数理统计参考答案

习题一
1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X .
解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ，
11223344555
11
1
55(1)
(,,,,)()(1)(1)i i
n
x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏
其中：5
1
15i
i x x ==∑
2）对总体~()X P λ
11223344555
1
1
555
1
(,,,,)()!
!
i
x
n
i i i i i x
i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ
λ
λλ-==-==========
∏∏
∏
其中：5
1
15i
i x x ==∑
3）对总体~(,)X U a b
55
1151
1
,,1,...,5 (,
,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==⎧≤≤=⎪==-⎨⎪⎩
∏∏
，其他
4）对总体~(,1) X N μ
()()
()2
55
55/2
22
1511
1
1 (,
,)()=2exp 2i x i i i i i f x x f x x μπμ--
-===⎛⎫==-- ⎪⎝⎭
∑∏
2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.
解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：
经验分布函数的定义式为：
()()()
(1)10,(),,=1,2,
,1,1,n k k k x x k
F x x x x k n n x x +<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩，
据此得出样本分布函数：
200,00.3,010.65,12()0.8,
230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪
⎪≤<⎨
≤<⎪⎪≤<⎪
≥⎩
图1.1 经验分布函数
x
()
n F x
3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：
试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.
解
图1.2 数据直方图
它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N .
4 设总体X 的方差为4，均值为μ，现抽取容量为100的样本，试确定常数k ，使得满足9.0)(=<-k X P μ.
解 ()
- 5P X k P k μ⎫
⎪<=<⎪⎭
()()
555 P k X k μ=-<-<
因k 较大，由中心极限定理(0,1)
X N ： ()
()()
-55P X k k k μ<≈Φ-Φ-
(5)(1(5))
k k =Φ--Φ
()2510.9k =Φ-=
所以：()50.95
k Φ=
查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=.
5 从总体2
~(52,6.3)X N 中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.
解 (
)50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫<<=-<
< ⎪⎝⎭
(0,1) 6.3X U N =
()()
50.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14290.9564(10.8729)0.8293
P X P U ∴<<=-<<=Φ-Φ-=--=）
6 从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.
解 设两个独立的样本分别为：110,,X X 与115,,Y Y ，其对应的样本均值为：X 和Y .
由题意知：X 和Y 相互独立，且：
3~(20,)10X N ，3~(20,)15Y N
(0.3)1(0.3)P X Y P X Y ->=--≤
1P =-
~(0,0.5)~(0,1)(0.3)22(0.4243)0.6744
X Y N X Y
N P X Y -->=-Φ=
7 设110,,X X 是总体~(0,4)X N 的样本，试确定C ，使得10
21
(
)0.05i
i P X
C =>=∑.
解 因~(0,4)i X N ，则
~(0,1)2
i
X N ，且各样本相互独立，则有： 10
12
2~(10)2i i X χ=⎛⎫
⎪⎝⎭∑
所以：10
1022
1
1
(
)()144
i
i
i i C
P X
C P X ==>=>
∑∑
1021
110.0544i i c P X =⎛⎫
=-≤= ⎪⎝⎭∑
1021
10.9544i i c P X =⎛⎫
≤= ⎪⎝⎭∑
查卡方分位数表：c/4=18.31，则c=73.24.
8 设总体X 具有连续的分布函数()X F x ，
1,,n X X 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，
定义随机变量：
1,
,1,2,,0,
i i i X Y i n X μμ
>==≤⎧⎨
⎩
试确定统计量∑=n
i i Y 1的分布.
解 由已知条件得：~(1,)i Y B p ，其中1()X p F μ=-.
因为i X 互相独立，所以i Y 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有
1
~(,)n
i
i Y
B n p =∑，1()X p F μ=-.
9 设1,,n X X 是来自总体X 的样本，试求2,,EX DX ES 。

假设总体的分布为： 1）~(,);X B N p 2) ~();X P λ 3) ~[,];X U a b 4) ~(,1);X N μ 解 1) EX EX Np ==
(1)
DX Np p DX n n
-=
=
2(1)ES DX Np p ==-
2) EX EX λ==
DX DX n n
λ=
=
2ES DX λ==
3) 2
a b
EX EX +==
()2
12b a DX DX n n
-== ()2
2
12
b a ES
DX -==
4) EX EX μ==
1DX DX n n
=
= 21ES DX == 10 设1,,n X X 为总体2~(,)X N μσ的样本，求
21()n i i E X X =⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑与21()n i i D X X =⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
∑。

解
()2
22
12
(1)(1)(1)(1)n i i E X X E n S n ES n DX n σ=⎡⎤-=-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦
=-=-∑ ()2224
21(1)(1)n i i n S D X X D n S D σσ=⎡⎤-⎡⎤⎡⎤-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∑ 又因为
2
2
2
(1)~(1)n S n χσ--,所以：()24
12(1)n i i D X X n σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦
∑
11 设1,,n X X 来自正态总体(0,1)N ，定义：121
1
||,||n
i
i Y X Y X n
===
∑，计算12,EY EY .
