湖南名校联考联合体2021届高三上学期12月联考数学试卷含答案
湖南省湘中名校教研教改联合体高三上学期12月联考理数试题 含参考答案.
数学（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1.若复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（ ）． A ． i B ．i - C ．2i D ．2i -2.已知集合{}(){}2|11120,|231,A x x x B x x n n Z =--<==+∈，则A B 等于（ ）．A ．{}2B ．{}2,8C ．{}4,10D ．{}2,4,8,10 3. 下列说法正确的是（ ）．A ．a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p 且q 为真命题”是“p 或q 为真命题” 的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“2,230x R x x ∀∈++>”D ．命题p ：“,s i n c o s 2x R x x ∀∈+≤，则p ⌝是真命题4. 利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果 3.84k >，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为（ ）．A ． 5%B ． 75%C ． 99.5%D ．95%5.已知向量()(),3,,3a x b x ==-，若()2a b b +⊥，则a =（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．26.设()[)[]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则()21f x dx -⎰的值为（ ）．A ．423π+B ．32π+C ．443π+ D ．34π+7.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布．（ ） A ．12 B ． 1629 C ． 1631 D ．8158. 一个凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（ ）．A ．．．9 D ．10 9.若正数,a b 满足：121a b +=，则2122a b +--的最小值为（ ）． A ．2 B．2 C ．52D．14+ 10.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对x R ∈恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ）． A ．(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ． ()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．(),2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦11.已知函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点,,A B C ，给出以下判断：①ABC ∆一定是钝角三角形 ②ABC ∆可能是直角三角形 ③ABC ∆可能是等腰三角形 ④ABC ∆不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ）．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 12.已知函数()3213f x x ax bx c =-+++有两个极值点12,x x ，若()112x f x x <<，则关于x 方程()()()220f x af x b --=的实根个数不可能为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题，90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若实数,x y 满足不等式组023010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最小值是____________．14.设()()()25501251111x a a x a x a x +=+-+-++-，则0125a a a a ++++=____________．15.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，ABC ∆的顶点都在抛物线上，且满足0FA FB FC ++=，则111AB AC BCk k k ++=____________． 16.定义在x R ∈上的函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，且()2f x -是偶函数，若对一切实数x ，不等式()()2sin 2sin 1f x f x m ->--恒成立，则实数m 的取值范围为____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,2sin a b c a b A =. （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.18.（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为：商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元. η表示经销一件该商品的利润.（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （2）求η的分布列及期望E η. 19.（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，0//,90,PA AD BC ABC ∠=⊥平面,4,2,6ABC PA AD AB BC ====.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角A PC D --的余弦值. 20.（本小题满分12分）如图，曲线C 由上半椭圆()22122:10,0y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线()2:10C y x y =-+≤连接而成，1C 与2C 的公共点为,A B ，其中1C（1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于点,P Q (均异于点,A B )，是否存在直线l ，使得以PQ 为直径的圆恰好过A 点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分） 设函数()()1ln f x x a x a R x=--∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点()()()()1122,,,A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分. 22.（本小题满分10分）(选修4-4：坐标系与参数方程) 已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标系方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，其中点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}|24x x <<． （1）求实数,a b 的值；（2参考答案一、选择题二、填空题13. -1 14. 33 15.0 16. 2m <-或4m > 三、解答题17.解：（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，∴1sin 2B =， 由ABC ∆为锐角三角形得6B π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分∴1sin 232A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分3Aπ⎛⎫<+<⎪⎝⎭cos sinA C+的取值范围为322⎛⎫⎪⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．12分18.解：（1）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．()()()()310.40.216,110.2160.784P A P A P A=-==-=-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）η的可能取值为200元，250元，300元，()()()()()()()()20010.4250230.20.20.4300120025010.40.40.2P PP P PP P Pηξηξξηξη=======+==+===-=-==--=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分η的分布列为：2000.42500.43000.2240Eη=⨯+⨯+⨯=元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．解法一：（1）∵PA⊥平面,ABCD BD⊂平面ABCD，∴BD PA⊥，又tan tanAD BCABD BACAB AB∠==∠==∴0030,BAC60ABD∠=∠=，∴090AEB∠=，即BD AC⊥（E 为AC与BD交点）．又PA AC，∴BD⊥平面PAC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）过E作EF PC⊥，垂足为F，连接DF．∵DE⊥平面,PAC EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC DF⊥，∴EFD ∠为二面角A PC D --的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 又09030DAC BAC ∠=-∠=，∴sin 1DE AD DAC =∠=，sin AE AB ABE =∠=又AC =PC 8EC ==，由Rt EFC Rt PAC ∆∆得332PA EC EF PC ==． 在Rt EFD ∆中，tan DE EFD EF∠== ∴二面角APC D --．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 解法二：（1）如图，建立坐标系，则()()()()()0,0,0,,,0,2,0,0,0,4A B C D P ，∴()()()0,0,4,23,6,0,23,2,0AP AC BD ===-，∴0,0BD AP BD AC ==， ∴,BD AP BD AC ⊥⊥， 又PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）设平面PCD 的法向量为(),,1n x y =， 则0,0CD n PD n ==，又()()23,4,0,0,2,4CD PD =--=-，∴2340240x y y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，解得42xy ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴2,13n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分平面PAC 的法向量取为()m BD ==-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分393cos ,31m n m n m n==+．∴二面角A PC D --的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）在12,C C 的方程中，令0y =，可得1b =，且()()1,0,1,0A B -是上半椭圆1C 的左、右顶点，设1C 半焦距为c ，由c a =2221a c b -==可得2a =，∴2,1a b ==．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）方法一：由（1）知，上半椭圆1C 的方程为()22104y x y +=≥， 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为()()10y k x k =-≠， 代入1C 的方程，整理得：()22224240k x k x k +-++-=（*）设点P 的坐标为(),P P x y ，∵直线l 过点B ，∴1x =是方程（*）的一个根，由求根公式，得2244P k x k -=+，从而284P ky k -=+，∴点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理，由()()()21010y k x k y x y =-≠⎧⎪⎨=-+≤⎪⎩，得点Q 的坐标为()21,2k k k ----．．．．．．．8分 依题意可知AP AQ ⊥，∴()()22,4,1,24kAP k AQ k k k =-=-++． ∵AP AQ ⊥，∴0AP AQ =，即()2224204k k k k --+=⎡⎤⎣⎦+， ∵0k ≠，∴()420k k -+=，解得83k =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为()813y x =--．．．．．．．．．．．．12分 方法二：若设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，比照方法一给分．21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2222111a x ax f x x x x -+'=+-=，令()21g x x ax =-+，其判别式24a ∆=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分①当2a ≤时，()0,0f x '∆≤>，故()f x 在()0,+∞上单调递增，②当2a <-时，()0,0g x ∆>>的两根都小于0，在()0,+∞上，()0f x '>， 故()f x 在()0,+∞上单调递增，③当2a >时，()0,0g x ∆>=的两根为12x x ==，当10x x <<时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<；当2x x >时，()0f x '>， 故()f x 分别在()()120,,x x +∞，上单调递增，在()12,x x 上单调递减．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）知，2a >． 因为()()()()1212121212ln ln x x f x f x x x a x x x x --=-+--， 所以()()1212121212ln ln 11f x f x x x k ax x x x x x --==+---， 又由（1）知，121x x =．于是1212ln ln 2x x k ax x -=--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分若存在a ，使得2k a =-．则1212ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-，亦即()222212ln 01x x x x --=>（*）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 再由（1）知，函数()12ln h t t t t=--在()0,+∞上单调递增，而21x >， 所以222112ln 12ln101x x x -->--=．这与（*）式矛盾，故不存在a ，使得2k a =-．．．．．12分 选做题22．解：（1）因为点,,,A B C D 的极坐标为54112,,2,,2,,2,3636ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 所以点,,,A B C D的直角坐标为(()(),,1,,1--．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设()00,P x y ：则()002cos 3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数， []22222220044405620sin 32,52t PA PB PC PD x y ϕ=+++=++=+∈．．．．．．．．．10分23．解：（1）由x a b +<，则b a x b a --<<-，所以2b a --=且4b a -=， 得3,1a b =-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）=≤==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分=，即2t =时取等号；如果采用平方或换元也可，参照给分．。
2021年高三上学期联考(12月)数学(理)试题 Word版含答案
侧视图正视图1121R 绝密★启用前2021年高三上学期联考（12月）数学（理）试题 Word 版含答案由株洲市二中高三理科数学备课组命制一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；每小题只有一个正确答案）1．已知全集U=R ，集合，集合，则（ C ）A ．B ．（1，2]C ．D ． 2．已知复数满足，则（ D ）A ．B ．C ．D ． 3．设α为锐角，若cos ＝，则sin 的值为（ B ）A ．B ．C ．D ．4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为 ( C )A. B. C. D.5．已知双曲线 （，）的左、右焦点分别为、，以、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为 ( C )A ．B ．C ．D ．6．下左图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率的程序框图，则图中空白框内应填入（ D ）A ．B ．C ．D ．7．一个几何体的三视图如上右图，则该几何体的体积为 ( D )A． B． C． D．8．若，命题直线与圆相交；命题，则是的 ( A )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（ C ）A． B． C． D．10．已知不等式组表示平面区域，过区域中的任意一个点，作圆的两条切线且切点分别为，当的面积最小时，的值为（ B ）A． B． C． D．11．如上右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（ C ）A．2 B． C． D．12．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为 ( D )A．1－ln 2 B. (1－ln 2) C． D.(1＋ln 2)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 21 ．AMBGNC14．函数() 的单调递增区间是 .15．对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出如下一种解法： 解：由 的解集为，得的解集为， 即关于的不等式 的解集为.参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________． 16．已知椭圆的方程为，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同于的动点，直线与直线分别交于两点，若，则过三点的圆必过轴上不同于点的定点，其坐标为 ．三、解答题：（本大题分必做题和选做题两部分，满分70分，解答须写出详细的计算步骤、证明过程） （一）必做题：17．（本小题满分12分）株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为，，，，，，等七组,其频率分布直方图如下图所示。
湖南名校联考联合体2021届高三上学期12月联考数学试卷
