中考数学专题训练专题一几何题型中点M型试题

卜人入州八九几市潮王学校专题一中点M型根本条件：
①∠PMQ＝∠B＝∠C；②M是BC的中点
根本结论：
①△EMF∽△EBM∽△MCF.
②EM平分∠BEF，FM平分∠EFC.
③EM2＝EB·EF，FM2＝FC·EF.
常见特例：
特例一：条件：①等边△ABC；②∠MPN＝60°，③P是BC的中点。

特例二：条件：①等腰直角△ABC，AC＝BC，∠C＝90°；②∠EDF＝45°；③点D是AB的中点。

特例三：条件：①AB ＝AC；②∠BAC＝120°，∠EDF＝30°，③D是BC的中点。

特例四：条件：①矩形ABCD；②∠GEF＝90°，③E是AB的中点。

特例五：条件：①直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°；②E是AD的中点；③∠BEC＝90°。

稳固练习：
1.：梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E为AB的中点，假设AD＝2，
BC＝4，∠CED＝90°，那么CD长为。

2.如图，在正方形ABCD中，点E、F在边BC、CD上，假设AE＝2，EF＝1，
AF＝5，那么正方形的边长为。

3.：等边△ABC中，AB＝8，点D为AB的中点，点M为BC上一动点
，以DM为一边，在点B异侧作等边△DMN。

DN交AC于点F，当∠DAN＝90°时，那么FN的长为。

4.如图，以矩形OABC的邻边OA、OC分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，F为线段OA上的一点，将△
COF沿直线CF翻折，点O落在AB的中点E处，且OC＝6.
（1）求直线EF的解析式；
（2）将直线EF绕点F逆时针旋转90°，得到直线m，直线m交y轴于点D，求点D的坐标。

1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为BC边的中点，BE⊥AC于E，DF⊥AB于F.
(1)当00＜α＜900，〔如图1〕，求证：AE＋2BF＝AB；
(2)当900＜α＜1800，〔如图2〕，那么AE、BF、AB之间的数量关系；
(3)在〔1〕的条件下，过点D作DG∥AB，交AC于G，且DF＝GE＝3时〔如图3〕，求BF的值。

2.：直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为射线BC上一点，连接AE，过点E作AE的垂线，分
别交直线AB、直线CD于点G和F.
(1)当点E在BC上时〔如图1〕，求证：BE＝BG＋CF.
(2)当点E在BC的延长线上时〔如图2〕，猜想BE、BG和CF的数量关系，并证明你的猜想；
(3)在〔2〕的条件下，设AE交CD于点H，假设CH＝
9
2
BE，AB＝2，且CD＜
3
4
，求EG的长。

“A〞字型专题
1.，在正方形ABCD中，点E是边AB上一点，点G在边AD上，连接EG，
EG＝DG，作EF⊥EG，交边BC于
点F(图1)。

（1）求证：AE＋CF＝EF；
（2）连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K〔图2〕，探究线段AE、AD、
AK之间的数量关系，直接写出你的结论。

F
M
B C
A D
P
Q
E
巩固1
巩固2
巩固3
图1
F
G
C
D
A
B E
（3） 在〔2〕的条件下，连接线段DE 与线段AC 相交于点P ，〔图3〕假设AK ＝82，△BEF 的周长为
24，求PK 的长。

2. 如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，点D 在BC 上，且∠CAD ＝∠B ，点E 在AB 的中点，连接CE ，CE 与AD 交于
点G ，点F 在BC 上，且∠CEF ＝∠BAC.
（1） 假设∠BAC ＝90°，如图1，求证：EG ＋EF ＝2AC ；
（2） 假设∠BAC ＝120°，如图2，此时线段EG 、EF 、AC 三者之间的数量关系为； （3） 在〔2〕的条件下，在∠BAD 的内部作∠DAM ＝60°，∠DAM 的一边AM 交BC 于点M ，AM 与CE 交于点
N ，假设AC ＝2，求线段MN 的长。

3. ，在△ABC 中，BC ＝AC ，∠MCN ＝2
1
∠ACB ，CM 交AB 于点E ，过点B 作BF ⊥CB 交CN 于点F.
（1） 当∠ACB ＝90°〔如图1所示〕时，求证：BE －AE ＝2BF ；
（2） 当∠ACB ＝120°〔如图2所示〕时，线段BE 、AE 与BF 之间的数量关系为；
（3） 在〔2〕的条件下，FB 、CE 的延长线相交于点G ，连接AG 、FE ，直线AG 、FE 交于点H,假设AC ＝6，
BF ＝BE ，求AH 的长。

