广东省揭阳市惠来县第一中学2018-2019学年高一上学期第一次阶段考试数学试题(解析版)

广东省揭阳市惠来县第一中学2018-2019学年高一上学期
第一次阶段考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.集合A={-1，0}，B={0，1}，C={1，2}，则（A∩B）∪C等于（）
A. B. C. 1， D. 0，1，
2.下列运算结果中，一定正确的是（）
A. B. C. D.
3.下列各组函数是同一函数的是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.下列三个图象中，是函数图象的是（）
A. B. C. D.
5.下列函数中满足在（-∞，0）是单调递增的是（）
A. B. C.
D.
6.已知函数y=f（x）的对应关系如下表，函数y=g（x）的图
象是如图的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C
（3，2），则f[g（2）]的值为（）
7.
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
8.集合A={x|y=}，B={y|y=x2+2}，则阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
9.已知f（-1）=x-2且f（a）=15，则实数a的值是（）
10.甲乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步，
到中点后改为骑自行车，最后二人同时到达B地，甲乙两人骑自行车速度都大于各自跑步速度，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快．若某人离开A地的距离S与所用时间t的函数用图象表示如下，则在下列给出的四个函数中
甲乙二人的图象只可能（）
A. 甲是图，乙是图
B. 甲是图，乙是图
C. 甲是图，乙是图
D. 甲是图，乙是图
11.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（2）=-2，则满足f（x-1）≥-2的x的
取值范围是（）
A. ∪
B. ∪
C. D. ∪
12.已知函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2，不
等式（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0恒成立，则不等式f（1-x）＜0的解集为（）
A. B. C. D.
13.已知偶函数f（x）与奇函数g（x）的定义域都是（-2，2），它们在[0，2）上的图
象分别为图（1）、（2）所示，则使关于x的不等式f（x）•g（x）＞0成立的x的取值范围为（）
A. ∪
B. ∪
C. ∪
D. ∪
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
14.已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）=2x，则f（-1）=______．
15.若函数f（x）的定义域为[-1，4]，则函数f（2x-1）的定义域为______．
16.已知函数f（x）=x2-（2a-1）x+3，x∈[1，4]图象上任意两点连线都与x轴不平行，
则实数a的取值范围是______．
17.设函数f（x）=
，
，＜
，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）
=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
18.已知集合A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax-1=0}，若B∩A=B，求实数a的值构成的集合．
19.已知函数f（x）=+的定义域为集合A，集合B={x|2＜x＜9}，设全集为R．
（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；
（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C∪B=B，求实数a的取值范围．
20.已知函数f（x）=
，
，＜＜，＜
（1）写出f（x）的定义域；
（2）求f（-2）、f（f（f（-2）））的值；
（3）若f（m）＜2，求m的取值范围．
21.已知函数f（x）=+bx（其中a，b为常数）的图象经过（1，3）、（2，3）两点．
（I）求a，b的值，判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（II）证明：函数f（x）在区间[，+∞）上单调递增．
22.已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，函数f（x）=x2-4x+3．
（1）试求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．