长郡中学师大附中联考联合体2020年高三12月联考长沙一中数学时量：120分钟满分：150分得分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．)1.设集合A ={x |x 2-x -2>0},B ={x |0<x <3},则A ∩B =A.(0,2)B.(1,2)C.0,3)D.(2,3)2.若i32ia -+为纯虚数，则实数a 的值为A ．－32B.－23C.23D.323.平面向量a =(l ,2),|b |=3,a •b =－6，则向量a ,b 夹角的余弦值为A ．－55B.－255C.154.《易经》是中国文化中的精髓，右图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(——表示一根阳线，一一表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概率为A.18B.14C.38D.125.已知两个变量具备线性相关性，现通过最小二乘法求回归直线方程ˆˆˆ ybx a =+,将已知数据代入公式Q =21()ni i i y bx a =--∑计算后得到的代数式为：223131223a b ab b ++-+,使上述代数式取值最小的a ,b 的值即为回归方程的系数，则回归直线方程为A ˆ2y x =-+ B.ˆ2y x =--C .ˆ2yx =+ D.ˆ2yx =-6.某单位有6名员工，2020年国庆节期间，决定从6人中留2人值班，另外4人分别去张家界、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游．要求每个景点有1人游览，每个人只游览一个景点，且这6个人中甲、乙不去衡山，则不同的选择方案共有A.120种B.180种C .240种D .320种7.已知数列{a n }前n 项和为S n ，命题p :1()2n n n a a S +=,命题q :{a n }为等差数列，则p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知A .B 分别为椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P 为椭圆C 上一动点，PA ,PB与直线x =3交于M ,N 两点，△PMN 与△P A B 的外接圆的周长分别为L 1,L 2，则12L L 的最小值为A.54B.34C.24D.14二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9.空气质量指数大小分为五级．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在：[0,50]，[51,100]，[101,200],[201,.300],[301,500]分别对应“优”、“良”、“轻(中)度污染”、“中度(重)污染”、“重污染”五个等级．下面是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有A ．这14天中有4天空气质量指数为“良”B .这14天中空气质量指数的中位数是103C.从2日到5日空气质量越来越差D.连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日10.设动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上(含内部)，且11D P D B λ=，当∠APC 为锐角时，实数λ可能的取值是A.12B.13C.14D.1511.在∆ABC 中，下列说法正确的是A.若A >B ,则sin A >sin BB.存在△ABC 满足cos A +cos B ≤0C.若s in A <cos B ,则△ABC 为钝角三角形D.若π2C >，则22sin sin sin C A B >+12.已知220,()e e ,()()sin πx x a m x f x am x x -->=-=-，若f (x )存在唯一零点，下列说法正确的有A..m (x )在R 上递增B .m (x )图象关于点(2.0)中心对称C .任取不相等的实数x 1,x 2∈R 均有1212()()()22m x m x x xm ++<D .π2a ≥三填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13.已知函数2log ,0,()22,0,x x x f x x ->⎧=⎨+⎩≤，则1(())2f f =．!Z-'·+2,.rO ,14.某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥高为．15.已知三棱锥P -ABC 外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ,PB =8，∠HAC =120°,则三棱锥体积的最大值为．16.如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A ，B 两点．若∠AOB =120°，△OAB 内切圆的半径r =35a b-，则双曲线的离心率为．四、解答题(本题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.(本题满分10分)在①212(1)n n n S S S --+=+；②1212n n n S S a ++++=-；③1(1)nn S a n n+=-+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1，，若确定{a n }是等差数列，求{a n }的通项公式，否则，说明理由．(注：如果选择多个条件分别解答．按第一个解答计分)在△ABC中，∠B=π3，AB=l5，点D在边BC上，CD=l,cos∠ADC=126.(1)求sin∠BAD;(2)求△ABC的面积.四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =120°,PA ⊥底面ABCD ,P A =23，E ,F 分别是P C ,P D 的中点．(1)已知BG BC λ=,若平面EFG //平面PAB ,求λ的值；(2)在(1)的条件下，求平面EFG 与平面PCD 所成二面角的正弦值．20.(本题满分12分)已知A ,B 分别椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，过点M (2,0)任作一条非水平直线交椭圆于P ,Q 两点，若椭圆长轴长为8,且过点(3,)4．(1)求椭圆C 的方程；(2)记直线AP ,BQ 的斜率分别为k 1，k 2，则12k k是否为定值，若是，求出该定值．若不是，请说明理由．有编号为1,2,3的三只小球，和编号为1,2,3,4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立．(1)求三只小球恰在两个盒子中的概率；(2)求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率；(3)记录至少有一只球的盒子．以X表示这些盒子编号的最大值，求EX.已知2()e (21)e x x f x a a x =+--,a 为常数．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若x ≥0时，()(31)cos f x a x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．。
2021年高三数学12月联考试题 理(含解析)
2021年高三数学12月联考试题理（含解析）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第I卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2-x）}，则P∩Q=(1)设集合P={y|y =2cosx}，Q={x∈N|y =log5A.{x|-2≤x≤2)B.{x|-2≤x<2} C．{0,1,2} D.{0,1}(2)命题p：存在x∈[0，]，使sinx +cosx>；命题q：命题“x o∈(0，+∞)，lnx o=x o-1”的否定是 x∈(0，+∞)，lnx≠x-1，则四个命题(p) V(q)、pq、(p) q、p V（q）中，正确命题的个数为A.l B．2 C．3 D．4(3)已知数列{a n}的首项为2，且数列{a n}满足，数列{a n}的前n项的和为S n,则S xx为A.504B.588C.-588D.-504(4)在△ABC中，已知向量=(2，2)， =2，= -4，则△ABC的面积为A.4 B．5 C．2 D.3(5)定义在[-2，2]上的函数f(x)满足（x1- x2）[f(x1)-f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2-a>[(2a -2)，则实数a的范围为A.[一l,2)B.[0,2)C.[0,1)D.[一1,1)(6)设f(x)= sinx+cosx，则函数f(x)在点（-，0）处的切线方程为A． B．C． D.(7)已知函数y=Acos（ax+）+b（a>0，0<<）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A．y=2cos（2x+）-1 B．y=2cos（x一）-1C．y=2cos（x+）-1 D．y=2cos（2x一）一1(8)已知S n是各项为正数的等比数列{a n}的前n项和，a2·a4 =16，S3 =7，则a8=A．32 B．64 C．128 D．256(9)已知函数f(x）=e x- 2ax，函数g（x）=-x3-ax2. 若不存在x1，x2∈R，使得f'(x1）=g'（x2），则实数a的取值范围为A．（-2,3) B．（-6,0) C.[-2,3] D．[-6,0](10)已知锐角△ABC中，角a+的终边过点P( sinB - cosA,cosB - sinA)，且cos（a+）=，则cos2a的值为A． B． C． D．(11)已知实数x，y满足，若目标函数z= ax+by +5（a>0，b>0）的最小值为2，则的最小值为A． B． C． D．(12)若y=ax+b为函数f(x）=图象的一条切线，则a+b的最小值为A．-4 B．-1 C．1 D．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．(13)奇函数f(x）的周期为4，且x∈[0，2]，f(x)=2x-x2，则f(xx)+f(xx)+f(xx)的值为．(14)在平面直角坐标系内，已知B(-3，一3)，C（3，-3），且H(x，y)是曲线x2 +y2 =1任意一点，则的最大值为．(15)已知函数f(x）=sinx+cosx的图象关于x=对称，把函数f(x）的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在x∈[-，]上的单调递减区间为__ 。
解析2022届湖南省名校联合体高三上学期12月联考数学试卷及答案
2022届湖南省名校联合体高三上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22,1,0,1,2,4A B x x =--=∈<Z ，则A B =（ ）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{1,0,1}-C ．{0,1,2}D ．{0,1}答案：B计算得到B 集合的等价集合，然后求交集即可.{}24B x x =∈<Z ，{}{}{}24221,0,1B x x x x ∴=∈<=∈-<<=-Z Z ，又{}2,1,0,1,2A =--，{1,0,1}A B ∴=-．故选：B 2．若复数352i z =-（i 为虚数单位）则||z =（ ） ABCD答案：C先对复数化简，然后再求复数的模 由题意可知：3555(2i)2i 2i 2i (2i)(2i)z -====--++-，则|z |= 故选：C3．已知向量(2,1),(,4)AB AC a ==，若AB AC ⊥，则||BC =（ ） ABC．D ．5答案：D根据AB AC ⊥求得a ，由此求得BC ，进而求得||BC .由题意可得240AB AC a ⋅=+=，解得2a =-，所以(4,3)BC AC AB =-=-，因此||(5BC =-．故选：D4．已知11cos 22cos()παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+，则2sin cos sin cos αααα-=+（ ） A ．1- B ．1 C ．5- D ．5答案：D利用三角函数诱导公式和齐次式弦化切即可解答。
由题意sin tan 2cos ααα-==--，则2sin cos 2tan 15sin cos tan 1αααααα--==++．故选：D ﹒5．1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor ，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金数（151.6182+≈）．泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的形状为正四棱锥，每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，已知金字塔型正四棱锥P ABCD -的底面边长约为656英尺，顶点P 在底面上的投影为底面的中心O ，H 为线段BC 的中点，根据以上信息，PH 的长度（单位：英尺）约为（ ）A ．302.7B ．405.4C ．530.7D ．1061.4答案：C结合已知条件，利用勾股定理列方程，化简求得PH 的长度. 设2BC a =，PO h =，PH s =，由已知得2h as =，又由勾股定理222h s a =-，故22as s a =-，即210s sa a⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因此可求得512s a +=，则5151656530.7222PH s a ++===⨯≈． 故选：C6．函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．答案：A根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值来确定正确选项.由题意，函数2sin ()1x xf x x -=+的定义域为R ， 且22sin()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----===--++，所以函数()f x 为奇函数， 其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项， 2120212f πππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以排除B 项． 故选：A7．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(2,)m 到焦点的距离为3，准线为l ，若l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 的离心率为（ ） A ．3 BCD答案：C先由已知结合抛物线的定义求出2p =，从而可得抛物线的准线方程，则可求出准线l 与两条渐近线的交点分别为1,,1,b b A B a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后由题意可得1||12AOBbS AB a=⋅⋅==曲线的离心率依题意，抛物线22(0)y px p =>准线:2p l x =-， 由抛物线定义知232p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得2p =，则准线:1l x =-，双曲线C 的两条渐近线为b y x a =±，于是得准线l 与两条渐近线的交点分别为1,,1,b b A B a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，原点为O ， 则AOB面积1||12AOBbSAB a=⋅⋅== 双曲线C 的半焦距为c ，离心率为e ，则有2222213c b e a a==+=，解得e故选：C8．在等比数列{}n a 中，1234567845122,55a a a a a a a a a a +++++++==-，则1234567811111111a a a a a a a a +++++++=（ ） A ．6- B ．2425-C ．145D ．2答案：A结合等比数列的性质来求得正确答案.18273645123456781827364511111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++=+++， ∵等比数列{}n a 中4525a a =-，而1827364525a a a a a a a a ====-，∴()12345678123456781111111155126225a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++=-+++++++=-⨯=-． 故选：A 二、多选题9．已知二项式2nx ⎛ ⎝的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（ ）A ．所有项的二项式系数和为128B ．所有项的系数和为1C ．二项式系数最大的项为第5项D ．有理项共3项答案：AB二项式展开式共8项，则n ＝7，然后利用二项式定理逐个选项分析即可得到答案﹒二项式2nx ⎛⎝的展开式中共有8项，则7n =，选项A ：所有项的二项式系数和为72128=，故A 正确；选项B ：令1x =，则7211⎛⨯= ⎝，所以所有项的系数的和为1，故B 正确；选项C ：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C 不正确；选项D：二项式的展开式的通项为37772177C (2)C (1)2rrr r r r r r T x x ---+⎛==- ⎝，当0,2,4,6r =时，二项式的展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D 不正确． 故选：AB ﹒10．已知函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移2π个单位长度，向上平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，则以下结论正确的是（ ） A ．()g x 的最大值为1B ．函数()g x 的单调递增区间为73,3()44k k k ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．4x π=-是函数()g x 的一条对称轴D ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()g x 的一个对称中心答案：BC根据三角函数图象变换求得()g x ，结合函数的最值、单调性、对称性对选项进行分析，由此确定正确选项.()2cos 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，将画数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到22cos 136y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再向左平移2π个单位长度，向上平移2个单位长度得22()2cos 12cos 133636g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项A ：()g x 的最大值为3，故A 错误； 选项B ：令222()36k x k k ππππ-+≤+≤∈Z ，故733()44k x k k ππππ-+≤≤-+∈Z ． 故函数()g x 的单调递增区间为73,3()44k k k ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，故B 正确； 选项C ：因为max 22cos 13()4346g g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-++== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以4x π=-是函数()g x 的一条对称轴，故C 正确；选项D ：因为22cos 1314346g πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-++=≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数()g x 的一个对称中心，故D 错误． 故选：BC11．已知圆22:68210C x y x y +--+=和直线:340l kx y k -+-=，则（ ） A ．直线l 与圆C 的位置关系无法判定B ．当1k =时，圆C 上的点到直线l 2+ C ．当圆C 上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1时，0k =D ．如果直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，则MN 的中点的轨迹是一个圆 答案：BCD对于A ，由于直线恒过定点，所以判断此定点与圆的位置关系即可，对于B ，求出圆心到直线的距离再加上圆的半径即可，对于C ，由题意可得只要圆心(3,4)C 到直线l 距离为1即可，对于D ，设MN 的中点为P ，由垂径定理知PC PA ⊥，从而可得结论由2268210x y x y +--+=，得22(3)(4)4x y -+-=，所以圆心(3,4)C ，半径为2，选项A ：由直线l 的方程可得，3(4)y k x -=-，则直线l 恒过定点(4,3)A ，此点在圆C 内，故直线l 与圆C 相交．故A 错误．选项B ：1k =时，直线l 的方程为34y x -=-，即10x y --=．设圆心(3,4)C 到直线l 距离为d ，则|341|22d --==，所以圆C 上的点到直线l 的最远距离为22+．故B 正确． 选项C ：当圆C 上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1时，圆心(3,4)C 到直线l 距离为1，由2|3443|11k k d k --+==+，得0k =．故C 正确．选项D ：直线l 恒过定点(4,3)A ，设MN 的中点为P ，由垂径定理知PC PA ⊥，故点P 的轨迹是以AC 为直径的圆，故D 正确． 故选：BCD12．已知图1中，正方形EFGH 的边长为22，A 、B 、C 、D 是各边的中点，分别沿着AB 、BC 、CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）A ．平面AEF ⊥平面CGHB ．直线AF 与直线CG 所成的角为60︒C ．多面体ABCD EFGH -6223+D ．直线CG 与平面AEF 2 答案：BD建立空间直角坐标系，结合向量法、割补法对选项进行分析，由此确定正确选项.取CD AB 、的中点O 、M ，连接OH OM 、，如图，∵A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，则CH DH =，∵O 为CD 的中点，∴OH CD ⊥，∵平面CDH ⊥平面ABCD ，平面CDH平面ABCD CD =，OH ⊂平面CDH ，∴OH ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，∵O 、M 分别为CD AB 、的中点，则//OC BM 且OC BM =，且90OCB ∠=︒， 所以四边形OCBM 为矩形，所以OM CD ⊥，以点O 为坐标原点，OM OC OH 、、所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,1,0)(2,1,0)(0,1,0)(0,1,0)A B C D --、、、、(1,1,1)(2,0,1)(1,1,1)(0,0,1)E F G H -、、、． 选项A ，设平面AEF 的一个法向量为()111,,,(1,0,1),(0,1,1)m x y z AE AF ==-=， 由11110m AE x z m AF y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取11z =，则111,1x y ==-，则(1,1,1)m =-． 设平面CGH 的一个法向量为()222,,,(1,0,1),(0,1,1)n x y z CG CH ===-， 由222200n CG x z n CH y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取21z =-，可得221,1x y ==-，则(1,1,1)n =--． 