“X 〞字型专题
1. ，A 、C 分别为∠BOE 两边上的两点，D 为∠BOE 内一点，DC ∥OB ，DA ∥OE ，连接OD 、AC 相交于点F ，G 为FD 上一
点，过点G 的直线交OE 于Q ，交CD 于点P ，交AD 于点N ，交OB 于点M.
（1） 假设FG ＝
31
FD 时〔如图1〕，求证：PQ ＋MN ＝PN ； （2） 假设FG ＝2
1
FD 时〔如图1〕，且△OAC 为等边三角形，OC ＝4，CQ ＝3，现将∠DAC 绕点A 顺时针旋转，旋转后
AD 所在边交OC 于S ，AC 所在边交CD 于点T ，当旋转到AT ∥MQ 时，连接ST ， 求：ST 长。

2. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，sin ∠BAC ＝
54(即AB BC ＝5
4
)，P 为AB 边上一点，过点P 作PM ⊥BC ，PN ⊥AD 垂足为M 、N 。

（1） 当点M 与点D 重合时，求证：PM ＝5PN.
（2） 当点N 与点重合时，连接AM 交PD 于点E ，将射线PD 绕点P 顺时针旋转45°，交AM 于点F ；假设AC ＝3，求
EF 的长。

“M 〞字型专题
1. ，四边形ABCD 中，AD ＝AB ，AD ∥BC ，∠A ＝90°，M 为AD 的中点，F 为BC 边上一点，连接MF ，过M 点作ME ⊥MF ，
交边AB 于点E 。

（1） 如图1，当∠ADC ＝90°时，求证：4AE ＋2CF ＝CD.
（2） 如图2，当∠ADC ＝135°时，线段AE 、CF 、CD 的数量关系为.
（3） 如图3，在〔1〕的条件下，连接EF 、EC 、EC 与FM 相交于点K ，线段FM 关于FE 对称的线段与AB 相交于点N ，
假设NE ＝
3
10
，FC ＝AE ，求MK 的长。

2.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，过点B 作∠BAC 平分线AD 的垂线，垂足为D ，AD 交BC 于点E.
〔1〕当AC BC ＝
53时，求证：DE ＝81
AE ； 〔2〕当
AC
BC ＝5
4
时，判断DE 、AE 的关系； 〔3〕在〔2〕的条件下，取CD 中点F ，连结EF 并延长交AC 延长线于点G ，交CD 于F ，现有一个45°角顶点与F 重合，将它旋转一边交CG 于点M ，另一边交BC 于点N ，假设CM ＝MG ，AC ＝3，求CN 的长。

2. 如图1，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边中点，以点D 为顶点，作∠PDQ ＝90°，DP 、DQ 分别交
直线AC 、BC 于E 、F ，分别过点E 、F 作AB 的垂线，垂足分别为M 、N.
（1） 求证：EM ＋FN ＝
2
2AC.
图1
F E
B
C
A
D
G
图1
E
F
N
A
C
B
M
P G
C
E
D
Q
M ()N
P D C
A
B
（2） 把∠PDQ 绕点D 旋转，当点E 在线段AC 的延长线上时〔如图2〕
特别资料
一、根本图形：“A 〞字型
1. 计算，：△ABC 中，DA 交BF 于点E ，AE ＝ED ，BD ：CD ＝1:2，AC ＝4，求AF 的值。

2. ，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠BAC ＝120°，假设AC ＝6，BC ＝37，求AD 的长。

3. ，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AF ＝2，AB ＝
2
15
，求DE 的长度。

4.，D 在BC 的延长线上，DF 交AC 于点E ，E 为AC 的中点，BF ＝3AF. 求证：BC ＝2CD.
5.：△ABC 、△BCE 均为等边三角形，且A 、B 、C 一共线，
求证：〔1〕MN ∥AC 〔2〕
MN
BC AB 1
11=
+ 6.，△ABC 中，AD 、CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，∠B ＝60°， 求证：〔1〕AE ＋CD ＝AC 〔2〕假设AD ＝5，PC ＝6，求AE 的长。

二、根本图形：“X 〞字型
1.：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥DE ，且DB ＝BC ，假设AE:EC ＝1:3，AB ＝5，求AD 的长。

2.：△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC 交AD 于点F ，假设∠BAC ＝45°，CD ＝1，BD ＝2
3
求AD 的长。

3. ，矩形ABCD 沿BE 折叠后C 与G 重合，假设DE ＝1，CE ＝2，BC ＝6，求AF
4. ：Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，BF 平分∠ABC ，且FC ＝2AF ，求证：BE
5. ：△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AB ⊥BD ，∠DAE ＝60°，求证：BD ＋2EC
6. ：矩形ABCD 沿AE 折叠后B 与G 重合，且CE:BE ＝1:2，求证：AF －FD ＝2
3
AB.
7. ：矩形ABCD 中，B 〔8，5〕，点P 〔m ，0〕且0＜m ＜8，点O 关于直线PC 的对称点为O '，直线CO '
交直线AB 于Q,
求m 为何值时，△PCQ 是以PQ 为底边的等腰三角形。