23.已知a、b为常数，a≠0，函数f（x）=ax2+bx（x∈R），f（2）=0，且方程f（x）=x
有等根．
（1）求f（x）的解析式及值域；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由；
（3）设集合A={x|f（x）+k＞0}，B={x|-2≤x≤3}，若A⊆B，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：（A∩B）∪C
=（{-1，0}∩{0，1}）∪{1，2}
={0}∪{1，2}={0，1，2}
故选：C．
根据交集和并集的定义，结合已知的集合A、B、C进行求解．
集合的运算一般难度较低，属于送分题，解答时一定要细心，“求稳不求快”．
2.【答案】A
【解析】
解：a3a4=a3+4=a7，
（-a2）3=-a6≠（-a3）2=a6，
（-1）0=1，若成立，需要满足a≠1，
（-a2）3=-a6，
故正确的是A，
故选：A．
根据指数幂的运算性质即可求出答案．
本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】
解：对于A，函数y=的定义域为{x|x≠0}，函数y=1的定义域为R，
两者的定义域不相同，所以不是同一函数，即A不正确；
对于B，函数y=×的定义域为{x|x≥1}，函数y=的定义域为{x|x≥1或x≤-1}，
两者的定义域不相同，所以不是同一函数，即B不正确；
对于C，函数y=|x|的定义域为R，函数y=的定义域为{x|x≥0}，
两者的定义域不相同，所以不是同一函数，即C不正确；
对于D，函数y=x的定义域和值域均为R，函数y==x的定义域和值域也
两者的定义域和值域均相同，所以是同一函数，即D正确．
故选：D．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．
4.【答案】B
【解析】
解：根据函数的定义，一个x对应唯一的y，这样的图象才是函数图象；
∴（2）（3）是函数图象．
故选：B．
根据函数的定义可知，任一个x值，需有唯一的y对应，从而看出图象（2）（3）为函数图象，而（1）不是函数图象，从而选B．
考查函数的定义，以及函数图象的特点．
5.【答案】D
【解析】
解：A．函数的定义域为（-∞，-2）∪（-2，+∞），则在（-∞，0）上不是单调函数，不满足条件．
B．f（x）=-（x+1）2的对称轴是x=-1，在（-∞，0）上不是单调函数，不满足条件．C．f（x）=1+2x2的对称轴是x=0，在（-∞，0）上是单调递减函数，不满足条件．D．当x＜0时，f（x）=-|x|=x为增函数，满足条件．
故选：D．
根据函数单调性的性质进行判断即可．
本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性的性质．
6.【答案】B
【解析】
解：由图象可知g（2）=1，
根据函数图象和函数值的对应关系即可得到结论．
本题主要考查函数值的计算，要求熟练掌握图象法和表格法对应函数值的关系，比较基础．
7.【答案】D
【解析】
解：由x-1≥0，得A={x|y=
}={x|x≥1}=[1
，+∞），
由x2+2≥2，得B={y|y=x2+2}=[2，+∞），
则图中阴影部分表示的集合是C A B=[1，2）．
故选：D．
由题意分别求函数y=的定义域和y=x2+2的值域，从而求出集合A、B；再根据图形阴影部分表示的集合是C A B求得结果．
本题考查了求Venn图表示得集合，关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元素特征，再通过集合运算求出．
8.【答案】D
【解析】
解：根据题意，f（-1）=x-2=（-1）2-1，
则f（x）=x2-1，（x≥-1）
若f（a）=15，则有a2-1=15，解可得a=±4，
又由a＞-1，则a=4；
故选：D．
根据题意，分析可得f（-1）=x-2=（-1）2-1，变形可得函数的解析式，若f（a）=15，则有a2-1=15，解可得a的值，分析a的范围即可得答案．
本题考查函数解析式的计算，注意函数的定义域，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】
解：由题设，两人都是到中点变换了行走方式，且同时到达目的地，由于甲骑自行车的速度较快，故其骑车用时比乙少，而跑步用时比乙多，故甲骑车时函数图象比乙骑车时图象增加得快，即斜率大，跑步斜率比乙跑步斜率小，且其骑车用时比乙少，跑步用时比乙多，甲的图象是先斜率大，后斜率小，而乙的是先斜率小后斜率大，
由此规律知符合甲的运行规律的图象应为①，符合乙的运行规律的图象应为④
故甲、乙各人的图象只可能甲是图①，乙是图④
故选：B．
先研究两个人赶往B地的速度变化规律，再研究四个函数图象的变化特点，两相对照，选出正确答案
本题考点是函数的图象，考查用函数图象表示行程问题中路程关于时间的变化规律，此类题是考查函数单调性的一类题，是最近几年新教材考试中的热门题型
10.【答案】B
【解析】