221(1)1110m n ⋅=+--⨯=≠，所以，平面AEF 与平面CGH 不垂直，故A 错误；选项B ，11(0,1,1),(1,0,1),cos ,22AF CG AF CG ====⋅，直线AF 与CG 所成的角为60︒，故B 正确；选项C ，以ABCD 为底面，以||OH 为高将几何体ABCD EFGH -补成长方体1111ABCD A B C D -，则E 、F 、G 、H 分别为11111111A D A B B C C D 、、、的中点，因为2,1AB OH ==，长方体1111ABCD A B C D -的体积为2214V =⨯=，11211111113326A A EF A EF V S AA -=⋅=⨯⨯⨯=△，因此，多面体ABCD EFGH -的体积为111044463ABCD EFGH A A EF V V V --=-=-⨯=，故C 错误；选项D，2cos ,||||2CG m CG m CG m ⋅==⋅⨯，设直线CG 与平面AEF 所成角为θ，则sin θθ==sin tan cos θθθ==D 正确． 故选：BD三、填空题13．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2()log 1f x x =-，则()3f =_________. 答案：2-【解析】求出()3f -的值，利用奇函数的定义可求得()3f 的值.因为()f x 为奇函数，当0x <时，()2()log 1f x x =-，()23log 42f ∴-==， 因此，()()332f f =--=-. 故答案为：2-.14．从下图12个点中任取三个点则所取的三个点能构成三角形的概率为________．答案：101110先求出从12个点中任取3个点的取法，再求出三点共线的情况，从而可求出三个点能构成三角形的概率从12个点中任取三个点，有312C 种取法，由图示得三个点在一条直线上的情况有3463C 18+=，所以所取的三个点能构成三角形的概率为312312C 18202101C 220110-==． 故答案为：10111015．某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为63的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的半径是__________．答案：6设球心为O ，作出过球心的截面图如图所示，然后根据已知条件结合球的性质求解即可 设球心为O ，作出过球心的截面图如图所示，则33OA =， 由截面圆的周长为6π，得26AB ππ⨯=，∴3AB =， 球的半径是2222(33)36OA AB +=+=． 故答案为：6四、双空题16．已知22,30,()1ln,0 3.1x x x f x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨≤≤⎪+⎩ （1）函数()f x 的零点个数为________个；（2）若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为_______． 答案： 1 ln 21,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 由()0f x =直接求解函数的零点即可，由题意可得|()|f x 在[3,0)-上值域为(0,15]且单调递减；在[0,3]上值域为[0,ln 4]且单调递增，要使()g x 与x 轴有3个不同的交点，即|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，画出函数的图象，根据图象求解即可 （1）因为(0)0f =，所以零点个数为1；（2）由题设，当-<3≤0x 时，2()(1)1f x x =--+，故值域为[15,0)-且单调递增； 当03x ≤≤时，1()01f x x =-<+'，故()f x 值域为[ln 4,0]-且单调递减； ∴|()|f x 在[3,0)-上值域为(0,15]且单调递减；在[0,3]上值域为[0,ln 4]且单调递增；要使()g x 与x 轴有3个不同的交点，即|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，它们的图象如图所示，由图知：要使函数图象有3个交，则(1)y a x =+与|()|f x 在[0,3]上有2个交点，当03x ≤≤时，设1()|()|ln ln(1)1h x f x x x ==-=++， 则1()1h x x =+'， 此时，若|()|f x 与(1)y a x =+相切，设切点为(,(1))m a m +， ∴1,1ln(1)(1),a m m a m ⎧=⎪+⎨⎪+=+⎩可得1e a =，当(1)y a x =+过点(3,ln 4)时，有4ln 4a =，得ln 4ln 242a ==，∴ln 212ea ≤<． 故答案为：1，ln 21,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭五、解答题17．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ．若()17252,4a S a a ==+． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设22n an n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．答案：(1)2n a n = (2)n T ()42(1)413nn n =++- （1）、利用等差数列通项公式及前n 项和求出公差，即可求出{}n a 的通项公式；（2）、先求数列{}n b 的通项公式，再利用分组求和法求解. (1)设等差数列{}n a 的公差为d ．()7254S a a =+，()111767442a d a d a d ⨯∴+=+++，1a d ∴=， 又12a =，2d ∴=，2(1)22n a n n ∴=+-⨯=．{}n a ∴的通项公式为2n a n =.(2)由（1）可知2n a n =，22n a n n b a =+，2224244a n n n n b a n n ∴=+=+=+，123n n T b b b b =++++，()()()124144(1)44(123)444=2(1)412143nnn n n n T n n n ⨯-+∴=++++++++=+=++--，()42(1)413nn T n n ∴=++-． 18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23S BA BC =⋅（其中S 为ABC 的面积）．(1)求角B 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，且4c =，求a 的取值范围． 答案：(1)3B π=；(2)(2,8).（1）由已知条件可得sin cos ac B B =，则可得tan B =B ，（2）由角B 的大小和三角形是锐角三角形可求出,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再由正弦定理结三角函数恒等变换公式可得2a = (1)依题意2S BC =⋅，则sin cos ac B B =，又因为(0,),sin 0B B π∈≠，所以tan B 3B π=．(2)由ABC 为锐角三角形及3B π=，得20,,0,322A C C πππ⎛⎫⎛⎫=-∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理得4sin sin a A C=，∴4sin 4sin 32sin sin C A a C C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭====． ∵,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，∴1tan C ∈，∴2(2,8)+，即所求a 的取值范围是(2,8)． 19．某电视台招聘节目主持人，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为23，乙笔试部分每环节通过的概率依次为211,,323，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为23，12，乙面试部分每个环节通过的概率依次为32,43．若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该电视台的节目主持人．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求乙能参与面试的概率；(2)记甲本次应聘通过的环节数为X ，求X 的分布列以及数学期望． 答案：(1)12； (2)分布列见解析，23281﹒ (1)乙笔试部分三个环节全部通过或通过两个，则能参与面试；(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，依次计算出概率即可列出分布列﹒ (1)若乙笔试部分三个环节全部通过或通过两个，则能参与面试，故乙能参与面试的概率21121221111113233233233232P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，311(0)327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 213122(1)C 339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，22321112(2)C 333227P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，322321121112122(3)C 33233323281P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，32232112121218(4)C 33232333227P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32218(5)33281P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭．则X 的分布列为 X 0 12 3 4 5 P127292272281827881故1222288232()0123452792781278181E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， 14A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点,P Q 分别在棱1DD 、BC 上·(1)若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；(2)若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为49，求四面体ADPQ 的体积．答案：(1)证明见解析 (2)83（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算知10AB PQ ⋅=，即可证得结论；（2）利用空间向量结合已知的面面角余弦值可求得74,,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，再利用线面平行的已知条件求得70,,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，再将四面体ADPQ 视为以ADQ △为底面的三棱锥P ADQ -，利用锥体的体积公式即可得解. (1)以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()12,0,4B ，()0,4,0D ，()10,2,4D ， 设()4,,0Q m ，其中m BQ =，04m ≤≤，若P 是1DD 的中点，则()0,3,2P ，()12,0,4AB =，()4,3,2PQ m =--， 于是1880AB PQ ⋅=-=，∴1AB PQ ⊥，即1AB PQ ⊥． (2)由题设知，()4,4,0DQ m =-，()10,2,4DD =-，是平面PDQ 内的两个不共线向量． 设()1,,n x y z =是平面PDQ 的一个法向量，则()111440,0240,0x m y n DQ y z n DD ⎧⎧+-=⋅=⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎩⎩，取4y =，得()14,4,2n m =-．又平面AQD 的一个法向量是()20,0,1n =， ∴(121212cos ,4n n n n n n ⋅==⋅而二面角P QD A --的余弦值为4949=，解得72m =或92m =（舍去），此时74,,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设()101DP DD λλ=<≤，而()10,2,4DD =-，由此得点()0,42,4P λλ-，14,2,42PQ λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵∥PQ 平面11ABB A ，且平面11ABB A 的一个法向量是()30,1,0n =， ∴30PQ n ⋅=，即1202λ-=，解得14λ=，从而70,,12P ⎛⎫⎪⎝⎭． 将四面体ADPQ 视为以ADQ △为底面的三棱锥P ADQ -，则其高1h =，故四面体ADPQ 的体积11184413323ADQV Sh =⋅=⨯⨯⨯⨯=．方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为1e 2=．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右两个顶点分别为12,A A ，T 为直线:4l x =上的动点，且T 不在x 轴上，直线1TA 与C 的另一个交点为M ，直线2TA 与C 的另一个交点为N ，F 为椭圆C 的左焦点，求证：FMN 的周长为定值． 答案：(1)22143x y += (2)证明见解析（1）、利用已知条件列出方程组，求解,a b ，从而得到椭圆得标准方程；（2）、设出直线1AT 、2A T 的方程，与椭圆方程联立，求出M N 、坐标，计算MN k ，求出直线MN 的方程，分析出故直线MN 经过定点(1,0)，从而求出FMN 的周长为定值． (1)1e 2c a ==，222,3a c b a c c ∴==-， 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，22191412c c ∴+=， 1c ∴=，23a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22143x y+=． (2)解法一：证明：由题意可知，12(2,0),(2,0),(4,)(0)A A T t t -≠，设()()1122,,,M x y N x y ，直线1AT 的方程为(2)6t y x =+，直线2A T 的方程为(2)2ty x =-， 联立方程组22(2),61,43t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得()222227441080t x t x t +++-=， 可得2124108227t x t --⋅=+，所以21254227t x t -=+，则()211225421822662727t t t ty x t t ⎛⎫-=+=+= ⎪++⎝⎭，故22254218,2727t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 由22(2),21,43t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得()2222344120t x t x t +-+-=，可得22214322t x t -=+，所以222623t x t -=+， 则()22222266222233t t t t y x t t ⎛⎫--=-=-= ⎪++⎝⎭，故222266,33t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 所以22222221866273542269273MNt tt t t k t t t t t +++==-----++，故直线MN 的方程为22226626393t t t y x t t t ⎛⎫-+=-- ⎪+-+⎝⎭， 即222666(1)999t t ty x x t t t =-+=-----，3t ≠±， 故直线MN 过定点(1,0)，所以FMN 的周长为定值8．当3t =±时，331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知MN 是椭圆的通径，经过焦点(1,0)，此时FMN 的周长为定值48a =， 综上可得，FMN 的周长为定值8．解法二：当直线MN 斜率存在时，设其方程为：y kx m =+，由()22222,3484120143y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩． 设()()1122,,,M x y N x y ，则有21212228412,3434km m x x x x k k-+=-⋅=++， 直线111:(2)2y y x x A M =++，令4x =，得1162=+y y x ， 直线222:(2)2y y x x A N =--，令4x =，得2222y y x =-，所以1212322y y x x =+-， 由()()222222212212323231432424x x x y y y x y x y +++=⇒=-⇒=--+， 所以()()()()12122240x x kx m kx m +⋅+++⋅+=，即()()22121241(24)440k x x km x x m ++++++=，化简得(2)()02m k m k m k -+=⇒=或m k =-．2m k =时直线MN 过点1(2,0)A -（舍），所以m k =-，即直线MN 的方程为(1)y k x =-，过定点(1,0)． 当直线MN 的斜率不存在时，设其方程为：x t =， 则有1212,x x t y y ===-，代入121233112222y y t x x t t =⇒=-⇒=+-+-， 直线1x =也过定点(1,0)，综上所述，直线MN 始终经过椭圆的右焦点，故FMN 的周长为定值48a =．解法三：当M位于椭圆的上顶点，则此时M ，直线1A M 与:4l x =相交于点T ， 则直线2A T的方程为2)2y x =-， 联立椭圆方程可得：21554480x x -+=，则可知8,5N ⎛ ⎝⎭，易知直线MN 经过椭圆的右焦点(1,0)F '，此时FMN 的周长为定值48a =， 猜想，若FMN 的周长为定值，则直线MN 经过椭圆的右焦点． 证明如下：依题意直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为1x my =+，代入椭圆方程得：()2234690m y my ++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++．直线111:(2)2y y x x A M =++，令4x =，得1162=+y y x ， 直线222:(2)2y y x x A N =--，令4x =，得2222y y x =-， 因为()()()()()()()1221121212121212232222362222222y x y x my y y y y y x x x x x x --+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-==+-+-+-()()2212962233434022m m m m x x --⎡⎤⨯-⨯⎢⎥++⎣⎦==+-， 所以直线12,A M A N 的交点在直线:4l x =上，即过直线:4l x =上的点T 所作的两条直线1TA 和2TA 分别与椭圆相交所得的两点M 、N 形成的直线MN 始终经过椭圆的右焦点， 故FMN 的周长为定值48a =．22．已知函数ln ()1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（其中a 为非零实数）． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()e ()x g x f x =-（e 为自然对数的底数）有两个零点． ①求实数a 的取值范围；②设两个零点分别为1x 、2x ，求证：()12212e x x x x -+>． 答案：(1)答案见解析 (2)①(,)e +∞；②证明见解析（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）①由()0g x =转化为()ln ee xxa x x =，通过换元法，结合导数求得a 的取值范围.②利用换元法，将证明()12212e x x x x -+>转化为证明1ln 21s s s ->+，通过构造函数法，结合导数来证得不等式成立. (1)2(1ln )()a x f x x -'=， 若0a >，则当(0,e)x ∈时，21ln 0xx->，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(,)x e ∈+∞时，21ln 0xx-<，()0f x '<，()f x 单调递减．若0a <，则当(0,e)x ∈时21ln 0xx->，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(,)x e ∈+∞时，21ln 0xx-<，()0f x '>，()f x 单调递增． (2)由已知得e (ln )()0x x a x x g x x-+==有两个不等的正实根， 所以方程e (ln )0x x a x x -+=，即()e ln e 0x x x a x -=，即()ln e e x xa x x =有两个不等正实根．①设e x x t =，则ln (0)a t t t =>有两个不等根，又a 为非零实数，即ln 1t t a=有两个不等根， 由（1）知，函数ln x y x=在(0,e)递增，在(e,)+∞递减，有极大值1e ，又0x →时，()f x →-∞；x →+∞时，()0f x →． 若ln 1t t a =有两个不等根，则110ea <<，即实数a 的取值范围是(,)e +∞． ②要证()12212e x x x x -+>，只需证()()12212e e e x x x x ⋅>，即证()()1212ln e ln e 2x x x x +>．令121122e ,e x xt x t x ==，所以只需证12ln ln 2t t +>．由()ln ee xxa x x =得11ln a tt =，22ln a t t =，所以()()21212121ln ln ,ln ln a t t t t a t t t t -=-+=+，消去a 得()221121212122111ln ln ln ln ln 1t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--，只需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-．设120t t <<，令21t s t =，则1s >，所以只需证1ln 21s s s ->+． 令1()ln 21s h s s s -=-+，1s >，则22214(1)()0(1)(1)s h s s s s s -'=-=>++， 所以()(1)0h s h >=，即当1s >时，1ln 201s s s -->+成立． 所以12ln ln 2t t +>，即()()12212e e e x x x x ⋅>，即()12212e x xx x -+>.在利用导函数研究函数的单调性的过程中，如果遇到参数，则需对参数进行分类讨论.。