解 由题意知~(0,1/)X N n
，令：Y =，则~(0,1)Y N
()E Y X
22
||y y e
dy +∞
-
=
⎰22
0y ye
dy +∞
-
=
⎰
t e dt +∞-=
(1)=
=
1((||))E Y E X ==
211
11(||(||))()n n
i i i i E Y E X E X n n E X ===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑12 设1,
,n X X 是总体~(,4)X N μ的样本，X 为样本均值，试问样本容量n 应分别取
多大，才能使以下各式成立：
1）2
||0.1E X μ-≤；2）||0.1E X μ-≤；3）(||1)0.95P X μ-≤=。

解 1)
4~(,4)
~(,)X N X N n μμ∴
~(0,1)X U N =
2
E X μ
-2
4X E n =
24X X D E n ⎡⎤=
+⎢⎥⎣⎦
()4
100.1n
=
+≤ 所以：40n ≥
2)
~(0,1)X U N =
()E E U
=2
2
u u du +∞
--∞
=⎰
2
20
2u du +∞
-==⎰
所以：0.1E X μ-=
≤ 计算可得：225n ≥
3)
()
()111P X P X μμ-≤=-≤-≤
P ⎛=≤≤ ⎝⎭
22⎛⎛=Φ-Φ- ⎝⎭⎝⎭
210.952⎛⎫=Φ-≥ ⎪ ⎪⎝⎭
查表可得：
0.975 1.96,15.362
u n ≥=≥ ，而n 取整数，16n ∴≥. 13 设1(,
,)n X X 和1(,
,)n Y Y 是两个样本，且有关系式：1()i i Y X a b
=
-（,a b 均为常数，
0b ≠）
，试求两样本均值X 和Y 之间的关系，两样本方差2X S 和2
Y S 之间的关系. 解 因：()111
n i i Y X a n b
==-∑
111n i i X na b n =⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
∑ ()1
X a b
=
- 所以：()1
EY EX a b
=
- 即：
()
()()()2
2
21
12
221111111111=
1n
n Y
i i i i n
i X i S Y Y X a X a n n b b X X S n b b
===⎡⎤=-=---⎢⎥--⎣⎦
⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦∑∑∑
14 设15,
,X X 是总体~(0,1)X N 的样本.
1) 试确定常数11,c d ，使得2221121345()()~()c X X d X X X n χ++++，并求出n ； 2) 试确定常数2c ，使得222212345()/()~(,)c X X X X X F m n +++，并求出m 和n . 解 1）因：12~(0,2)X X N +，345~(0,3)X X X N ++
~(0,1)N
~(0,1)N 且两式相互独立
故：2
2
2
~(2)χ+
可得：112
c =
，11
3d =，2n =.
2） 因：222
1
2
~(2)X X χ+，
()2
3452~(1)3
X X X χ++，
所以：
()()
221
22
3452
~(2,1)3
X
X F X X X +++，
可得：23
,2,12
c m n =
==. 15 设(),(,)p p t n F m n 分别是t 分布和F 分布的p 分位数，求证
21/21[()](1,)p p t n F n --=.
证明 设1(1,)p F n α-=
，
则：()1(1P F p P p α≤=-⇔≤
≤=
-
((12(2(12
P T P T p P T p p P T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=
-
12
()p t
n -
=
故：2
112
()(1,)p p t
n F n α--==.
16 设21,X X 是来自总体)1,0(~N X 的一个样本，求常数c ，使：
1.0)()()(2212212
21=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛>-+++c X X X X X X P .
解 易知12~(0,2)X X
N +~(0,1)N ； 同理12~(0,2)X X N
-~(0,1)N 又因：1212(,)0Cov X X X X +-=，所以12X X +与12X X -相互独立.
221212222
121212()(1)()()()()X X c X X P c P c X X X X X X ⎛⎫⎛⎫+-+>=> ⎪ ⎪++--⎝⎭⎝⎭
2122
12()()1X X c P X X c ⎛⎫
+=> ⎪--⎝⎭
20.11c P c ⎫⎪⎪=>=- ⎪ ⎪
⎝⎭
所以：
0.9(1,1=39.91c
F c
=-） 计算得：c = 0.976. 17 设121,,
,,n n X X X X +为总体2~(,)X N μσ的容量
1n +的样本，2,X S 为样本
1(,
,)n X X 的样本均值和样本方差，求证：
1
）~(1)T t n -；
2）211~(0,)n n X X N n
σ++-；
3）2
11~(0,
)n X X N n
σ--.
