACB=
124155
BC AC == ， 故选：D ．
【点睛】
此题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．C
解析：C
【分析】
根据三角形外角的性质求得∠AEF+∠BFE=270°，由角平分线定义可求得
∠MEF+∠MFE=135°，根据三角形内角和定理可求出∠EMF=45°，从而可得出结论．
【详解】
如图，
∵AO ⊥BO
∴∠AOB=90°
∴∠OEF+∠OFE=90°
∵∠AEF 和∠BFE 是△EOF 的外角
∴∠AEF=90°+∠OFE ，∠BFE=90°+∠OEF
∴∠AEF+∠BFE=90°+90°+∠OFE+∠OEF=270°
∵EM 平分∠AEF ，FM 平分∠BFE ，
∴∠MEF+∠MFE=12
(∠AEF+∠BFE) =135°，
∵∠MEF+∠MFE+∠M=180°
∴∠M=180°-(∠MEF+∠MFE)=180°-135°=45°
∴tan∠EMF=tan45°=1
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质及三角函数，求出∠MEF+∠MFE=135°是解答此题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，由直角三角形的性质得出CF＝1
2
BC＝2，AF＝BF＝
3CF＝23，求出AC＝CF+AF＝2+23，由平行四边形性质得出AO＝CO＝1
2
AC＝
1+3，DO＝EO，当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，则△AOD是等腰直角三角形，即可得出结果．
【详解】
解：设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，如图所示：
则∠BFC＝∠BFA＝90°，
∵∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，
∴∠CBF＝30°，∠ABF＝45°＝∠CAB，
∴CF＝1
2
BC＝2，AF＝BF3＝3
∴AC＝CF+AF＝3
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AO＝CO＝1
2
AC＝3DO＝EO，
∴当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，
则△AOD是等腰直角三角形，
∴OD＝2
2AO
62
+
∴DE＝2OD26故选：A．
本题主要考查解直角三角形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
如下图，先在Rt △CBF 中求得BF 、CF 的长，再利用Rt △ADG 求AG 的长，进而得到AB 的长度
【详解】
如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点F ，延长DE 交AB 延长线于点G
∵BC 的坡度为1:0.75
∴设CF 为xm ，则BF 为0.75xm
∵BC=140m
∴在Rt △BCF 中，()2
220.75140x x +=，解得：x=112 ∴CF=112m ，BF=84m
∵DE ⊥CE ，CE ∥AB ，∴DG ⊥AB ，∴△ADG 是直角三角形
∵DE=55m ，CE=FG=36m
∴DG=167m ，BG=120m
设AB=ym
∵∠DAB=40°
∴tan40°=1670.84120
DG AG y ==+ 解得：y=78.8
故选：C
【点睛】
本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值. 12．A
解析：A
【分析】
根据迎水坡AB 的坡比3 设,=3=BC x AC x ，然后根据迎水坡AB=10米，利用勾股定理求出x 的值，即可求解．
∵迎水坡AB
的坡比
∴,==BC x AC ，
在Rt △ABC 中：222BC AC AB +=
∴)222x 10+=
∴x=5±
∵0x >
∴=5x
∴5===AC (米)．
故选：A
【点睛】
本题考查了根据坡度和坡角解直角三角形的知识，解答本题的关键是根据坡比设出各边的长度，然后根据勾股定理求解．
二、填空题
13．【分析】连接AMAN 证明△AMB ≌△ANC 推出△AMN 为等边三角形当AM ⊥BC 时AM 最短即MN 最短在Rt △ABM 中求出AM 的长在Rt △AMP 中求出AP 的长即可解决问题【详解】解：连接AMAN ∵ABC 解析：52
【分析】
连接AM ，AN ，证明△AMB ≌△ANC ，推出△AMN 为等边三角形，当AM ⊥BC 时，AM 最短，即MN 最短，在Rt △ABM 中求出AM 的长，在Rt △AMP 中求出AP 的长，即可解决问题．
【详解】
解：连接AM ，AN ，
∵ABCD 是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=10，
同理可证∠ACN=60°，
在△AMB 和△ANC 中，
AB AC B ACN BM NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AMB ≌△ANC ，
∴AM=AN ，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，
∴∠MAN=60°，
∴△AMN为等边三角形，
∴MN=AM，∠MAN=60°，
当AM⊥BC时，AM最短，即MN最短，∵sinB=AM
AB
，
∴AM=sin60°×10=53．
∵∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴∠MAC=30°，
∴∠NAC=30°，
∴AP⊥MN．
∵sin∠AMN=AP
AM
，
∴AP=sin60°×53=15
2
，
∴CP=10-15
2=
5
2
．
故答案为：5
2
．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
14．15﹣5【分析】过点B作BM⊥FD于点M根据题意可求出BC的长度然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°进而可得出答案【详解】过点B作BM⊥FD于点M 在△ACB中∠ACB＝90°∠A＝60°AC＝10
解析：15﹣3
【分析】
过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案.
