2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：第八章 立体几何 Word版含解析 (7)

第十二章⎪
⎪⎪
推理与证明、算法、复数
第一节 合情推理与演绎推理
本节主要包括2
个知识点： 1.合情推理； 2.演绎推理.
突破点(一) 合情推理
[基本知识]
[基本能力]
1．判断题
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 2．填空题
(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是a n ＝________.
解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：n 2
(2)由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是合情推理中的________推理．
答案：类比
(3)观察下列不等式： ①
12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112
< 3.
则第5个不等式为____________________________________________________．
答案：1
2
＋
1
6
＋
1
12
＋
1
20
＋
1
30
< 5
[全析考法]
运用归纳推理时的一般步骤
(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；
(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；
(3)对所得出的一般性命题进行检验．
类型(一)与数字有关的推理
[例1](1)给出以下数对序列：
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝()
A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)
C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)
(2)(2018·兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.
[解析](1)由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm ＝(m，n－m＋1)．
(2)由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.
[答案](1)A(2)n2
解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． [易错提醒]
类型(二) 与式子有关的推理
[例2] (1)(2016·山东高考)观察下列等式：
⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43
×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43
×4×5； …… 照此规律，
⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭
⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.
(2)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x
3＋
x 3＋27x
3≥4，…，类比得x ＋a
x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.
[解析] (1)观察前4个等式，由归纳推理可知⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
sin 3π2n ＋1－2＋…＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝4
3×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3. (2)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .
[答案] (1)4n (n ＋1)3 (2)n n
[方法技巧]
与式子有关的推理类型及解法
(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． 类型(三) 与图形有关的推理
[例3] 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，
则预计第10年树的分枝数为( )
A ．21
B ．34
C ．52
D ．55
[解析] 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.
[答案] D [方法技巧]
与图形有关的推理的解法
与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．
类比推理
1.类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下： 类比定义 在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解 类比性质 从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键 类比方法
有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求
解中，注意知识的迁移
2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：
平面 点 线 圆 三角形 角 面积 周长 … 空间 线
面
球
三棱锥
二面角
体积
表面积
…
[例4] 如图，在△ABC 中，O 为其内切圆圆心，过O 的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC ，BC 分别相交于点F ，E ，则四边形ABEF 与△CEF 的周长相等．试将此结论类比到空间，写出一
个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．
[解] 如图，截面AEF 经过四面体ABCD 的内切球(与四个面都相切的球)的球心O ，且与BC ，DC 分别交于点E ，F ，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥A -BEFD 与三棱锥A -EFC 的表面积相等．
下面证明该结论的正确性， 设内切球半径为R ，
则V A -BEFD
＝13(S △ABD
＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD )×R ＝V A -EFC ＝
13(S △AEC
＋S △ACF ＋S △ECF )×R ，
即S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD ＝S △AEC ＋S △ACF ＋S △ECF ，两边同加S △AEF 可得结论． [方法技巧]
类比推理的步骤和方法
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： ①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．
[全练题点]
1.[考点二]由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；
②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；
④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝a
b
”．
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．
2.[考点二]在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝1
4，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，
外接球体积为V 2，则
V 1
V 2
＝( ) A.18 B.19 C.164
D.127
解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝1
27
.
3.[考点一·
类型(一)]将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第k 行有k 个奇数)，其中第i 行第j 个数表示为a ij ，例如a 42＝15，若a ij ＝2 017，则i －j ＝( )
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
…
A ．26
B ．27
C ．28
D ．29
解析：选A 前k 行共有奇数为1＋2＋3＋…＋k ＝k (1＋k )
2个，所以第k 行的最后一个
数为2·k (1＋k )
2－1＝k 2＋k －1，第k ＋1行的第一个数为k (k ＋1)＋1，当k ＋1＝45时，k (k
＋1)＋1＝44×45＋1＝1 981，即第45行的第一个数为1 981，因为2 017－1 981
2
＝18，
所以2 017是第45行的第19个数，
即i ＝45，j ＝19，所以i －j ＝45－19＝26.故选A.