2021年高三上学期12月联考试题 数学(文) 含答案
2021年高三上学期12月联考试题 数学（文） 含答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部是 （ ）A ．1B ．C ．D ．2．已知集合，，则( )A ． B. C. D.3．已知向量，若与平行，则实数的值是（ ）A ．4B ．1C ．D ．4．设，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的零点的个数为（ ）A ．0 B. 1 C ． 2 D ． 36．已知等比数列为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2) ＝5a n ＋1，则数列的公比q ＝（ ）A ．2或12 B. 2 C ．12D ．-2 7．若,则,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．9．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！ 他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。
特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。
在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。
如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里（这五个日子均不相同），任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知三棱锥外接球的表面积为，底面为正三角形，其正视图和侧视图如图所示，则此三棱锥的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．正视图 侧视图 411．已知函数，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值是（）A． B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）Array二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长郡中学、师大附中、长沙市一中联合体2021届高三12月联考 数学(含答案)
长郡中学师大附中 联考联合体2020年高三12月联考长沙一中数 学时量：120分钟满分：150 分得分一、单项选择题(本题共8 小题 ，每小题 5 分，共 40 分．在每小题 给出的 四个选项中，只有一项符合题目要求．)1.设集合A = {x |x 2- x - 2> 0} ,B ={x |0 < x < 3} , 则A ∩B =A. (0,2)B.(1,2)C. 0,3)D. (2,3)2.若i 32ia -+为纯虚数，则实数a 的值为A ．－B. －C.D. 322323323.平面向量 a = ( l , 2) ,| b |=3, a • b =－6，则向量 a , b 夹角的余弦值为A ．－ B. － C. D.5525515454.《易经》是中国文化中的精髓，右图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(——表示一根阳线， 一一表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有 1 根阳线和 2 根阴线的概率为A. B.1814C. D. 38125.已知两个变量具备线性相关性，现通过最小二乘法求回归直线方程ˆˆˆybx a =+, 将已知数据代入公式 Q =21()ni i i y bx a =--∑计算后得到的代数式为：223131223a b ab b ++-+,使上述代数式取值最小的a , b 的值即为回归方程的系数，则回归直线方程为A ˆ2yx =-+ B. ˆ2y x =--C . ˆ2y x =+ D. ˆ2yx =-6.某单位有 6 名员工，2020 年国庆节期间，决定从 6人中留 2人值班，另外 4人分别去张 家界 、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游．要求每个景点有 1 人游览，每个人只游览一个景点 ，且这 6 个人中甲、乙不去衡山，则不同的选择方案共有A. 120 种B. 180 种C . 240 种D . 320 种7.已知数列{a n }前 n 项和为S n ，命题p : 1()2n n n a a S +=,命题q : {a n } 为等差数列 ，则p 是 q 成立的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知 A . B 分别为椭圆22:14x C y +=的 左 、右 顶 点 ，P 为椭圆 C 上一动点，PA , PB 与直线x = 3 交于 M , N 两点，△PMN 与△P A B 的外接圆的周长分别为L 1,L 2，则12L L 的最小值为A. B. C. D. 54342414二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9.空气质量指数大小分为五级 ．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在： [0, 50]， [51, 100]， [101, 200] , [ 201, .300 ] , [ 301, 500 ] 分别对应“优”、“良”、“ 轻(中 )度 污染”、“ 中度(重)污染”、“重污染”五个等级．下面是某市连续 14 天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有A ． 这14 天中有 4 天空气质 量指数 为“良”B . 这 1 4天中空气 质量指数的中位数是 103C.从 2 日到 5日空气质量越来越差D.连续三天中空气质量指数方差最小的是 9日 到 11日10.设动点 P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上(含内部)，且11D P D B λ= ，当∠APC 为锐角时，实 数λ可能的取值是A.B.1213C.D.141511.在∆ABC 中，下列说法正确的是A.若 A > B , 则 sin A > sin BB. 存在△ABC 满 足cos A + cos B ≤0C.若 s in A <cos B , 则△ABC 为钝角三角形D.若π2C > ，则22sin sin sin C A B >+12.已知220,()e e ,()()sin πx x a m x f x am x x -->=-=-，若f (x )存在唯一零点，下列说法正确的有A..m (x )在 R 上递增B .m (x )图象关于点( 2 . 0)中心对称C .任取不相等的实数x 1,x 2∈R 均有1212()()()22m x m x x x m ++<D .π2a ≥三 填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．)13.已知函数2log ,0,()22,0,x x x f x x ->⎧=⎨+⎩≤，则1(())2f f = ．! Z-'· + 2 ,.r O ,14. 某圆锥母线长为4，其侧面展开图 为半圆面，则该圆锥高为 ．15.已知三棱锥 P -ABC 外接球的表面积为 100π， PB ⊥平面ABC , PB =8，∠HAC = 120°, 则三 棱锥体积的最大值为 ．16.如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A ，B两点．若∠AOB =120°，△OAB 内切圆的半径r =则双曲线的离心率为 ．四、解答题(本题共 6 小题 ．共 70 分．解答应写 出 文字说 明、证明过程或 演算步骤．)17.( 本题满分 10 分)在①212(1)n n n S S S --+=+；②1212n n n S S a ++++=-；③1(1)n n S a n n+=-+这三个条件中任选一个，补充在下面的问 题中，并解答该问题．问题：已知数列{a n }的 前 n 项 和为 S n , a 1 = 1， ，若确定{a n }是等差数列，求{a n }的通项公式，否则，说明理由．(注： 如果选择多个条件分别解答．按第一个解答计分)18.( 本题满分 12 分)在△ABC 中，∠B =， AB =l5，点 D 在边BC 上，π3CD = l , cos ∠ADC =.126(1) 求 sin ∠BAD ;(2) 求△ABC 的面积.19.(本题满分 12 分)四棱锥 P -ABCD 的底面 ABCD 是边长为2 的菱形，∠BAD = 120°, PA ⊥底面ABCD ,P A = 2，E , F 分别是3P C ,P D 的中点．(1 ) 已知BG BC λ= , 若平面 EFG //平面PAB ,求λ的值；(2) 在(1)的条件下，求平面 EFG 与平面PCD 所成二面角的正弦值．20.( 本题满分 12 分)已知 A , B 分别 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点 ，过点 M ( 2,0)任作一条非水平直线交椭圆于 P , Q 两点，若椭圆长轴长为 8,且过点．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 记直线 AP , BQ 的斜率分别为k 1，k 2，则12k k 是否为定值，若是，求出该定值．若不是，请说明理由．21. ( 本题满分 12 分)有编号为 1 , 2, 3 的三只小球，和编号为 1, 2 , 3 , 4 的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立．(1) 求三只小球恰在两个盒子中的概率；(2) 求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率；(3) 记录至少有一只球的盒子．以X 表示这些盒子编号的最大值，求EX .22. ( 本题满分 12 分)已知2()e (21)e x x f x a a x =+--, a 为常数．(1) 讨论 f ( x )的单调性；(2) 若x ≥0 时，()(31)cos f x a x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．。
湖南名校2021届高三第二次(12月)联考数学试卷
绝密★启用前湖南名校2021届高三第二次（12月）联考数学试卷学校：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设集合{}2 2 0 ,0{|}| 3A x x x B x x =-->=<< , 则A B ⋂=（ ） A. ()0,2 B.()1,2C. (0,3)D. ()2,32.若i32ia -+为纯虚数,则实数a 的值为（ ） A.32-B.23-C.23D.323.平面向量 1,2 ,()||3,6==⋅=-a b a b ，则向量,a b 夹角的余弦值为（ ）A. B. C.15D.454.《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）A.18B.14 C. 38D.125.已知两个变量具备线性相关性，现通过最小二乘法求回归直线方程ˆˆˆy bx a =+, 将已知数据代入公式 Q =21()nii i ybx a =--∑计算后得到的代数式为：223131223a b ab b ++-+, 使上述代数式取值最小的,a b 的值即为回归方程的系数，则回归直线方程为（ ）A.ˆ2y x =-+B.ˆ2y x =--C.ˆ2yx =+D.ˆ2yx =- 6.某单位有 6 名员工,2020 年国庆节期间,决定从 6人中留 2人值班,另外 4人分别去张家界 、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游.要求每个景点有 1 人游览,每个人只游览一个景点 ,且这 6 个人中甲、乙不去衡山,则不同的选择方案共有（ ） A.120种B.180种C.240种D.320种7.已知数列{}n a 前 n 项和为n S ,命题()1:2n n n a p S α+=,命题:{}n q a 为等差数列 ,则p 是 q 成立的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知 ,A B 分别为椭圆22:14x C y +=的 左 、右顶 点 ,P 为椭圆 C 上一动点,, PA PB 与直线3x =交于 , M N 两点,PMN △与PAB △的外接圆的周长分别为12,L L ,则12L L 的最小值为（ ）D.14二、填空题9.已知函数2log ,0,()22,0,x x x f x x ->⎧=⎨+⎩≤，则1(())2f f = ．10.某圆锥母线长为4，其侧面展开图 为半圆面，则该圆锥高为 ．11.已知三棱锥 P ABC -外接球的表面积为 100π,PB ⊥平面,8 120ABC PB HAC =∠=︒，, 则三 棱锥 P ABC -体积的最大值为 ．12.如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A B ，两点．若120AOB OAB ∠=︒，△内切圆的半径r=5b-，则双曲线的离心率为 ．三、多项选择题13.空气质量指数大小分为五级 ．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在：[][][][][] 0, 5051, 100101, 200 , 201, .300 , 301,500，， 分别对应“优”、“良”、“ 轻(中 )度 污染”、“ 中度(重 )污染”、“重污染”五个等级．下面是某市连续 14 天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有（ ）A.这14 天中有 4 天空气质 量指数 为“良”B.这 1 4天中空气 质量指数的中位数是 103C.从 2 日到 5日空气质量越来越差D.连续三天中空气质量指数方差最小的是 9日 到 11日14.设动点 P 在正方体1111ABCD A B C D -上(含内部),且11D P D B λ= ,当APC ∠为锐角时,实数λ可能的取值是（ ） A.12B.13C.14 D.1515.在ABC △中，下列说法正确的是（ ） A.若 A B >, 则 sin sin A B >B. 存在ABC △满 足cos cos 0A B +≤C.若 sin cos A B <, 则ABC △为钝角三角形D.若π2C >，则22sin sin sin C A B >+ 16.已知220,()e e ,()()sin πx x a m x f x am x x -->=-=-，若()f x 存在唯一零点，下列说法正确的有（ ）A.()m x 在 R 上递增B.()m x 图象关于点(2,0)中心对称C.任取不相等的实数12,x x R ∈ 均有1212()()()22m x m x x xm ++<D.2a π≥四、解答题17.在①212(1)n n n S S S --+=+；②1212n n n S S a ++++=-；③1(1)nn S a n n+=-+这三个条件中任选一个，补充在下面的问 题中，并解答该问题．问题：已知数列{}n a 的 前 n 项 和为 1,1n S a =， ，若确定{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式，否则，说明理由．18.在ABC △中，,153B AB π∠==，点 D 在边BC 上，11,cos 26CD ADC =∠=.(1) 求 sin BAD ∠; (2) 求ABC △的面积.19.四棱锥 P ABCD - 的底面 ABCD 是边长为2 的菱形， 120,BAD PA ∠=︒⊥底面,ABCD PA=, E F 分别是,PC PD 的中点．(1 ) 已知BG BC λ=, 若平面 //EFG 平面PAB ,求l 的值；(2) 在(1)的条件下，求平面 EFG 与平面PCD 所成二面角的正弦值．20.已知 ,A B 分别 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点 ，过点()2,0M 任作一条非水平直线交椭圆于 ,P Q 两点，若椭圆长轴长为 8,且过点． (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 记直线 ,AP BQ 的斜率分别为12k k ，，则12k k 是否为定值，若是，求出该定值．若不是，请说明理由．21.有编号为 1 , 2, 3 的三只小球，和编号为 1, 2 , 3 , 4 的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立． (1) 求三只小球恰在两个盒子中的概率；(2) 求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率； (3) 记录至少有一只球的盒子．以X 表示这些盒子编号的最大值，求EX . 22.已知2()e (21)e x x f x a a x =+--, a 为常数．(1) 讨论()f x 的单调性；(2) 若0x ≥时，()(31)cos f x a x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1.答案：D解析：{2A x x =>∣或1}x <-，则(2,3)A B =∩. 2.答案：C 解析：(i)(32i)(32)(23)i i 32i (32i)(32i)13a a a a ----+-==++-,则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =. 3.答案：B解析：cos ||||θ⋅===a b a b 4.答案：C 解析：38m p n ==. 5.答案：D解析：222231312233(2)(1)2a b ab b a b b ++-+=++-+,当2010a b b +=⎧⎨-=⎩，即21a b =-⎧⎨=⎩时上式最小，故ˆ2yx =-. 6.答案：C解析：以地点为对象，依次考虑各景点可能人数：4543240N =⨯⨯⨯=. 7.答案：C解析：若p 成立，则()12n n n a a S +=，则()111(1)2n n n a a S ++++=，两式相减得：()()1111(1)22n n n n a a n a a a +++++=-，即11(1)0n n n a na a +--+=，于是，211(1)0n n na n a a ++-++=，再将以上两式相减得：2120n n n na na na ++-+=， 即2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 为等差数列，故命题q 成立；而q 成立，p 显然成立. 8.答案：A解析：容易知道14PA PB k k ⋅=-，设1:(2),:(2)4PA PB l y k x l y x k=+=--，令3x =得15,4M N y k y k ==-，不妨设0k >，则154MN k k=+，设PMN △和PAB △外接圆的半径分别为12,r r ，由正弦定理得122,2sin sin MN ABr r MPN APB ==∠∠，又180MPN APB ︒∠+∠=，所以111222125524424k k L r r MN kL r r ABππ⋅+=====9.答案：4解析：(1)2111log 1,(1)224222f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 10.答案：解析：圆锥底面半径2,r h ===11.答案：解析：设ABC △三边的长分别为11,,,sin120832a b c V bc ︒=⋅⋅=，设球的半径为R ，由24100R π=π，得225R =，设ABC △外接圆的半径为r ，由正弦定理得2sin120a r ︒=，即222,425r R ⎫==+⎪⎪=⎝⎭，所以22272cos120a b c bc ︒==+-⋅，即222723b c bc bc bc bc =+++=，故23239,963bc V bc =⨯=，当且仅当3b c ==时取等号. 12.解析：由焦点F 到渐近线的距离为,120b OAB ︒∠=知AF =， 在OAF △中，由余弦定理得2222cos120OF OA AFOA AF ︒=+-⋅⋅⋅，即2222cos120c OA OA ︒⎫=+-⋅⋅⎪⎪⎝⎭，解得OA a =-， 设OAB △内心为M ，作MN OA ⊥于N ，显然60,MAO MN r ︒∠===， 则AN ==ON OA AN a=-=-，tan MNMON ON ∠===b e a ==. 13.答案：ACD解析：14天中有：1日，3日，12日，13日空气质量指数为良，共4天，故A 对； 14天中的中位数为86121103.52+=，故B 错误；从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故C 对；D 答案显然成立. 14.答案：CD解析：设1,AP x D P t ==，设正方体的棱长为1，则AC APC △中，由余弦定理得2222221cos 2x x x APC x x +--∠==，若APC ∠为锐角，则2210x x ->，则21x >，在1AD P △中，11cos AD AD P =∠=2222x t t =+-⋅于是2221t t +->，即2330t -+>，解之得：t >t <，由1D B =1λ>（舍）或103λ<<.15.答案：ACD 解析： 16.答案：ABD 解析：17.答案：若选①，由()2121n n n S S S --+=+成立，则必须n ≥3， 此时1122n n n n S S S S ----=-+，即12(3)n n a a n -=+， 这只能说明数列{}n a 从第2项开始构成等差数列， 数列通项公式无法确定。