【详解】
过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝10，
∴∠ABC ＝30°，BC ＝10×tan60°＝3
∵AB ∥CF ，
∴∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM ＝BC×sin30°＝11032
＝3 CM ＝BC×cos30°＝15，
在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝45°，
∴∠EDF ＝45°，
∴MD ＝BM ＝3
∴CD ＝CM ﹣MD ＝15﹣3
故答案是：15﹣3
【点睛】
本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键. 15．【分析】根据题意先考虑多种情况①与D 重合=AB ；②与D 不重合过点C 作CE 于点E 利用的余弦值求出由等腰三角形三线合一得求出再用减去得到【详解】①如图与D 重合②如图与D 不重合过点C 作CE 于点E ∵旋转∴在 解析：1255,
【分析】
根据题意，先考虑多种情况，①A '与D 重合，B D '=AB ；②A '与D 不重合，过点C 作CE ⊥A B ''于点E ，利用CA B ''∠的余弦值求出A E '，由等腰三角形三线合一得2A D A E ''=，求出A D '，再用A B ''减去A D '得到B D '．
【详解】
①如图，A '与D 重合，45B D AB '==．
②如图，A '与D 不重合，过点C 作CE ⊥A B ''于点E ，
∵旋转，∴4AC A C '==，8BC B C '==，
在Rt A B C ''△中，由勾股定理，22224845A B A C B C ''''=+=+=，
5cos 5
45A C CA B A B '''∠==='， 在Rt A EC '中，5cos 4A E A E CA E A C '''∠=
=='， ∴45A E '=
∵D 是BC 中点
∴4CD CA '== 在等腰三角形ACD '中，由“三线合一”得852A D A E ''==， ∴851254555
B D A B A D ''''=-=-=．
故答案是：555
． 【点睛】
本题考查图形的旋转，等腰三角形三线合一，锐角三角函数，关键在于要画出对应的图象进行分类讨论，把情况考虑全面．
16．【分析】先利用特殊的三角函数值计算再利用绝对值和负指数得出结论【详解】解:原式=故答案为：【点睛】本题涉及特殊角的三角函数值绝对值负整数指数幂3个考点在计算时需要针对每个考点分别进行计算然后根据实数
解析：4
【分析】
先利用特殊的三角函数值计算，再利用绝对值和负指数得出结论．
【详解】
=+=+
解:原式=22224
故答案为：4．
【点睛】
本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂3个考点．在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果．
17．（10091008）【分析】根据题意得出直线OB1的解析式为y=x进而得出OB1B2B3坐标进而得出坐标变化规律进而得出答案【详解】过B1向x轴作垂线B1C垂足为C由题意可得：A（10）AO∥A1B
解析：（1009，
【分析】
根据题意得出直线OB1的解析式为，进而得出O，B1，B2，B3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．
【详解】
过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，
由题意可得：A（1，0），AO∥A1B1，∠B1OC＝30°，
∴CB1＝OB1cos30°
∴B1的横坐标为：1
，则B1
2
∴
点B1，B2，B3，…都在直线y x上，
∴B1（1
2
同理可得出：A的横坐标为：1，
∴y
∴A
2（2
…
A n （1+2n ，32
n ）． ∴A 2016（1009，10083），
故答案为：（1009，10083）
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律探究，得出A 点横纵坐标变化规律是解题关键．
18．6030【分析】在Rt △ABC 中根据AB ＝2AC 可得出∠B ＝30°∠A ＝60°【详解】解：如图在Rt △ABC 中∵∠C ＝90°AB ＝2AC ∴sin ∠B ＝＝∴∠B ＝30°∴∠A ＝90°﹣∠B ＝90°﹣3
解析：60 30
【分析】
在Rt △ABC 中，根据AB ＝2AC ，可得出∠B ＝30°，∠A ＝60°．
【详解】
解：如图，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝2AC ，
∴sin ∠B ＝
AC AB