4．[考点一·类型(二)]观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋1
1－4＝
2，10
10－4＋－2－2－4
＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( ) A.n
n －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4
＝2
C.n
n －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4
＝2 解析：选A 各等式可化为55－4＋8－5(8－5)－4＝2，22－4＋8－2(8－2)－4＝2；7
7－4＋
8－7(8－7)－4＝2，10
10－4＋8－10(8－10)－4＝2，可归纳得一般等式：n n －4＋8－n (8－n )－4
＝2，故选A.
5.[考点一·
类型(三)]蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．
则f (4)＝________，f (n )＝________.
解析：因为f (1)＝1，f (2)＝7＝1＋6，f (3)＝19＝1＋6＋12，所以f (4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f (n )＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝3n 2－3n ＋1.
答案：37 3n 2－3n ＋1
突破点(二) 演绎推理
[基本知识]
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． (3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
[基本能力]
1．判断题
(1)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是
三段论推理，但其结论是错误的．( )
(2)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)√ (2)× 2．填空题 (1)下列说法：
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．
其中正确的有________个． 解析：易知①③④正确． 答案：3
(2)推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是________(填序号)．
答案：②
[全析考法]
[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝2
n S n (n ∈N *)．证明：
(1)数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 是等比数列；
(2)S n ＋1＝4a n .
[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2
n S n ，
∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故
S n ＋1
n ＋1＝2·S n n ，(小前提) 故⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义)
(2)由(1)可知数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 是等比数列，(大前提)
所以S n ＋1
n ＋1＝4·S n －1
n －1
(n ≥2)，
即S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1
＝4a n (n ≥2)．
又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)
[方法技巧]
演绎推理的推证规则
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．
(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．
[全练题点]
1．已知a ，b ，m 均为正实数，b ＜a ，用三段论形式证明b a ＜b ＋m
a ＋m .
证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b ＜a ，m ＞0，(小前提) 所以mb ＜ma .(结论)
因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提) mb ＜ma ，(小前提)
所以mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．(结论)
因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，(小前提) 所以b (a ＋m )a (a ＋m )＜a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a ＜b ＋m a ＋m
.(结论)
2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调递增函数．
证明：设任意x1，x2∈R，取x1<x2，
则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，
所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
因为x1<x2，即x2－x1>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．(小前提)
所以y＝f(x)为R上的单调递增函数．(结论)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：选D依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.
2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．答案：1和3
3．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三个去过同一城市． 由此判断乙去过的城市为________．
解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，因此三人去过的同一城市应为A ，而甲去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以甲去过A ，C 城市，乙去过的城市应为A.
答案：A
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 合情推理
1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是1
2ah ，如果把扇
形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为1
2lr ；(2)由1＝12,1
＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )
A ．类比推理、归纳推理
B ．类比推理、演绎推理
C ．归纳推理、类比推理
D ．归纳推理、演绎推理
解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.
2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )
A ．121
B ．123
C ．231
D ．211
解析：选B 令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123.
3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( )
A ．n (n ＋1)
B.n (n －1)
2
C.n (n ＋1)2
D ．n (n －1)
解析：选C 由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2
.
4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )
A ．3 125
B ．5 625
C ．0 625
D ．8 125
解析：选B 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k 与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.
5．(2018·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝
|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z
＋3＝0的距离为( )
A ．3
B ．5 C.5217
D ．3 5
解析：选B 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|
12＋22＋22＝
5，故选B.
6.如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一
个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________．
解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n 次操作后，三角形
共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.
答案：33
7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.