解：根据题意，偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（2）=-2，
可得f（x）=f（|x|），
若f（x-1）≥-2，即有f（|x-1|）≥f（2），
可得|x-1|≥2，
解可得：x≤-1或x≥3，
即的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）；
故选：B．
根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若f（x-1）≥-2，即有f（|x-1|）≥f （2），可得|x-1|≥2，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式．
解：由不等式（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0恒成立得，函数f（x）是定义在R上的减函数①．
又因为函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，所以有函数f（x+1）过点（0，0）；
故函数f（x）过点（1，0）②．
①②相结合得：x＞1时，f（x）＜0．
故不等式f（1-x）＜0转化为1-x＞1⇒x＜0．
故选：C．
先利用不等式（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0恒成立得到函数f（x）是定义在R上的
减函数；再利用函数f（x+1）是定义在R上的奇函数得到函数f（x）过（1，0）点，二者相结合即可求出不等式f（1-x）＜0的解集．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题．关键点有两处：①判断
出函数f（x）的单调性；②利用奇函数的性质得到函数f（x）过（1，0）点．
12.【答案】D
【解析】
解：如图所示：当x＞0时
其解集为：（0，1）
∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数
∴f（x）g（x）是奇函数
∴当x＜0时，f（x）g（x）＜0
∴其解集为：（-2，-1）
综上：不等式f（x）•g（x）＞0的解集是（-2，-1）∪（0，1）
故选：D．
观察图象选择函数值同号的部分，再由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到f （x）•g（x）是奇函数，从而求得对称区间上的部分，最后两部分取并集．
本题主要考查函数的奇偶性在解不等式中的应用，还考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法．
13.【答案】-1
【解析】
解：∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-1）=-f（1）=-（2-1）=-1，
故答案为：-1．
由题意知f（-1）=-f（1），从而代入函数解析式求解即可．
本题考查了函数的奇偶性的应用．属于基础题．
14.【答案】，
【解析】
解：∵f（x）的定义域为[-1，4]；
∴f（2x-1）满足：-1≤2x-1≤4；
∴；
∴f（2x-1）的定义域为．
故答案为：．
根据f（x）的定义域即可得出函数f（2x-1）需满足：-1≤2x-1≤4，解出x的范围即可．
考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）的定义域求f[g（x）]定义域的方法．15.【答案】（-∞，]∪[，+∞）
【解析】
解：由题意，f（x）在区间[1，4]上为单调函数，且对称轴为x=a-，
则a-≤1或a-≥4，
解得a≤或a≥，
故a的范围为（-∞，]∪[，+∞），
故答案为：（-∞，]∪[，+∞）
由题意，f（x）在区间[1，4]上为单调函数，且对称轴为x=a-，即可求出a的范围．
本题考查二次函数的性质，是基础题．
16.【答案】（，6）
【解析】
解：函数f（x）=的图象如下图所示：
若存在互不相的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=k，
则k∈（-3，4），
不妨令x1＜x2＜x3，
则x1∈（，0），x2+x3=6，
故x1+x2+x3∈（，6），
故答案为：（，6）
画出函数f（x）=的图象，令x1＜x2＜x3，由图象可得x1∈（，0），x2+x3=6，进而得到x1+x2+x3的取值范围．
本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，画出函数的图象后，数形
结合分析出x1∈（，0），x2+x3=6，是解答的关键．
17.【答案】解：A={x|x2-2x-3=0}={-1，3}，
∵B∩A=B，∴B⊆A，
当a=0时，B=∅，满足条件．B⊆A，
当a≠0时，B={}，若满足条件．B⊆A，
则=-1或=3，即a=-1或a=，
综上实数a的值构成的集合{0，-1，}
【解析】
求出集合的等价条件，结合集合交集定义转化为B⊆A进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集关系转化为B⊆A是解决本题的关键．比较基础．