＝12， ∴∠B ＝30°， ∴∠A ＝90°﹣∠B ＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：60，30．
【点睛】
此题考查有一个角是30°的直角三角形的性质，根据三角函数求解较简单．
19．40【分析】如下图利用∠BCA=∠E 可得对应的正切值相等转化为线段比可得BD 长【详解】如下图AB 为乐乐身高BD 是乐乐手臂超出头顶部分AC 是乐乐站立在阳光下的影长AE 是乐乐举起手臂后的影长根据题意AC
解析：40
【分析】
如下图，利用∠BCA=∠E ，可得对应的正切值相等，转化为线段比可得BD 长．
【详解】
如下图，AB 为乐乐身高，BD 是乐乐手臂超出头顶部分，AC 是乐乐站立在阳光下的影长，AE 是乐乐举起手臂后的影长
根据题意，AC=83cm ，AB=166cm ，AE=103cm
∵是阳光照射的影长，∴CB ∥ED
∴∠BCA=∠E
∴tan ∠BCA=tan ∠E ，即：
166********
BD += 解得：BD=40
故答案为：40
【点睛】
本题考查三角函数的运用，解题关键是将题干抽象成数学模型，然后再利用三角函数的特点求解． 20．【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠BCA=90°再根据特殊三角函数值可以求得∠CBA 的值进而求得∠A 的值然后由圆周角的定理得出答案∠D 的值【详解】解：∵的直径是AB ∴∠ACB=90°又∵AB=
解析：60︒
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角，得出∠BCA=90°，再根据特殊三角函数值可以求得∠CBA 的值，进而求得∠A 的值，然后由圆周角的定理得出答案∠D 的值．
【详解】
解：∵O 的直径是AB ，
∴∠ACB=90°,
又∵AB=2,AC=1,
∴sin ∠CBA=
12
AC AB = ∴∠CBA=30°
∴∠A=60°
∴∠D=∠A=60°
【点睛】
本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，在解答时要注意特殊三角函数的取值．
三、解答题
21．3
【分析】
将特殊角的三角函数值代入求解
【详解】
解：sin 30tan 45cos 45sin 60tan 60︒⋅︒︒+︒⋅︒
=
122⨯ =13+1+22
=3
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
22．6【分析】
先计算负指数，零次幂，化去绝对值，与特殊三角函数再化简二次根式，合并同类项即可．
【详解】
()2
01202032cos302π-⎛⎫--+︒ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查实数混合运算问题，关键掌握负指数，会用负指数计算，掌握零次幂的性质，能进行化简，掌握绝对值的意义，会利用绝对值意义去绝对值符号，记住特殊三角函数，能转化为，会化简二次根式为最简二次根式，会判断同类项，能合并同类项使问题得以解决．
23．5.1米
【分析】
延长DE 交AB 延长线于点P 、作CQ AP ⊥于点Q ，根据矩形的判定和性质可得CE PQ 2==、CQ PE =，由坡度1:0.75i =，可设CQ 4x =、BQ 3x =，根据勾股定理可列出关于x 的方程、解方程即可求得x 的值，即由线段的和差可知11DP =，最后解Rt ADP 、线段的和差可求得答案．
【详解】
解：如图，延长DE 交AB 延长线于点P ，作CQ AP ⊥于点Q ，如图：
∵//CE AP ，DE CE ⊥
∴DP AP ⊥
∴四边形CEPQ 为矩形
∴CE PQ 2==，CQ PE = ∵140.753
CQ i BQ === ∴设CQ 4x =、BQ 3x =
∴在Rt BCQ 中, 222BQ CQ BC +=
∴()()22
24310x x += ∴12x =或22x =-（舍去）
∴48CQ PE x ===，36BQ x ==
∴DP DE PE 11=+=
∵测得江面上的渔船A 的俯角为40︒
∴40A ∠=︒
∴在Rt ADP 中,1113.1tan 0.84
DP AP A =
≈≈∠ ∴13.162 5.1AB AP BQ PQ =--=--= ∴此时AB 的长为5.1米．
故答案是：5.1米
【点睛】
本题考查了俯角、坡度、锐角三角函数、矩形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程、线段的和差等，解题的关键在于通过添加辅助线构造出直角三角形．
24．（1）40x -)340x -；（2）EF 的长度10m 或30m ；（3）EF 的长度为20m 时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价3
【分析】
（1）根据菱形的性质及锐角三角函数的应用求解可得；