12345…3579…81216…
2028…
2 01
3 2 01
4 2 01
5 2 016
4 027 4 029 4 031
8 0568 060
16 116
……
该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为____________．
解析：观察数列，可以发现规律：每一行都是一个等差数列，且第一行的公差为1，第二行的公差为2，第三行的公差为4，第四行的公差为8，…，第2 015行的公差为22 014，故第一行的第一个数为2×2－1，第二行的第一个数为3×20，第三行的第一个数为4×21，第四行的第一个数为5×22，…，第n行的第一个数为(n＋1)·2n－2，故第2 016行(最后一行)仅有一个数为(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014.
答案：2 017×22 014
8.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)
按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)
处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，
点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点
的坐标为____________．
解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.
答案：(1 009,1 008)
对点练(二)演绎推理
1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
解析：选B对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，大前提均错误．故选B.
2．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的()
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．结论正确
解析：选A若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．
3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()
A．结论正确B．大前提不正确
C．小前提不正确D．全不正确
解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.
4．(2018·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是()
A．甲B．乙
C．丙D．丁
解析：选D若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜对比赛结果，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.
5．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、
丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为____________．解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙．答案：甲、丁、乙、丙
[大题综合练——迁移贯通]
1．给出下面的数表序列：
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解：表4为
1357
4 812
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
2．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，求证：1
AD2＝1
AB2＋1
AC2.在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．
解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴
1
AD2＝
1
BD·DC
＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2
AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，
∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2
. 猜想，在四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2
＋1AD 2
. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF .
∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .
∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF
2. ∵AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥CD .
∵AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥CD .又AB ∩AE ＝A ， ∴CD ⊥平面ABF ，∴CD ⊥AF . ∴在Rt △ACD 中1AF 2＝1AC 2＋1
AD 2，
∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD
2. 3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：
sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－1
2sin 30°
＝1－14＝34.
(2)三角恒等式为
sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝3
4.
证明如下：
sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)
＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－1
2sin 2α
＝34sin 2α＋34cos 2α＝3
4.
第二节 直接证明与间接证明、数学归纳法
本节主要包括3个知识点： 1.直接证明； 2.间接证明； 3.数学归纳法.
突破点(一)
直接证明
[基本知识] Q (结论)⇐P 1→P 1⇐P 2
→…→得到一个明显成立的条件
[基本能力]
1．判断题
(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()
(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()
(4)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)√
2．填空题
(1)6－22与5－7的大小关系是________．
解析：假设6－22>5－7，由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，所以6－22>5－7成立．
答案：6－22>5－7
(2)已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b
2
，y＝a＋b，则x、y的大小关系是________．
解析：x2＝1
2(a＋b＋2ab)，y
2＝a＋b＝1
2(a＋b＋a＋b)>
1
2(a＋b＋2ab)＝x
2，又∵x>0，
y>0，∴y>x.
答案：y>x
(3)设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．
解析：∵a>b>0，∴a>b，a－b>0，
∴n2－m2＝a－b－(a＋b－2ab)
＝2ab－2b>2b2－2b＝0，∴n2>m2，
又∵m>0，n>0，∴n>m.
答案：n>m
[全析考法]
(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式； (2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型． [例1] (2018·武汉模拟)已知函数f (x )＝(λx ＋1)ln x －x ＋1. (1)若λ＝0，求f (x )的最大值；
(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，证明：f (x )x －1>0.
[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当λ＝0时，f (x )＝ln x －x ＋1.
则f ′(x )＝1
x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0<x <1时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,1)上是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，
故f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.
(2)证明：由题可得，f ′(x )＝λln x ＋λx ＋1
x －1.
由题设条件，得f ′(1)＝1，即λ＝1. ∴f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.
由(1)知，ln x －x ＋1<0(x >0，且x ≠1)．
当0<x <1时，x －1<0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)<0，∴f (x )
x －1>0.