18.【答案】解：（1）解得，3≤x＜6；
∴A={x|3≤x＜6}；
∴A∩B={x|3≤x＜6}，∁R B={x|x≤2，或x≥9}，（∁R B）∪A={x|x≤2，或3≤x＜6，或x≥9}；（2）∵C∪B=B；
∴C⊆B；
∴ ；
∴2≤a≤8；
∴实数a的取值范围为[2，8]．
【解析】
（1）可求出集合A，然后进行交集、并集和补集的运算即可；
（2）根据C∪B=B即可得出C⊆B，从而得出，解出a的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，描述法的定义，交集、并集和补集的运算，子集的定义．
19.【答案】解：（1）出f（x）的定义域为（-∞，10）；
（2）f（-2）=-2+5=3，．
（3）当m≤-2时，m+5＜2，解之得m＜-3；
当-2＜m＜2时，m2＜2，解之得＜＜，
当2≤m＜10时，＜，解之得2≤m＜10，
综上可知，m的取值范围为 ，∪，∪，．
【解析】
（1）分段函数的定义域为各段定义域的并集；（2）按照从内向外的方式进行计算；（3）各段建立不等式来求解．
本题考查分段函数的定义域、函数值、函数不等式问题，属于中档题目．20.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象经过（1，3）、（2，3）两点
∴ ，得a=2，b=1，
∴函数解析，定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
又∵，
∴函数f（x）是奇函数；
（II）设任意的，∈，，且x1＜x2，
∵
=
∵＜，
∴x2-x1＞0，且2-x1x2＜0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在区间，上单调递增．
【解析】
（Ⅰ）把点的坐标代入解析式即可求出a，b，用奇偶性的定义判断即可；
（Ⅱ）利用函数单调性的定义证明即可．
本题考查函数的奇偶性和单调性．判断奇偶性注意定义域要关于原点对称，
这是必要条件；证明单调性问题关键是第二步作差，正确变形是关键．
21.【答案】解：（1）依题意f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，函数f（x）=x2-4x+3．
所以f（0）=0，当x＜0时，-x＞0，则f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-4×（-x）+3]=-x2-4x-3．
＞
所以f（x）=
；
＜
（2）当x＞0时，f（x）的对称轴为x=2，开口向上，
当m≤2时，f（x）在[0，m]上单调递减，此时f（x）在[0，m]上的最大值为g（m）
=f（0）=3，
当2＜m≤4时，f（x）在[0，2]上单调递减，在[2，m]上单调递增，且根据f（x）关于x=2对称知，此时f（x）在[0，m]上的最大值g（m）=f（0）=3．
当m＞4时，f（x）在[0，2]上单调递减，在[2，m]上单调递增，且根据f（x）关于x=2对称知，此时f（x）在[0，m]上的最大值为g（m）=f（m）=m2-4m+3．
综上g（m）=．
【解析】
（1）函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，函数f（x）=x2-4x+3．故f （0）=0，再根据f（x）=-f（-x）求x＜0时的解析式即可．
（2）讨论m范围，根据函数在区间[0，m]（m＞0）上的单调性得到g（m）表达式．
解决此类问题的关键是熟练掌握求函数解析式的方法，以及熟练掌握二次函数的有关性质，并且熟练利用其性质求函数的最值．本题属于中档题．
22.【答案】解：：（1）∵f（x）=ax2+bx，且f（2）=0，∴4a+2b=0．
又方程f（x）=x，即ax2+bx=x，即ax2+（b-1）x=0有等根，
∴△=（b-1）2-4×a×0=0，即b=1，从而a=-，∴f（x）=-x2+x．
又f（x）=-x2+x=-≤，故函数的值域为{y|y≤}．
（2）∵f（x）≤，则有2n≤，n，
又对称轴x=1，∴f（x）在[m，n]是增函数，
∴ ＜
，
解得m=-2，n=0，
∴存在m=-2，n=0使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]．（3）A={x|-＞}∵A⊆B，
当A=∅时，A⊆B，此时△ ≤0，解得k．
当A≠∅时，设g（x）=-，对称轴x=1，要使A⊆B，只需△＞
，
解得＞
，∴-＜，
合，得k．
【解析】
（1）根据f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．列关于a，b的方程解出a，b即可．（2）假设存在，求m，n的值，若能求出，说明存在，否则得出矛盾，说明不存在．
（3）由题意可得A⊆B，分①当A=∅时、②当A≠∅时两种情况，分别利用二次函数的性质求得k的范围，再取并集，即得所求．
本题主要考查二次函数的性质、集合间的包含关系，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．。