2021年高三上学期12月联考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期12月联考数学（理）试题 含答案考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一：选择题：（每题5分，共60分）．1.设{}{}R x y y Q R x x y y P x ∈==∈+-==,2,,12，则 （ ） A. B. C.D.2已知为两个命题，则“是真命题”是 “是真命题”的（ ）A ．充分不必要条B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数的大致图象如图所示， 则函数的解析式应为（ ）A. B.C. D.4.已知，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．5. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB ，则为（ ）A. B. C. D.6. 已知函数在上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A. B C. D.7.设，曲线在处的切线与轴的交点的纵坐标为，则( ) A.80 B 32 C. 192 D. 256 8. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）正视图 侧视图2231221俯视图（圆和正方形）A. 4+B. 4+C. 4+D. 4+ 9．已知=(cos π, sin π), , ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（ ）A ．1B ．C ．2D ．10. 在椭圆（ａ＞）中，记左焦点为F,右顶点为A ，短轴上方的端点为B ，若角，则椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．在正三棱柱中，若,则与所成的角的大小是（ ）12．如果直线与圆交于M,N 两点，且M,N 关于直线对称，动点P(a ，b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则点取值范围是（ ） A B C D二：填空题：（每题5分，共20分）． 13.计算定积分=________．14.夹在的二面角内的一个球与二面角的两个面的切点到棱的距离都是6，则这个球的半径为_______． 15.记函数的导数为，的导数为的导数为。
2021年高三上学期12月联考试题 数学 含答案
2021年高三上学期12月联考试题 数学 含答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3},A B a A B a ==⋃==则 ▲ ．2．如果复数为纯虚数，则= ▲ ． 3．如右图程序运行的结果是 ▲ ．4．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面． 他把4枚硬币叠成一摞（如右图），则所有相邻两枚硬币中 至少有一组同一面不相对的概率是 ▲ ．5．甲､乙两个样本数据的茎叶图（如右图），则甲､乙两样 本方差中较小的一个方差是 ▲ ． 6．已知三个球的半径、、满足， 记它们的表面积分别为、、，若， 则 ▲ ．7．经过函数上一点引切线与轴、轴分别交于点和点，为坐标原点,记的面积为,则= ▲ ． 8．函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的图象如右图所示，若，则= ▲ ．9．在△ABC 中，所对边的长分别为a ，b ，c ． 已知a ＋2c ＝2b ，sinB ＝2sinC ，则＝ ▲ ．10．如右图，线段的长度为，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，则的取值范围是 ▲ ．11．已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是 ▲ ． 12．已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．(第10题图 )BO CAy x(第4题图 )(第8题图 )（第3题WhileEnd WhilePrint b(第5题图)13．集合{}1007*(,)(1)(2)()6,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合中的元素个数为 ▲ ． 14．实数，满足如果它们的平方组成公差的等差数列，当 取最小值时，= ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点的坐标为，点的坐标为，其中，设（为坐标原点）. （Ⅰ）若，为的内角，当时，求的大小；（Ⅱ）记函数的值域为集合，不等式的解集为集合.当时，求实数的最大值.16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．求证：（Ⅰ）DE ∥平面ABC 1； （Ⅱ）B 1C ⊥DE ．17．（本小题满分14分）某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求总量（万吨）与的函数关系为，若区域外前4个月的需求总量为20万吨．（Ⅰ）试求出当第个月的石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；（Ⅱ）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆：的离心率为，且右焦点F 到左准线l 的距ABCDA 1B 1C 1E离为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）（1）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，当为定值时求的值；（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于时，试探究是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由． 19．（本小题满分16分）设函数．（Ⅰ）若，函数在的值域为，求函数的零点； （Ⅱ）若，，．（1）对任意的,恒成立, 求实数的最小值； (2)令,若存在使得,求实数的取值范围.20．（本小题满分16分）已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的恒成立.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k ，使成等比数列，若数列的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．高三数学附加题 xx.12.1821．（选修4－2 矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22．（选修4－4 坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P 的直角坐标.23．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x ，y ．记表示的整数部分，如：，设为随机变量，． （Ⅰ）求概率；（Ⅱ）求的分布列，并求其数学期望．24．（本小题满分10分）数学运算中，常用符号来表示算式，如=，其中，. （Ⅰ）若，，，…，成等差数列，且，公差，求证：； （Ⅱ）若，，记，且不等式对于恒成立，求实数的取值范围.高三数学质量检测参考答案 xx.12.18一、填空题：1． 3 2． 3． 96 4． 5．23 6． 7． 8． 9．2410． 11． 12． 13． xx 14． 二、解答题：15．解：(Ⅰ)由题意()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+=⋅=32sin 22cos 32sin cos 3sin πωωx x x x x ON OM x f 3分当时，，75130,2,2333366A A A πππππππ<<∴<+<∴+=或， . ……7分（Ⅱ）由()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f 得，的值域， ……10分 又的解为，故要使恒成立，只需，所以的最大值为2. ……14分16．解：（Ⅰ）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又因为D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点， 所以DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因为DF 平面ABC 1，AC 1平面ABC 1，故DF ∥平面ABC 1． ……3分 同理，EF ∥平面ABC 1．因为DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，所以平面DEF ∥平面ABC 1． ……5分 因为DE 平面DEF ，所以DE ∥平面ABC 1． ……7分 （Ⅱ）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形， 故B 1C ⊥BC 1． ……9分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，所以B 1C ⊥平面ABC 1． ……12分 而平面DEF ∥平面ABC 1，所以B 1C ⊥平面DEF ，因为DE 平面DEF ，所以B 1C ⊥DE ． ……14分 17．解：（Ⅰ）由条件得，所以 2分，（）． ……4分 （Ⅱ）因为，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立， ……6分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立， ……8分 设，则：，恒成立， ……10分由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得（时取等号）， 恒成立得（时取等号）． ……13分答：的取值范围是． ……14分 18．解：（Ⅰ）依题意，，解得则，所以椭圆的方程为． ……4分 （Ⅱ）（1）依题意，两条切线方程分别为，11由,化简得， 同理．所以是方程的两个不相等的实数根， . ……7分 因为，所以，所以.据,为定值得：. ……10分 （2）由（1）得，，设,则,所以，因为，所以， ……13分 所以，所以，，所以． ……16分 19．解：（Ⅰ）当时，① 若，则恒成立，函数单调递减， 又函数在的值域为，，此方程无解．……2分② 若，则．（i ）若，即时，，此方程组无解； （ii ），即时，，所以c=3； （iii ），即时，，此方程无解．由①、②可得，c=3．的零点为：． ……6分 (Ⅱ) 由，得：，， ……7分 又，对任意的,恒成立．当时，， ……8分 又时，对任意的,))2221)12121x x x ⎡⎤-+=-⎣⎦，即时，，实数的最小值是1，即． ……10分 (Ⅲ) 法1：由题意可知， 在上恒成立，在上恒成立； ……12分由(Ⅱ)得：在上恒成立， ……13分 ．又因为当时,，)111)(1)1x x -+≤≤-+．()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ， 即，，，……15分 .. ……16分 法2：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ，……12分 设，则，由下图得： ， ∴，，． ……16分20．解：（Ⅰ）法1：设数列的公差为，数列的公比为.因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令分别得，，，又 所以即，得或，经检验符合题意，不合题意，舍去.所以. ……4分法2：因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ①对任意的恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（） ②①②得，又，也符合上式，所以 由于为等差数列，令，则， 因为为等比数列，则（为常数），即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于恒成立， ，所以．又，所以，故． ……4分 （Ⅱ）由，得， 设，则不等式等价于．∵，且，∴，数列单调递增. ……6分假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 ①当为奇数时，得； ② 当为偶数时，得，即．综上，，由是非零整数，可知存在满足条件． ……9分 （Ⅲ）易知d =0，成立． ……10分 当d>0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-， ，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯， ……12分*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，， ，，所以公差d 的所有可能取值之和为．……16分高三数学附加题试卷参考答案 xx.12.1821．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6； ……3分 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2． ……6分解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12 ． ……10分 22．解：因为直线的极坐标方程为，所以直线的普通方程为， 3分又因为曲线的参数方程为（为参数）， 所以曲线的直角坐标方程为， ……6分 联立解方程组得或．根据的范围应舍去,故点的直角坐标为． ……10分23．解：（Ⅰ）依题意，实数对（x ，y ）共有16种，使的实数对（x ，y ）有以下6种： ，所以； ……3分（Ⅱ）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4. 有以下6种：，所以； 有以下2种：，所以； 有以下1种：，所以；有以下1种：，所以； ……7分 所以的分布列为：0 1 2 34()331111701234888161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ……9分答：的数学期望为． ……10分24．解：（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为，则01120()(2)n nnn n n n n a C C C C C nC =+++++++因为，所以，所以=. ……4分 （Ⅱ）令，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑，令，则，所以， ……6分根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn nn n n n d C C C C C =--+---++--01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+精品文档，所以，……8分将、代入不等式得，，当为偶数时，，所以；当为奇数时，，所以；综上所述，所以实数的取值范围是. ……10分I29428 72F4 狴gs22730 58CA 壊$22368 5760 坠H.39082 98AA 颪20582 5066 偦a40059 9C7B 鱻U实用文档。
高三数学2021-2022学年湖南省五市十校高一上学期12月联考数学试题解析
2021-2022学年湖南省五市十校高一上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}2|320,,{1,3}A x x x x R B =-+=∈=，则A B =（ ） A ．{1}B ．{1,2,3}C ．{1,2}D ．{1,3}，答案：A 解一元二次方程求出集合A ，然后由集合的交运算即可求解.解：∵{}2|320,{1,2},{1,3}A x x x x R B =-+=∈==， ∴{1}A B ⋂=.故选：A.2．已知角α的终边过点(P -，则3sin()2απ-=（ ）A ．12-BC ．12D ． 答案：C由已知终边上的点坐标求cos α的值，再由诱导公式得答案.解：角α的终边过点(P -，2OP ∴=，则1cos 2α=-， ∴31sin()cos 22παα-=-=. 故选：C.3．不等式220ax x ++>的解集为{|12}x x -<<1=（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2- 答案：B结合二次方程的根与二次不等式的解集端点关系求a ，进而可求目标式的值.解：由题意得，20,20a ax x <++=的根为1x =-，2x =，∴1a =-10=.故选：B.4．设0a >，则22a a a++的最小值为（ ）A ．B ．2C ．4D ．5答案：D 由已知结合基本不等式即可直接求解.解：因为0a >， 所以2222212215a a a a a a a++=++⋅=， 当且仅当22a a =，即1a =时取等号，此时22a a a ++取得最小值. 故选：D5．函数1()()2021x f x =的值域是（ ） A ．(0,1]B ．[1,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,)-∞+∞ 答案：A由||0x ≥及1()2021x y =的单调性，即可确定()f x 的值域. 解：由||0x ≥，又1()2021x y =为减函数， ∴由指数函数性质知：()(0,1]f x ∈.故选：A.6．已知定义在R 上的函数()(f x x m m =-为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<答案：C由已知结合偶函数定义可求m ，再结合函数的单调性比较函数值大小.解：定义在R 上的函数()||f x x m =-为偶函数，即||||x m x m -=--，∴0m =，此时()||f x x =在(0,)+∞上单调递增，0.52(log 3)(log 3)a f f ==，2(log 5)b f =，(2)(0)c f m f ==，而22log 5log 30>>， ∴22(log 5)(log 3)(0)f f f >>，即b a c >>.故选：C.7．定义在(0,)+∞上的函数f (x )满足()()2112120x f x x f x x x -<-，且12,(2)42f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则不等式()20f x x ->的解集为（ ）A ．(2,)+∞B ．(0,2)C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 答案：B构造新函数()()f x g x x =，根据题意得出函数()()f x g x x=在(0,)+∞内单调递减；把不等式()20f x x ->转化为()(2)g x g >，结合单调性和定义域即可求解.解：不妨设任意的120x x >>，()()f x g x x=， 因为()()2112120x f x x f x x x -<-，则()()21120x f x x f x -<， 所以()()()()()122112121212()0f x f x x f x x f x g x g x x x x x --=-=<， 所以()()f x g x x=在(0,)+∞内单调递减. 不等式()20f x x ->等价于()2f x x>，又()()2222f g ==， 所以等价于()(2)g x g >，因为()()f x g x x=在(0,)+∞内单调递减，所以02x <<， 即不等式()20f x x ->的解集为(0,2).故选：B.8．已知函数3()e e 355x x f x x x -=---+.若()f a (4)10f a +-<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．2a <C ．1a >D ．2a >答案：D构造()()5g x f x =-，并根据解析式直接判断奇偶性、单调性，进而利用其单调性及奇偶性求解不等式.解：令3()()5e e 35x x g x f x x x -=-=---，∴3()e e 35()x x g x x x f x --=-++=-，即()g x 为奇函数，又3e e ,35x x y x y x --=--=在R 上均为减函数，∴()g x 为减函数，由()f a (4)10f a +-<得：()g a 5(4)510g a ++-+<，∴()g a (4)(4)g a g a <--=-，即4a a >-，解得2a >.故选：D.二、多选题9．下列命题中为真命题的是（ ）A ．若a b >，则1a b> B ．若22a b c c >，则a b > C ．若0c a b >>>，则c a c b a b --< D ．若a b >.则33a b >答案：BCD 利用反例可判断A 错误，利用不等式的性质可判断B 的正误，利用作差法可判断CD 的正误. 解：对于A ，取1,1a b ==-，则a b >，但11a b =-<，故A 错误； 对于B ，因为22a b c c >，故0c ≠，故20c >，故a b >，故B 正确； 对于C ，()c b a c a c b a b ab----=， 而0c a b >>>，故()0c b a ab-<即c a c b a b --<，故C 正确； 对于D ，()23321324a b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为a b >，故22130,024a b a b b ⎛⎫->++> ⎪⎝⎭，故33a b >，故D 正确. 故选：BCD.10．已知(0,)θπ∈，7sin cos 5θθ-=，则下列结论正确的是（ ） A ．(2πθ∈,)π B ．3cos 5θ=- C ．3tan 4θ=- D ．2tan 121tan 25θθ=-+ 答案：AD由已知得sin 0θ>，cos 0θ<，确定θ的范围判断A ；求解cos θ与tan θ值判断B 与C ；把tan θ代入2tan 1tan θθ+，化简判断D. 解：由(0,)θπ∈，7sin cos 15θθ-=>，得sin 0θ>，cos 0θ<，则(2πθ∈,)π，故A 正确； 由7sin cos 5θθ-=，两边平方得：4912sin cos 25θθ-=，则242sin cos 25θθ=-. ∵(2πθ∈,)π，则3(,)444πππθ-∈，∴sin cos )4πθθθ-=-∈，又1sin cos 5θθ+===±，当1sin cos 5θθ+=时，联立1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4sin 5θ=，3cos 5θ=-， ∴sin 4tan cos 3θθθ==-，24tan 123161tan 2519θθ-==-++； 当1sin cos 5θθ+=-时，联立1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3sin 5θ=，4cos 5θ=-， ∴sin 3tan cos 4θθθ==-，23tan 12491tan 25116θθ-==-++. 