当x >1时，x －1>0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x －x ⎝⎛⎭
⎫ln 1x －1
x ＋1>0， ∴
f (x )x －1>0.综上可知，f (x )
x －1
>0. [方法技巧] 综合法证题的思路
分析法
[例2] 已知a >0，1b －1
a >1，求证：1＋a >
1
1－b
. [证明] 由已知1b －1
a >1及a >0，可知0<
b <1，要证
1＋a >
11－b
，只需证
1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －b ab >1，即1b －1
a >1.这是已知条件，所以原不等式得证．
[方法技巧]
分析法证题的思路
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
[全练题点]
1.[考点一]命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )
A ．分析法
B ．综合法
C ．综合法、分析法综合使用
D ．间接证明法
解析：选B 因为证明过程是“由因导果”，即由条件逐步推向结论，故选B. 2.[考点一](2018·广州调研)若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1b
D.b a ＞a b
解析：选B a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a (a －b )>0，即a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .①
又∵ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2.
3.[考点一]已知a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥1
3
.
证明：因为a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2
＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2＝3(a 2＋b 2＋c 2)，当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时，等号成立．所以a 2＋b 2＋
c 2≥13
.
4.[考点二]已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 2
1＋m .
证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )·(a 2
＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证m (a －b )2≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．
突破点(二) 间接证明
[基本知识]
1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤
3．常见的结论和反设词
[基本能力]
1．判断题
(1)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．()
(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()
(3)用反证法证题时必须先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况．()
(4)反证法的步骤是：①准确反设；②从否定的结论正确推理；③得出矛盾．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√
2．填空题
(1)用反证法证明“如果a>b，那么3
a>
3
b”，假设的内容应是________．
答案：3
a≤
3
b
(2)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可把下列哪些作为条件使用________(填序号)．
①结论相反的判断即假设；
②原命题的条件；
③公理、定理、定义；
④原结论．
答案：①②③
(3)写出下列命题的否定．
①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c不都是奇数；
否定为____________________________________________________________；
②若p >0，q >0，p 3＋q 3＝2，则p ＋q ≤2；
否定为________________________________________________________； ③所有的正方形都是矩形；
否定为________________________________________________________________； ④至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0；
否定为_______________________________________________________________． 答案：①若a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，则a ，b ，c 都是奇数 ②若p >0，q >0，p 3＋q 3＝2，则p ＋q >2 ③至少存在一个正方形不是矩形 ④不存在实数x ，使x 2＋1＝0
[全析考法]
[例1] 设{a n }(1)推导{a n }的前n 项和公式；
(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． [解] (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ，
∴S n
＝⎩⎪⎨⎪
⎧
na 1
，q ＝1，a 1
(1－q n
)
1－q
，q ≠1.
(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，
a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，
a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q
k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．
[例2] 若f (x )f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．
(1)设g (x )＝12x 2－x ＋3
2是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值；
(2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝
1
x ＋2
是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由已知得g (x )＝1
2(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的
右边，
所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ， 即12b 2－b ＋3
2＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3.
(2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a >－2)上是“四维光军”函数，
因为h (x )＝1
x ＋2
在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有{
h (a )＝b ，
h (b )＝a ，即⎩⎪⎨⎪
⎧
1
a ＋2＝
b ，1
b ＋2
＝a ，
解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．
[例3]2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．
[证明]假设三个方程都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
上述三个式子相加得：
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.
由已知a，b，c是互不相等的非零实数．
因此，上式“＝”不能同时成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0与事实不符，
故ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．
[全练题点]
1.[考点三](2018·上海十二校模拟)用反证法证明命题“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
解析：选B用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而至少有一个能被5整除的否定是都不能被5整除，故作的假设是“a，b都不能被5整除”．
2.[考点一、三]若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c －a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C由于a，b，c不全相等，则a－b，b－c，c－a中至少有一个不为0，故①正确；②显然正确；令a＝2，b＝3，c＝5，满足a≠c，b≠c，a≠b，故③错误．
3.[考点三]已知x∈R，a＝x2＋1
2，b＝2－x，c＝x
2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个。