（2）连接DB ，知EF ∥DB ，由AE AF AD AB
=知AF=AE=x ，证△AEF 是等边三角形得
EF=AE=x ，由EF•EH=3003，列方程解之可得； （3）根据菱形的面积计算公式以及二次函数的性质即可解答本题． 【详解】
（1）∵四边形ABCD 是菱形，且AB=40，
∴AD=AB=40，
∵AE=x ，
则DE=40-x ，
如图，过点D 作DP ⊥EH 于点P ，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
则∠DEH=∠DHE=30°， ∴EH=2EP=2DEcos30°=2×(40-x)×332
=(40-x)； 故答案为：40x -，()340x -；
（2）如图，连接DB ，则EF ∥DB ，
∴
AE AF AD AB
=， ∵AD=AB ，
∴AF=AE=x ，
又∠A=60°， ∴△AEF 是等边三角形，
∴EF=AE=x ，
由（1）可知EH 3=，
∴EF•EH x =•33，
整理，得：2403000x x -+=，
解得121030x x ==，经检验均符合题意，
答：EF 的长度10m 或30m ；
（3）∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=40m ，
∴BD=40，
∴菱形ABCD 的面积是：1402
⨯⨯=2m )，
∵矩形EFGH 的面积是：EF•EH )240x x =-=+，
∴草坪的面积是：()2
2+=-+，
∴总造价为：()225060++-+
2=-+)2
20x =-+ ∵
0>，
∴当20x =时，总造价最小，最小值为
答：EF 的长度为20m 时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价
【点睛】
本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数的应用，菱形的性质，矩形的性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
25．临皋亭M 处与遗爱亭N 处之间的距离为(米．
【分析】
过M 作MD ⊥AC 于D ，设MD ＝x ，在直角三角形中，利用三角函数即可x 表示出AD 与CD ，根据AC ＝AD ＋CD 即可列方程，从而求得MD 的长，进一步求得AM 的长；过B 作BE ⊥AN 于E ，在直角三角形中，利用三角函数即可求出AE 与NE ，再求出ME ，从而求得MN ．
【详解】
过M 作MD ⊥AC 于D ，
设MD ＝x ，
在Rt △MAD 中，∵∠MAB ＝45°，
∴△ADM 是等腰直角三角形，
∴AD ＝MD ＝x ，
在Rt △MCD 中，∠MCA ＝90°−60°＝30°，
∴DC
＝MD÷tan30°，
∵AC ＝600＋400＝1000，
∴x
＝1000，
解得：x＝500（3−1），
∴MD＝500（3−1）m，
∴AM＝2MD＝500（6−2）（m），
过B作BE⊥AN于E，
∵∠MAB＝45°，∠BA＝75°，
∴∠ANB＝60°，
在Rt△ABE中，∵∠MAB＝45°，AB＝600，
∴BE＝AE＝2
2
AB＝3002，
∴ME＝AM−AE＝500（6−2）−3002＝5006−8002，在Rt△NBE中，∵∠ANB＝60°，
∴NE＝3
3BE＝
3
3
×3002＝1006，
∴MN＝1006−（5006−8002）＝（8002−4006）m，
即临摹亭M处与遗爱亭N处之间的距离是（（8002−4006）m．
【点睛】
本题考查了直角三角形的应用−方向角问题，熟练掌握方向角的概念，正确作出辅助线是解题的关键．
26．433
A C'=+
【分析】
利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，再判断出△BCC'是等边三角形，即可得到BC=C'C，进而判断出A'C是线段BC'的垂直平分线，最后用勾股定理和三角函数求解即可．
【详解】
解：如图，连接CC'，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，
∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，
∴△BCC'是等边三角形，
∴BC=C'C，
∵A'B=A'C'，
∴A'C是BC'的垂直平分线，垂足为D，
∴BD=1
BC'=3，
2
在Rt△A'BD中，A'B=5，BD=3，根据勾股定理得，A'D=4，
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=6，
∴CD=BC•cos∠CBD=6×sin60°
∴
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，解本题的关键是判断出A'C是线段BC'的垂直平分线．。