故B 、C 错误，D 正确.故选：AD.11．如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（ ）A ．野生水葫芦的面积每月增长率为1B ．野生水葫芦从24m 蔓延到212m 历时超过1.5个月C ．设野生水葫芦蔓延到210m ，220m ，230m 所需的时间分别为1t ，2t ，3t ，则有1322t t t +<D ．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间曼延的平均速度答案：ABC根据已知条件可得指数函数为()2x y f x ==，再结合指对数的关系，以及平均速度的公式，判断各选项的正误.解：由题意得，所求函数为指数函数且过点(1,2)，可得函数()2x y f x ==，A ：设第n 个月的野生水葫芦面积为()f n ，则第1n +个月的野生水葫芦面积为(1)f n +， ∴野生水葫芦的面积每月增长率1(1)()221()2n nnf n f n f n ++--==，故正确， B ：设野生水葫芦从24m 蔓延到212m 历时超过x 个月，∴4212x ⋅=，解得223log 3log 1.52x =>=，故正确， C ：野生水葫芦蔓延到210m ，220m ，230m 所需的时间分别为1t ，2t ，3t ，13222log 10log 30log 300t t ∴+=+=，22222log 20log 400t ==，1322t t t ∴+<，故正确，D ：野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为82331-=-， 野生水葫芦在第2个月到第4个月之间曼延的平均速度为164642-=-，故错误. 故选：ABC. 12．设函数()y f x =的定义域为R ，对于任一给定的正数p ，定义函数(),(),(),(),p f x f x p f x p f x p ⎧=⎨>⎩则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数2()21f x x x =--，则下列结论：①2f （2）2=；②2()f x 的值域为[2-,2]；③2()f x 在[1-,1]上单调递减；④函数2(1)y f x =+为偶函数.其中正确的结论有（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④答案：BCD由2212x x --，解得13x -，故2221,13()2,12,3x x x f x x x ⎧---⎪=<-⎨⎪>⎩，再结合二次函数的性质，即可依次求解.解：由2212x x --，解得13x -，故2221,13()2,12,3x x x f x x x ⎧---⎪=<-⎨⎪>⎩， 对于①，22(2)22211f =-⨯-=-，故①错误，对于②，当13x -时，22212x x ---，当1x <-或3x >时，2()2f x =，故2()f x 的值域为[2-,2]，故②正确，对于③，当11x -时，22()21f x x x =--，图象开口向上，对称轴为1x =，故2()f x 在[1-,1]上单调递减，故③正确，对于④，222,22(1)2,22,2x x y f x x x ⎧--⎪=+=<-⎨⎪>⎩， 故函数2(1)y f x =+为偶函数，故④正确，故正确的结论为②③④.故选：BCD .三、填空题13．亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为___________. 答案：3π- 结合弧度制概念直接求解即可. 解：由题意知22123ππ⨯=， 因为是顺时针，故钟表的时针转过的弧度数为3π-. 故答案为：3π-. 14．已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+的图象关于原点对称，则满足()()132m m a a +>-成立的实数a 的取值范围为___________. 答案：2(,4)3利用幂函数的定义及性质求出m 值，再解一元二次不等式即可得解.解：因函数()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，则2331m m -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，2()f x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称，与已知()f x 的图象关于原点对称矛盾， 当2m =时，3()f x x =是奇函数，其图象关于原点对称，于是得2m =，不等式()()132m m a a +>-化为：()()22132a a +>-，即(32)(4)0a a --<，解得：243a <<， 所以实数a 的取值范围为2(,4)3. 故答案为：2(,4)3 15．设p ：实数x 满足(3)()0x a x a --<，q ：实数x 满足302x x ++.当0a <时，若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是___________.答案：[)2,1-- 分别求分式不等式及二次不等式可求p ，q 所对应的范围，然后结合充分、必要条件与集合的包含关系可求. 解：由302x x ++得(3)(2)020x x x ++⎧⎨+≠⎩， 解得，32x， 即:{|32}q B x x =-<-，因为0a <，由(3)()0x a x a --<得3a x a <<，即:{|3}p A x a x a =<<，若p 是q 的必要条件，则q p ⇒，所以B A ⊆，所以332a a <-⎧⎨-⎩，即21a -<-. 故答案为：[)2,1--.16．设函数2222,(0),()log (2)1,(20),x x x f x x x ⎧-+=⎨++-<<⎩若实数1x ，2x ，3x 满足123x x x <<，使得123()()()f x f x f x ==，则1232x x x ++的取值范围是___________.答案：(0,2)根据已知条件，画出函数()f x 的图象，再结合二次函数的对称性，即可求解.解：由题意得，当0x 时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+，其图象是开口向上，以(1,1)为顶点的抛物线的一部分，当20x -<<时，2()log (2)1f x x =++，其图象是由对数函数2log y x =向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的图的一部分，作出的图象，如图所示：实数1x ，2x ，3x 满足123x x x <<，使得123()()()f x f x f x ==，∴根据二次函数图象的对称性可得，232x x +=，当2log (2)11x ++=时，解得1x =-，∴结合图象可得，110x -<<，123022x x x ∴<++<，故1232x x x ++的取值范围是(0,2).故答案为：(0,2).四、解答题17．已知1cos 1cos ()1cos 1cos f ααααα-+=+-α是第三象限角. (1)化简()f α；(2)若()4f α=，求sin α，cos α.答案：(1)2()sin f αα=-； (2)1sin 2α=-，3cos α=. （1）由已知得sin 0α<，1cos 0α->，1cos 0α+>，再由同角三角函数基本关系式去绝对值得答案；（2）由()4f α=，求得sin α，进一步可得cos α的值.(1) α是第三象限角，sin 0α∴<，1cos 0α->，1cos 0α+>， ∴22221cos 1cos (1cos )(1cos )()1cos 1cos 1cos 1cos f ααααααααα-+-+==+---1cos 1cos 2sin sin sin ααααα-+=+=-， ∴2()sin f αα=-. (2)2()4sin f αα=-=，1sin 2α∴=-，则cos α=18．已知集合{|1A x x k ==+，2k <，}k N ∈，集合22{|2(1)50B x x a x a =-++-=，}x R ∈.(1)若集合{2}A B =，求实数a 的值；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.答案：(1)5a =或1a =-(2)(,3)-∞-（1）利用集合交集的定义得到2B ∈，1B ∉，代入方程求解即可；（2）利用子集的定义，分B =∅，{2}B =，{1}B =，{1B =，2}，由根与系数的关系，列式求解即可.(1)因为集合{|1A x x k ==+，2k <，}{1k N ∈=，2}，又集合{2}A B =，所以2B ∈，1B ∉，将2x =代入方程222(1)50x a x a -++-=，可得2450a a --=，解得5a =或1a =-，当5a =时，{2B =，10}，符合题意；当1a =-时，{2B =，2}-，符合题意.综上所述，5a =或1a =-；(2)若A B A ⋃=，则B A ⊆，当B =∅时，方程222(1)50x a x a -++-=无解，则224(1)4(5)0a a ∆=+--<，解得3a <-；当{2}B =时，则2222(1)225a a +=+⎧⎨⨯=-⎩，无解； 当{1}B =时，则2112(1)115a a +=+⎧⎨⨯=-⎩，无解； 当{1B =，2}时，则2122(1)125a a +=+⎧⎨⨯=-⎩，无解. 综上所述，实数a 的取值范围为(,3)-∞-.19．已知函数23()4x b f x ax +=+是定义在区间(2,2)-上的奇函数，且3(1)5f =. (1)用定义法证明函数()f x 在区间(2,2)-上单调递增；(2)设()()1g x f x =+，求证：()()g x g x +-是偶函数，()()g x g x --是奇函数.答案：(1)证明见解析(2)证明见解析（1）由已知结合奇函数性质可先求出a ，b ，然后设1222x x -<<<，结合比较法比较1()f x 与2()f x 的大小即可判断；（2）结合奇偶性的定义即可分别判断两函数奇偶性.(1) 因为23()4x b f x ax +=+是定义在区间(2,2)-上的奇函数，且3(1)5f =， 所以(0)04bf ==，f （1）3345b a +==+， 所以1a =，0b =，检验，当1a =，0b =时，23()4x f x x =+， 23()()4x f x f x x -=-=-+，满足题意， 设1222x x -<<<，则120x x -<，124x x <，2140x +>，2240x +>， 所以1212121222221212333()(4)()()044(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=<++++， 所以12()()f x f x <，所以()f x 在(2,2)-上单调递增；(2)证明：由题意得()g x 的定义域(2,2)-，令()()()F x g x g x =+-，则()()()()F x g x g x F x -=-+=，且()F x 的定义域(2,2)-，所以()F x 为偶函数，令()()()H x g x g x =--，则()H x 的定义域(2,2)-，且()()()()H x g x g x H x -=--=-，所以()H x 为奇函数.20．已知函数2()4(0)f x ax ax b a =-+>在区间[0,1]上的最大值比最小值大3，且(2)3f =-.(1)求a ，b 的值；(2)若在区间[1,1]-上，不等式()f x x m >-+恒成立，求实数m 的取值范围.答案：(1)1a b ==；(2)(,1)-∞-.（1）依题意，()f x 在[0,1]单调递减，max min ()()f x f x -=3及(2)3f =-，联立可求得a ，b 的值；（2）方法一：分离参数m ，则[1x ∀∈-,1]，231m x x <-+恒成立，求当[1x ∈-,1]时2min (31)x x -+，可得实数m 的取值范围；方法二：问题转化为[1x ∀∈-,1]，2()310g x x x m =-+->恒成立，利用二次函数的性质可求得min ()(1)0g x g =>，求m 的取值范围.(1)令22()(4)(2)4f x a x x b a x b a =-+=-+-，又0a >，∴()f x 的开口向上，对称轴方程为2x =，()f x ∴在[0,1]单调递减，max min ()()(0)(1)f x f x f f ∴-=-(3)33b b a a =--==，又(2)f 43b a =-=-，1a b ∴==.(2)方法一：[1x ∀∈-,1]，2()41f x x m x x x m >-+⇔-+>-+恒成立，∴[1x ∀∈-,1]，231m x x <-+恒成立，只需2min (31)m x x <-+，[1x ∈-,1]，因此，满足条件的实数m 的取值范围是(,1)-∞-.方法二：[1x ∀∈-,1]，2()41f x x m x x x m >-+⇔-+>-+恒成立,∴2310x x m -+->在[1-,1]上恒成立，只需使2()310g x x x m =-+->在[1-,1]上恒成立，2()31g x x x m =-+-的开口向上，对称轴方程为32x =， ()g x ∴在[1-,1]上单调递减， ∴当1x =时，()g x 取得最小值，即min ()(1)g x g =10m =-->，解得1m <-，因此，满足条件的实数m 的取值范围是(,1)-∞-.21．为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处占地面积为2640m 的矩形隔离病区，拟划分6个工作区域，布局示意图如下．根据防疫要求，所有内部通道（示意图中细线部分）的宽度为2m ，整个隔离病区内部四周还要预留宽度为3m 的半污染缓冲区（示意图中粗线部分），设隔离病区北边长m x ．(1)在满足防疫要求的前提下，将工作区域的面积表示为北边长x 的函数()f x ，并写出x 的取值范围；(2)若平均每个人隔离所需病区面积为22.5m ，那么北边长如何设计才能使得病区同时隔离的人数最多，并求出同时隔离的最多人数．2 1.4≈，结果精确到整数）答案：(1)()64007208f x x x=--，1080x << (2)28x ≈；最多为108人(1)根据题意表示出矩形的长和宽，进而表示出面积即可；（2）利用基本不等式即可求出其最值.(1)由题可知()()640108f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()64007208f x x x=--，1080x << (2)()64006400720872087203202272f x x x x x ⎛⎫=--=-+≤-≈ ⎪⎝⎭当且仅当28x ≈时等号成立，且272 2.5108.8÷=，故最多为108人22．已知函数()21()log 4122x x f x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦. (1)是否存在0k <，使得函数()f x 取最大值1-？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围.答案：(1)存在，1k =- (2)13()2 （1）令1()4(1)22x x g x k k k =⋅--++，根据二次函数的性质计算可得结论；（2）令2(1)x t t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++， 即可判断函数的单调性，函数()f x 的定义域为[a ，]b 时，()f x 的值域为[1a +，1]b +， 可转化为函数21()log [4(1)2]2x x f x k k k =⋅--++与1y x =+有两个正交点，即21log [4(1)2]12x x k k k x ⋅--++=+有两个正根a ，b ，a b ， 即21(1)02kt k t k -+++=有两个大于1的根，再根据一元二次方程的根分布得到不等式组，即可求解.(1)存在1k =-，使得函数()f x 取最大值1-，理由如下： 令1()4(1)22x x g x k k k =⋅--++， 设2(0)x t t =>，则21(1)2y kt k t k =--++， 当0k <时，此时()g x 的对称轴102k t k -=>， 函数()f x 的最大值是1-，所以()()211111122222max k k k g t g k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫==--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解答1k =-或13k =（舍)， 所以1k =-；(2)当01k <<时，设2(1)x t t =>， 则21()(1)2g t kt k t k =--++的对称轴102k t k-=<， 所以当1t >时，()g t 为增函数，所以()f x 为增函数，所以函数()f x 的定义域为[a ，]b 时，()f x 的值域为[1a +，1]b +， 可转化为函数21()log [4(1)2]2x x f x k k k =⋅--++与1y x =+有两个正交点， 即21log [4(1)2]12x x k k k x ⋅--++=+有两个根a ，b ，0a >，0b >，a b ， 即114(1)222x x x k k k +⋅--++=，设2(1)x t t =>， 所以21(1)22kt k t k t --++=， 即21(1)02kt k t k -+++=有两个大于1的根，所以()()2011Δ1402112111102k k k k k kk k k <<⎧⎪⎛⎫⎪=+-+> ⎪⎪⎝⎭⎪⎨+>⎪⎪⎪⋅-+⋅++>⎪⎩，解得12k <<， 所以实数k的取值范围是12⎛ ⎝⎭.。
新高考五省百校联盟2021届高三上学期12月份联考数学试题含答案
新高考联合质量测评12月联考试题高三数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1,2,3A =--，集合{}12log 2B x x =≥-，则A B ⋂=（ ）．A ．{}2,1,0,1,2,3--B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,3D ．∅2．设复数z 满足()()11i 1i z ++=-，则z =（ ）． A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +3．已知1234a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1432b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3223c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）．A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >>4．函数()x xe ef x x-+=的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．5．已知,0x y >，且230x y xy +-=，则32x y +的最小值是（ ）．A ．B ．C ．20D ．256．已知()()()621a x x a -+∈R 展开式的各项系数之和为64，则展开式中3x 的系数为（ ）． A ．10或2970B ．10或1890C ．10D ．18907．意大利数学家斐波那契的名著《算盘书》中有一经典的“生兔问题”：一对小兔子（雌雄各一），过一个月就长成一对大兔子，大兔子每过一个月都要生出一对雌雄各一的小兔子，若照此生下去，且无死亡，问一年后有多少对兔子？每月兔子总数形成“斐波那契”数列：1，1，2，3，5，8，…，则一年后共有兔子（ ）． A ．144对B ．232对C ．375对D ．376对8．已知三棱锥P ABC -三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且2PA PB PC ===，M ，N 分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则M 、N 两点间的距离最大值为（ ）．A ．23+B ．2+C 1D ．23+二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．关于平面向量a ，b ，c ，下列说法不正确的是（ ）． A ．若//a b ，//b c ，则//a c B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅C ．若()23a a b ⋅+=，且1a b ==，则//a b D ．若a b b c ⋅=⋅，则a c =10．2020年上半年受疫情影响，我国居民人均消费支出情况也受到了影响，现统计出2015-2020年上半年我国居民人均消费支出情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）．A ．从2015年到2019年我国居民人均消费支出逐年减少B ．若2020年下半年居民消费水平与上半年相当，则全年消费与2018年基本一致C ．若2020年下半年居民消费水平比上半年提高20％，则全年消费支出将超过2019年D ．随着疫情的有效控制，2020年下半年居民消费水平比上半年有所提高，居民人均消费支出较2019年减少不会超过10％11．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点M 、N 为正方体表面上两动点，则下列说法正确的是（ ）．A ．当M 为11A C 的中点时，有BD ⊥平面1A BMB ．若点M ，N 均在线段11AC 上运动，且1MN =，则三棱锥1B MNB -的体积为定值C ．以点D 为球心作半径为3πD ．当点M 在平面11AA B B 内运动，点N 在平面11BCC B 内运动时（M ，N 不重合），BM 与BN 的夹角最大为π312．已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，π3-为()f x 的一个零点，π6x =为()f x 图像的一条对称轴，()f x 右移π6个单位长度得到函数()g x ，则下列说法正确的是（ ）． A ．π3ϕ=B ．若()f x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则17,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦C ．若()sin g x x ω=，则1ω=D ．若()g x 为偶函数，则ω的最小值为5 三、填空题： 13．