三、根本图形“直射影、斜射影〞
1. ：△ABC 中，∠BAD ＝∠C ，假设AB ＝4
，BD ＝2，求AD 长。

2.：△ABC 中，AD ⊥AC ，假设AB ＝AC ＝6，BD ＝1，求BC 的长。

3.：AB ⊥CD ，∠CED ＝90°，DF ⊥AC 交BE 于点G ，假设BG ＝3，AE ＝6，求EG 的长。

4.：AD 平分∠BAC ，E 在BC 的延长线上，EF 垂直平分AD 且CE ＝2CD ，
求证：DE ＝2BD.
5.：Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，延长AC 至E 使∠CED ＝∠CBE ，求证：AC ＝CE.
6.：Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，E 为AD 中点，且EF ⊥EC ，求证：BF ＝3DF.
7.：梯形OABC 中，BC ∥OA ，B 〔3，6〕，A 〔8,0〕点P(m ，n)在AB 边上〔3＜m ＜8〕，过P 作OA 平行线OA ，交AC
于D ，过P 作OA 的垂线交OA 于点E ，
求，当m 为何值时，△ODE 为直角三角形？
8.：△ABC 中，BC ＝2AB ，P 为BC 中点，∠ABC ＝∠APF ＝120°，且∠ABD ＝∠C 〔1〕求证：PF ＝AE 〔2〕假设AD ＝
7，求DE 的长。

四、根本图形“M 〞型①直M 型②斜M 型
1.：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 中点，∠ADE ＝∠B ，假设AC ＝2，BC ＝4，求BE 的长。

2.：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠AEF ＝90°，假设AB ＝3，BE ＝1，
3.：Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 为BC 中点，∠EDF ＝∠B ＝45
4.：△ABC 为等边三角形，D 为BC 中点，∠EDF ＝60°，假设AE ＝3，E
C
A
B
D
F
N
M
E
D A
B
C
F
G
A
D
E
F D
A
B
C
x
5.：△ABC 中，∠BAC ＝120°，∠EDF ＝∠B ＝30°，且AB ＝2AE ，求证:DF ＝CF 。

6.：Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠EDF ＝∠B ＝45°，假设AE:BD ＝1:
2，求证：EC ＝2AE 。

7.：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ，PA:PD ＝1:2，且∠A ＝∠EPF ＝120° 求证：PF ＝3PE.
8.：梯形ABCD 中，BC ∥OA ，A(
225，0)，B 〔2
17
，8〕，点P 在BC 边上，点Q 〔m ，n 〕在AB 边上，PO ⊥PQ ，求当m 为何值时，10
5
3=
PQ BQ 9.Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AD ，且AC ＝2CD, 〔1〕求证：BD ＝2BE.
〔2〕连接EC 交AD 于F ，BD ·CD ＝60，求DF 的长。

五、根本图形：〔1〕“双高型〞①含45°必全等②有6+2对相似，〔2〕斜“A 〞型，〔3〕斜“X 〞型，〔2〕“双斜〞型，
1.：△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，AD:BD ＝1:2，BC ＝
5，求DE 的长。

2.：矩形ABCD 中，BC ＝3AB ，CE:BE ＝1:2，求∠1＋∠2的度数。

3.：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝AC,D 为BC 的中点，∠EDF ＝45°，假设BE ＝4，DE ＝23，求EF 的长。

4.：等边△ABC 边长为
338
，D 为BC 的中点，∠EDF ＝60°，设EF ＝x ，S DEF ∆＝y ，求y 与x 之间的函数关系式。

5.：Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AD ＝BE ＝31AB ＝31AC ，求证：∠1＝∠2。

6.：△ABC 中，AD ⊥BC ，BF ⊥AC ，且∠ABC ＝60°，求证：AB ＋
3CE ＝2CB.
7.：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ＝CD ，∠AEB ＝∠C ＝60°，求证：AD ＋DE ＝BD.
8.：△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，F 为DE 中点，求证：AF ⊥BE.
9.：Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∠EDF ＝90°，且AD:BD ＝1:2， 〔1〕求证：DE ＝2DF.
〔2〕假设CD ·PE ＝DF ·AF ，AC ＝5，求PF 的长。

E
F
C
A B
D A C
B
F
D
E P
Q O B
P
C
A E
D
C
A
B
F E D
C
A B
F
D
C
A
B
E
2
1
C
A
B
D
E。