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan α=______． 14．某班预备在今年的元旦晚会中排15个节目，其中弹唱类6个，小品、相声类4个，舞蹈类4个，魔术类1个，甲、乙两人计划从中各选1个节目参加，且两人不选择同一个节目，则两人选择同一类节目的概率为______．15．已知命题21:01x p x -≤+，命题:0x q xe a ->．若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围为______． 16．已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩，若函数()()g x ax a =∈R 使得方程()()f x g x =恰有3个不同根，则实数a 的取值范围为______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．①πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②cos2cos 0B B +=；③4ABC S =△，B 为锐角． 从以上三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______，若b =，求ABC △周长的最大值．18．在等差数列{}n a 中，34596a a a ++=，753a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意m +∈N ，将数列{}n a 中落入区间()137,7m m +内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ．19．已知函数()()2ln f x x x mx m =-∈R ．（1）若()f x 在点()()1,1f 处的切线斜率为2，求()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（2）若函数()f x 有两个不同的零点，求m 的取值范围．20．随着生产力和国家经济实力的提升，网购成为了人们心中首选的购物方式．方便快捷、价格实惠、商品丰富成为吸引消费者进行网购的主要因素．据统计，全国约有55％的居民进行网购，而其中年龄在40岁及以下的约占811． （1）如果采用分层抽样的方式从“网购”与“非网购”居民中随机抽取40人，其中“网购”居民中年龄在40岁及以下的有16人，“非网购”居民中年龄在40岁及以下的有5人，试问是否有99.5％的把握认为是否网购与年龄有关？（2）“双十一”期间各大电商平台积极宣传促销，全网销售额达到2674亿元，其中天猫占比高达60％，若从网购居民中随机选取3人，用ξ表示所选3人中在天猫购买商品的人数，求ξ的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．如图（1），已知梯形ABCD ，DE AB ⊥，24BE CD ==，45B ∠=︒，将ADE △沿DE 向上翻折，构成如图（2）所示的四棱锥P BCDE -，M 为PB 的中点．（1）证明：//CM 平面PDE ；（2）当四棱锥体积最大时，若二面角M CE B --的余弦值为3，求直线CM 与平面BCDE 所成角的余弦值．22．已知函数()21ln 2f x x ax bx =++，,a b ∈R ． （1）当0a <，且1b a =+时， ①试求函数()f x 的单调区间； ②证明：()112f x a≤--． （2）当0a ≠时，若()f x 是()0,+∞上的单调函数，求a b +的最小值．参考答案1．C 由12log 2≥-，得04x <≤，故{}1,2,3A B ⋂=．2．B1i1i 1iz -+==-+，所以1i z =--，所以1i z =-+． 3．B 14312b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，31122228313274c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故b a c >>．4．C()f x 为奇函数，排除A ，B ；当0x +→时，2xxe e -+→，()f x →+∞，排除D ．5．D由230x y xy +-=得321x y+=．所以()32669432132532x y x y x y x y y x ⎛⎫+=+++≥+ ⎪⎝⎭+=+=． 6．A展开式的各项系数之和为()()621164a -+=，解得1a =或3a =-．当1a =时，3x 的系数为2366210C C -=．当3a =-时，3x 的系数为()()4343662332970C C ---=．故选A ．7．A由题可知数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，共144对． 8．D由已知可将该三棱锥补成如图所示正方体．则三棱锥内切球球心O ，外接球球心2O ，以及内切球与面ABC 的切点G 三点均在1PD 上，且21163GO PD ==．设内切球半径为r ，外接球半径为R ，则R ==由()1133ACP BCP ABP ABC ABP S S S S r S PC +++=⋅⋅△△△△△，，解得1r =-，故M 、N 两点间距离的最大值为2223R GO r ++=+． 9．ABD当0b =时，A 不成立；B 显然错误；()22212cos ,3a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+=，则cos ,1a b =，即,0a b =，即//a b ，故C 正确； 当0b =时，D 不成立． 10．BD A 显然错误；9718219436⨯=，与2018年基本一致，B 正确； 9718 2.221379.621559⨯=<，不会超过，C 错误；215599718210021559-⨯⨯％9.8≈％，不会超过10％，D 正确．11．BC1BD A M ⊥，但BD 与1A B ，BM 都不垂直，A 错误；如图，1112323B MNB B B MN V V --==⨯=，B 正确；所截得的弧为3个半径为2的14圆弧，弧长和为32π23π4⨯⨯=，C 正确； 当点M 在AB 上运动时，BM ⊥平面11BCC B ，BM BN ⊥，此时夹角为π2，D 错误．12．ABD A ，1ππ3k ωϕ-+=， ①()212πππ,62k k k ωϕ+=+∈Z ， ②由①②，得1221π3k k ϕ++=．又π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π3ϕ=，所以()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确．B ，()f x 的单调递减区间为2ππ2π7π,66k k ωωωω⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， 则2πππ632π7ππ62k k ωωωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得176423k k ω+≤≤+．又0714632k k k ω>⎧⎪⎪+>+⎨⎪∈⎪⎩Z，所以0k =．此时1723ω≤≤，B 正确． C ，()ππππsin sin sin 6363g x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以ππ2π36k ω-=． 所以()2121k k ω=-≠∈Z ，C 错误． D ，()ππsin 63g x x ωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， 则()ππππ362k k ω-=+∈Z ，所以61k ω=--． 因为0ω>，所以min 5ω=，D 正确． 13．3+由已知可得πcos 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππ0,44α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则πtan 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1ππtan tan 344αα+⎡⎤⎛⎫=-+==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．14．935222644215549151435A A APA++===⨯．15．1,e⎛⎤-∞-⎥⎝⎦由211xx-≤+，解得112x-<≤．因为p是q的充分条件，所以xa xe<在11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上恒成立．设()xf x xe=，其图象如图．所以1ae≤-．16．104a a ae⎧⎫≤<=⎨⎬⎩⎭或由已知得()f x的图象如图(1)．(1)当0a>时，要使得方程()()f xg x=恰有3个不同根，则需存在1x>，使得ln x ax>，即ln xax<．又ln xyx=的图象如图(2)，故10ae<<．(2)当0a<时，由图(1)知y ax=需与函数()224343f x x x x x=++=---相切．设切点为()00,x y，则()()()000y f x f x x x'-=-，即()()()200004324y x x x x x----=---过点()0,0，故2200004324x x x x++=+，解得23x=．因为x<，故x=()04a f x'==．(3)当0a=时，显然符合题意．综上，实数a 的取值范围为104a a a e ⎧⎫≤<=⎨⎬⎩⎭或． 17．解：选择①．由正弦定理，得1sin sin sin sin 2B A A B B ⎫=+⎪⎪⎝⎭，即sin sin cos A B A B =．因为sin 0A >，所以sin B B =，即tan B =t ． 因为0πB <<，所以π3B =． 由余弦定理，得2231cos 22a c B ac +-==， 即223a c ac +-=．由均值不等式知()()()()22222231344a c ac a c ac a c a c a c +-=+-≥+-+=+（“＝”成立a c ⇔=）．故()2134a c +≤，即a c +≤所以周长a b c ++≤即周长的最大值为 选择②．由二倍角公式，得()()22cos 1cos cos 12cos 10B B B B -+=+-=． 解得cos 1B =-或1cos 2B =． 在ABC △中，0πB <<，故1cos 2B =． 所以π3B =．(下同) 选择③．因为4ABC S =△，所以14sin 2ac B ⨯⋅=，解得sin B =． 因为π02B <<，所以π3B =．(下同) 18．解：(1)因为数列{}n a 是等差数列，所以3454396a a a a ++==． 所以432a =．设公差为d ，因为753a =，所以74774a a d -==-． 由413a a d =+可得13221a =+，所以111a =． 所以()()11117174n a a n d n n =+-=+-=+． (2)由1377m m n a +<<，得137747m m n +<+<，所以31447777m m n --<<-，所以31771m m n -≤≤-， 所以()()3131717177m m m m m b --=---=-，所以()()25831231277777777m m m m S b b b -=+++=++++-++++()()2332137177174977717173426m m m m ++----=-=+--- 3213507577342m m +++-⋅=．19．解：(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1ln 2f x x mx '=+-，所以()1122f m '=-=，所以12m =-， 所以()1ln f x x x '=++，()110f x x''=+>，所以()f x '在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．又110f e e ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，所以()0f x '>， 所以()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．所以()()2max 12f e e e f x ==+． (2)由()0f x =可得ln xm x=．设()ln x g x x =，则()21ln xg x x -'=，所以()g x 在(]0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 所以当x e =时，()g x 有极大值()1g e e=，且()10g =，当x e >时，()0g x >，所以其图象如图所示．要使得()f x 有两个零点，即y m =与()y g x =的图象有两个不同的交点，需10m e <<． 所以m 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．20．解：(1)由题意可得22⨯列联表如下：()22401613658.0217.87922182119K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99.5％的把握认为是否网购与年龄有关．(2)由题意可知33,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ()338015125P ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()21333361155125P C ξ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭， ()22333542155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()332735125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 所以ξ的分布列为数学期望355E ξ=⨯=． 21．(1)证明：如图，取PE 的中点N ，连接DN ，MN ，CM ，则12MN BE ． 又12DC BE ，故MN DC ． 所以四边形DCMN 为平行四边形，所以//CM DN ．又CM ⊄平面PDE ，DN ⊂平面PDE ，所以//CM 平面PDE ．(2)解：当PE ⊥平面BCDE 时，四棱锥体积最大．又DE BE ⊥，故以E 为原点，ED ，EB ，EP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设PE a =，则()0,0,P a ，()2,2,0C ，()0,4,0B ，0,2,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()2,2,0EC =，0,2,2a EM ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 设平面MCE 的法向量()1,,n x y z =，则1100EC n EM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220202x y a y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩． 令1x =，则141,1,n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 又平面BCE 的法向量()20,0,1n =，所以1212124cos ,2n n a n n n n ⋅===⋅+． 解得4a =．所以()2,0,2CM =-．设直线CM 与平面BCDE 所成角为θ，则22sin cos ,222CM n θ===，故cos 2θ=，即直线CM 与平面BCDE 所成角的余弦值为2． 22．(1)解：①当0a <，且1b a =+时，()()21ln 12x a f ax x x =+++． 因为()f x 的定义域为()0,+∞，()()()21212ax x f x x ++'=，又0a <，则当10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 当1,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 故函数，()f x 的单调增区间是10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． ②证明：由①知0a <时，()f x 在12x a =-处取得最大值， 最大值为11111ln 22242f a a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以()1111111ln 1222422a a a f a x ⎛⎫≤--⇔---≤-- ⎪⎝⎭， 即1111ln 02242a a ⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭． 令12t a =-，因为0a <，所以0t >，则只要证()1ln 102t t -+≤． 令()ln 1g t t t =-+，0t >，则()111t g t t t -'=-=， 则当()0,1t ∈时，()0g t '>，当()1,t ∈+∞时，()0g t '<．故()g t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()()10g t g ≤=，故()102g t ≤成立，即()1ln 102t t -+≤． 因此，0a <时，()112f x a ≤--． (2)解：()()242102ax bx f x x x++'=>，因为()f x 在()0,+∞上单调，所以()0f x '≤或()0f x '≥恒成立．当0a <时，设()2421h x ax bx =++，则24160b a -∆>=，所以()0h x =有两个相异的根1x ，2x ，且12104x x a =<． 不妨设120x x >>，则当()10,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递增；当()1,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<，所以()f x 在()1,x +∞上单调递减．所以0a <不合题意．当0a >时，则()0f x '≥对()0,x ∈+∞恒成立． 即1202ax b x++≥在()0,x ∈+∞恒成立， 设()122x ax b x ϕ=++，只需()min 0x ϕ≥．因为122ax b b b x ++≥=，当且仅当x =所以0b ≥，即b ≥-．所以)2111a b a +≥-=-≥-， 当且仅当1a =，2b =-时取等号．当1a =，2b =-时，()()22102x f x x -'=≥且不恒为0，此时()f x 在()0,+∞内单调递增．所以a b +的最小值为1-．。
湖南省名校联考联合体2020-2021年高一第一学期12月大联考数学试卷【含答案】
湖南省名校联考联合体2020-2021年高一第一学期12月大联考数学试卷时量：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的。
1.计算tan(－330°)＝A.33B.－33C.3D.－32.已知集合A＝{－2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∩B＝B，则实数a值集合为A.{－1}B.{2}C.{－1，2}D.{－1，0，2}3.若a，b，c满足2a＝3，b＝log25，3c＝2，则A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a4.已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)。
上单调递增，则a的取值范围是A.(2，＋∞)B.[2，＋∞)C.(5，＋∞)D.[5，＋∞)5.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有－排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T。
若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是6.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名。
如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷。
某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm(3≈0.866)。
根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于A.3πB.4πC.2πD.23π7.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(2π，π)，上为减函数的是A.y＝cosxB.y＝2|sinx|C.y＝cos2xD.y＝tanx8.电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句。
讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”。
2021届联考联合体高三上学期12月联考数学试题及答案
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{10}A x x =-<∣，{}2280B x x x =--≥∣，则()RAB =（ ）A ．{21}x x -<<∣vsB ．{41}x x -<<∣C ．{2}x x ≤-∣D ．{4}x x ≤-∣2．棱长为2的正四面体的表面积是（ ）AB ．C ．D ．3．已知函数222,0()1,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩，若()2f a =，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2或1-D ．1或1-4．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术——“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan 2α=（ ）A ．1235B ．16C ．1237D ．135．已知a b c >>，下列不等式不一定成立的是（ ）A ．2ac b ab bc +<+ B ．2211a bc c >++ C ．2ab c ac bc +>+D ．2b ac >6．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别为线段BC ，AB 的中点，直线AE 与直线DF 交于点P ，则||||AP PE = （ ） A ．25B ．23C ．32D ．527．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且6381n n S n T n +=+，则使得k ka b 为整数的正整数k 的个数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为()f x '，且对任意实数x 都有()()1f x f x '+>，则不等式e ()e 1xxf x >-的解集为（ ） A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列函数中是奇函数，且值域为R 的有（ ）A ．3()f x x = B ．1()f x x x=+C ．()sin f x x x =+D ．5()f x x -=10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且23n n S a m =+，则（ ）A ．1m =-B ．{}n a 是等差数列C ．13n n a -=D ．312n n S -=11．设函数sin ()sin xf x x x=+，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 的图象关于原点对称B ．(1)f x +的图象关于直线1x =-对称C ．()0f x >D ．1()2f x <12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1DD 上，且12DE ED =，F 是线段1BB 上一动点，则下列结论正确的有（ ）A ．EF AC ⊥B ．存在一点F ，使得1//AEC FC ．三棱锥1D AEF -的体积与点F 的位置无关D ．直线1AA 与平面AEF 所成角的正弦值的最小值为10第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知向量(,3)a m =，(1,2)b =-，且()a b b +⊥，则m =________．14．在三棱柱111ABC A B C -中，BC ⊥平面11ABB A ，四边形11ABB A 是正方形，且AB BC =，E 在棱1AA上，且13AE A E =，则异面直线1AC 与BE 所成角的余弦值为________． 15．已知0a >，0b >，且121a b+=，则2ab a b ++的最小值是________． 16．已知函数()432xf x =-+，若函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-有4个零点，则m 的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在递增的等比数列{}n a 中，39a =，2430a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（12分）在①(cos sin )c A A b +=，②sin cos c B b C +=，③sin tan cos B C B A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 5B =，ABC 的面积是56，且________，求ABC 的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）随着社会经济的发展，人们生活水平的不断提高，越来越多的人选择投资“黄金”作为理财手段．下面随机抽取了100名把黄金作为理财产品的投资人，根据他们的年龄情况分为[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计把黄金作为理财产品的投资人年龄的中位数；（结果保留整数）（2）为了进一步了解该100名投资人投资黄金的具体额度情况，按照分层抽样的方法从年龄在[40,50)和[60,70)的投资人中随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取3人进行调查，X 表示这3人中年龄在[40,50)的人数，求X 的分布列及数学期望．20．（12分）菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点E ，8BD =，6AC =，将ACD 沿AC 折到PAC 的位置，使得4PD =，如图所示．（1）证明：PB AC ⊥；（2）求平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，且12PF F 的面积为32． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上存在A ，B 两点关于直线1x my =+对称，求m 的取值范围．22．（12分）已知函数2()e 2ax f x x x =--的图象在点(0,1)处的切线方程为1y =．（1）证明：2()1f x x +≥．（2）若0x 是()f x 的极值点，且00x <．若()()12f x f x =，且210x x <<．证明：()120ln 2ln 22x x x ++>+．高三数学试卷参考答案1．A 因为{24}B x x x =≤-≥∣或，所以R{24}B x x =-<<∣．因为{1}A x x =<∣，所以()R{21}AB x x =-<<∣． 2．D 棱长为2的正四面体的表面积是1422⨯⨯=． 3．C 当0a >时，()222af a =-=，解得 2a =；当0a ≤时，2()12f a a =+=，解得1a =-． 综上，2a =或1a =-．4．A 由题知六指为12厘米，则121tan 726α==， 则2122tan 126tan 211tan 35136ααα⨯===--． 5．D 2()()()()()ac b ab bc a c b b b c a b c b +-+=-+-=--．因为a b c >>，所以0a b ->，0c b -<， 所以()()0a b c b --<，则2ac b ab bc +<+一定成立，排除A ； 因为a b >，且210c +>， 所以2211a bc c >++一定成立，排除B ； 因为2()()()()()0ab c ac bc b a c c c a a c b c +-+=-+-=-->， 所以2ab c ac bc +>+一定成立，排除C ； 当3a =，52b =，1c =时，2b ac >；当3a =，32b =，1c =时，2b ac <， 则2b ac >不一定成立．6．B 如图，因为P ，D ，F 三点共线，所以1(1)(1)2AP AF AD AB AD λλλλ=+-=+-． 因为点E 为线段BC 的中点，所以1122BE BC AD ==，则12AE AB BE AB AD =+=+．因为A ，P ，E 三点共线，所以AE k AP =，所以1121(1)2k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得52k =，故||2||3AP PE =．7．C 因为1212k k a a a -+=，所以2121k k Sa k -=-． 同理可得2121k k T b k -=-，则21216(21)38166(21)1k k k k a S k b T k k ---+===+-+． 当1,2,4,8,16k =时，kka b 为整数，即满足条件的k 的个数为5． 8．B 设()e [()1]xg x f x =-，则()e ()e ()e xxxg x f x f x ''=+-．因为()()1f x f x '+>，所以e ()e ()e xxxf x f x '+>， 即e ()e ()e 0xxxf x f x '+->，故()g x 在R 上单调递增． 因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(0)0f =，所以(0)1g =-，不等式e ()e 1x xf x >-，即()(0)g x g >，则0x >．9．AC 由题意可得3()f x x =和()sin f x x x =+都是奇函数，且值域为R ，1()f x x x=+是奇函数， 但值域为(,2][2,)-∞-+∞，5()f x x -=是奇函数， 但值域为(,0)(0,)-∞+∞．10．ACD 当1n =时，111223S a a m ==+．因为11a =，所以1m =-，则231n n S a =-． 当2n ≥时，11231n n S a --=-，所以()111222323233n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， 即13n n a a -=，即13nn a a -=， 则数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列， 故13n n a -=，312n n S -=．11．BD 因为sin ()sin xf x x x=+，所以sin()sin ()()sin()sin x xf x f x x x x x--===-+-+，所以()f x 为偶函数，则()f x 的图象关于y 轴对称，故A 错误． 因为()f x 的图象关于y 轴对称，所以(1)f x +的图象关于直线1x =-对称，故B 正确． 当32x π=时，sin 10x =-<， 所以sin 0x x +>，则()0f x <，故C 错误． 设()sin (0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x =-≥'， 从而()g x 在(0,)+∞上单调递增．因为(0)0g =，所以()0g x >， 即sin x x >，所以sin 2sin x x x +>．当0x >时，,sin 0x x +>，所以sin 1sin 2x x x <+．因为()f x 是偶函数，所以1()2f x <，故D 正确．12．ABC 如图，连接BD ．易证AC ⊥平面BDEF ，则AC EF ⊥，故A 正确． 在1AA 上取一点H ，使得12A H AH =，连接1EC ，EH ，1HB ，易证四边形11B C EH 为平行四边形， 则11//C E B H ，11C E B H =．若12BF B F =，易证四边形1AHB F 为平行四边形， 则1//AF B H ，1AF B H =， 从而1//AF C E ，1AF C E =， 故四边形1AEC F 为平行四边形， 于是1//AE C F ，故B 正确．设AB a =，三棱锥1D AEF -的体积与三棱锥1F AD E -的体积相等， 则1131123239D AEF F AD Ea a V V a a --==⨯⨯⨯⨯=， 即三棱锥1D AEF -的体积与正方体的棱长有关，与点F 的位置无关，故C 正确． 以1C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系1C xyz -，设3AB =，则(3,3,3)A ，1(3,3,0)A ，(3,0,2)E ，(0,3,)F t ，从而1(0,0,3)AA =-，(0,3,1)AE =--，(3,0,3)AF t =--． 设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =，则303(3)0n AE y z n AF x t z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 令3z =，得(3,1, 3) n t =--，从而111cos ,||(AA n AA n AA nt ⋅==--即直线1AA 与平面AEF因为03t ≤≤，所以210(3)1019t ≤-+≤， ≤≤，故D 错误．13．1 由题意可得(1,1)a b m +=+．因为()a b b +⊥，所以120m +-=，解得1m =．14 如图，取11A C 的四等分点F （点F 靠近1A ），连接EF ，BF ．易证1///AC EF ，则BEF ∠为异面直线1AC 与BE 所成的角． 设114A B =，则5BE =，EF =BF =故cos BEF ∠==． 15．16 因为121a b+=，所以2a b ab +=，所以22242ab a b a b a b a b ++=+++=+1228(42)816b a a b a b a b ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2a =，4b =时，等号成立．16．(3,4) 22()[()]2()10g x f x mf x m =-+-=，即[()(1)][()(1)]0f x m f x m -+--=， 解得()1f x m =-或()1f x m =+．由()f x 的图象（图略）可得215215m m <-<⎧⎨<+<⎩，解得34m <<，即m 的取值范围是(3,4)．17．解：（1）由题意可得231324119301a a q a a a q a q q ⎧==⎪+=+=⎨⎪>⎩，解得11a =，3q =．故1113n n n a a q --==．（2）由（1）可得2123n n a -=，则32log 21n n b a n ==-，故2(121)135212n n nS n n +-=+++⋯+-==．18．解：若选①，因为(cos sin )c A A b +=，所以sin (cos sin )sin C A A B +=，又A B C π++=，所以sin sin()B A C =+，所以sin cos sin sin sin cos cos sin C A C A A C A C +=+， 即sin sin sin cos C A A C =． 因为sin 0A ≠，所以sin cos C C =， 即tan 1C =，因为0C π<<，所以4C π=．因为3cos 5B =，所以4sin 5B =，所以43sin sin()525210A B C =+=⨯+⨯=所以::sin :sin :sin 7:5a b c A B C ==，不妨设7a t =，b =，5c t =，则ABC 的面积为175622t ⨯⨯⨯=，解得2t =，从而14a =，b =，10c =，故ABC 的周长为141024a b c ++=+=+．若选②，因为sin cos c B b C +=，所以sin sin sin cos C B B C B +=，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sin cos C C +=，4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 14C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 因为0C π<<，所以5444C πππ<+<，所以4C π=． 以下步骤同①若选③，因为sin tan cos B C B A +=，所以sin cos sin cos cos B C C B A C +=，所以sin()cos B C A C +=．因为A B C π++=，所以B C A π+=-，所以sin()sin cos B C A A C +==，因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以cos C =． 因为0C π<<，所以4C π=．以下步骤同①．19．解：（1）因为(0.0070.018)100.250.5+⨯=<， (0.0070.00180.030)100.550.5++⨯=>，所以年龄的中位数在[40,50)内．设中位数为m ，则400.30.250.510m -⨯+=， 解得48m ≈． （2）由题意可知，100名投资人中，年龄在[40,50)的有30名，年龄在[60,70)的有20名，则利用分层抽样抽取的5人中，年龄在[40,50)的有3名，在[60,70)的有2名，则X 的可能取值为1，2，3，1232353(1)10C C P X C ===，2132353(2)5C C P X C ===，3032351(3)10C C P X C ===， X 的分布列为故()123105105E X =⨯+⨯+⨯=．20．（1）证明：因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，则BE AC ⊥，PE AC ⊥，因为BE ⊂平面PBE ，PE ⊂平面PBE ，且BE PE E =，所以AC ⊥平面PBE ．因为PB ⊂平面PBE ，所以PB AC ⊥．（2）解：取DE 的中点O ，连接OP ，取CD 的中点F ，连接OF ，因为8BD =，所以4DE PE ==．因为4PD =，所以PD PE =，所以PO DE ⊥，由（1）可知AC ⊥平面PBE ，所以平面PBD ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD ．故以O 为坐标原点，以OF ，OD ，OP 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ．由题中数据可得(3,2,0)A --，(0,6,0)B -，(3,2,0)C -，(0,2,0)D，(0,0,P ， 则(3,4,0)AB DC ==-，(0,6,BP =，(0,2,DP =-，设平面P AB 的法向量为()111,,m x y z =，则111134060m AB x y m BP y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令4x =，得(4,3,m =-．设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，则222234020n DC x y n DP y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令4x =，得(4,3,3)n =，设平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，则2cos||||914m n m n θ⋅===+．21．解：（1）由题意可得22222131432a b c a b⎧+=⎪=⎪=-⎩，解得2a =，1b =．故椭圆C 的标准方程为2214x y +=． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，因为直线1x my =+过定点(1,0)，所以()()2222112211x y x y -+=-+． 因为A ，B 在椭圆上，所以221114x y +=，222214x y +=，所以()()22221212111144x x x x -+-=-+-， 整理得()()2212121224x x x x x x -=-+-， 所以1283x x +=，所以043x =． 因为点M 在直线1x my =+上，所以001x my =+，则013y m=． 由221443x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得3y =±则1033m -<<或1033m <<，解得5m <-或5m >． 故m的取值范围为5,,55⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 22．证明：（1）因为2()e 2ax f x x x =--，所以()e 22ax f x a x '=--，则(0)20f a =-='，解得2a =，故22()e2x f x x x =--． 令22()()e 2xg x f x x x =+=-，则2()2e 2x g x ='-． 由()0g x '>，得1x >；由()0g x '<，得1x <． ()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 故()(0)1g x g ≥=，即2()1f x x +≥．（2）由（1）可知22()e 2x f x x x =--，则2()2e 22x f x x =--'．设2()()2e 22x h x f x x ==--'，则2()4e 2x h x ='-．由()0h x '>，得ln 22x >-； 由()0h x '<，得ln 22x <-． ()h x 在ln 2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln 2,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 即()f x '在ln 2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln 2,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， min ln 2()ln 212f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭''． 因为22(1)0e f -=>'，ln 2ln 2102f ⎛⎫-=-< ⎪⎝'⎭， 所以0ln 21,2x ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，即020e 1x x =+． 因为(0)0f '=，所以由()0f x '<， 得00x x <<，则()f x 在()0,0x 上单调递减． 设()0()2()x f x x f x ϕ=--02422000e e 4444x x x x x x x x -+=-++--，则02420()2e 2e 44x x x x x ϕ-+-'=-++．设02420()()2e2e 44x x x m x x x ϕ-+'==--++， 则0242()4e 4e x x x m x -+=-'，因为()00m x '=，且()m x '是减函数， 所以当0x x <时，()0m x '>，当0x x >时，()0m x '<，所以()m x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,0x 上单调递减， 即()x ϕ'在()0,x -∞上单调递增，在()0,0x 上单调递减． 因为()()0200004e 4441440x x x x x ϕ=-++=-+++='，所以()0x ϕ'≤，则()x ϕ在(,0)-∞上单调递减， 因为()00x ϕ=，所以()10x ϕ<，即()()01120f x x f x --<，即()()0112f x x f x -<． 因为()()12f x f x =，所以()()0122f x x f x -<． 因为2010x x x <<<，所以0102x x x -<，20x x <， 且()f x 在()0,x -∞上单调递增，所以0122x x x -<，即0122x x x <+，因为()02002e 220x f x x '=--=，所以0202e 22x x =+，所以02122e 2x x x <++， 所以()120ln 2ln 22x x x ++>+．。