解 1）因：1()0n E X X +-=，2
11()n n D X X n
σ++-=
所以：2
11~(0,
)n n X
X N n σ++-
~(0,1)X N 又：
222
1
~(1)n S n χσ
--
X 2
21n S σ-相互独立
=~(1)t n -
2） 由1）可得：2
11~(0,
)n n X X
N n
σ++- 3） 因：1()0E X X -=，2
11()n D X X n
σ--=
所以：2
11~(0,)n X X N n
σ-- 18 设1,
,n X X 为总体2
~(,)X N μσ的样本，X 为样本均值，求n ，使得
(||0.25)0.95P X μσ-≤≥.
解
(
)
~(0,1)
/0.25X U N X P X P σμσ-=
⎛∴-≤
=-≤ ⎝
(210.95=Φ-≥
所以：(0.975Φ≥
查表可得：0.975 1.96u =，即62n ≥. 19 设1,
,n X X 为总体~[,]X U a b 的样本，试求：
1）(1)X 的密度函数； 2）()n X 的密度函数； 解 因：~[,]X U a b ， 所以X 的密度函数为：
1
,[,]()0,[,]
x a b f x b a
x a b ⎧∈⎪
=-⎨⎪∉⎩， 0,(),1,x a x a F x a x b b a x b ≤⎧
⎪-⎪=<≤⎨-⎪
>⎪⎩
由定理：1
(1)()(1())
()n f x n F x f x -=-
11
(
),[,]0,[,]n b x n x a b b a b a
x a b --⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩
1
()()(())
()n n f x n F x f x -=
11
(
),[,]0,[,]n x a n x a b b a b a
x a b --⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩
20 设15,
,X X 为总体~(12,4)X N 的样本，试求：
1）(1)(10)P X <； 2）(5)(15)P X < 解
~(12,4)
12
~(0,1)2
i X N X N -∴
()()(1)(1)10110P X P X <=-≥
()5
1110i
i P X
==-
≥∏
()()5
1
1110i i P X ==--≤∏
5
1121112i i X P =⎛-⎫
⎛⎫=--≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭∏
51(1(1))=--Φ- 51(1)0.5785=-Φ=
()()5
(5)11515i i P X P X =<=<∏
51
12 1.52i i X P =-⎛⎫
=< ⎪⎝⎭∏
55(1.5)0.93320.7077=Φ==
21 设11(,,,,,)m m m n X X X X ++为总体2~(0,)X N σ的一个样本，试确定下列统计量的分
布：
1
）1m
i
X Y =
； 2）2
122
1
m
i
i m n
i
i m n X Y m X =+=+=
∑∑；3）2
12
212311⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛=∑∑++==n m m i i m i i X n X m Y σσ
解 1）因为：
21
~(0,)m
i
i X
N m σ=∑
~(0,1)m
i X
N ∑，
2
22
1
~()
m n
i i m X n χσ
+=+∑
m
i X
∑与
2
2
1
m n
i i m X σ
+=+∑
相互独立，由抽样定理可得：
1~()m
i
m
i
X
X Y t n =
∑ 2）因为：
22
2
1
1
~()m
i
i X
m χσ
=∑，
222
1
1
~()
m n i i m X n χσ
+=+∑
且
22
1
1
m
i
i X
σ=∑与
221
1
m n
i i m X σ+=+∑
相互独立，
所以：
222
112
221
1
1=
~(,)1
m
m
i
i i i m n
m n
i i i m i m n X
X m F m n m X X n
σσ==++=+=+∑∑∑∑
3）因为：
2
1
~(0,)m
i
i X
N m σ=∑，
21
~(0,)m n i i m X N n σ+=+∑
所以：
2
21
2
()
~(1)m
i i X m χσ=∑，
2
212
()~(1)
m n
i i m X n χσ+=+∑
且
2
1
2
()
m
i i X m σ
=∑与
2
1
2
()m n
i i m X n σ
+=+∑相互独立，
由卡方分布可加性得：2
2
2
22
111~(2)m m n i i i i m n X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑. 22 设总体X 服从正态分布),(2
σμN ，样本n X X X ,,,21 来自总体X ，2
S 是样本方
差，问样本容量n 取多大能满足95.067.32)1(22=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛≤-σS n P ？
解 由抽样分布定理：
222
1
~(1)n S n χσ--,22
1
(
32.67)0.95n P S σ-≤=,
查表可得：n 121-=，n 22=.
23 从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，
22
21
,S S 分别为两样本方差，求⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛>39.22221S S P . 解 设12=20=15n n ，分别为两样本的容量，2σ为总体方差，由题意，
22222
2111222222
2(1)19(1)14=~(19)=~(14)n S S n S S χχσσσσ
--， 又因22
21,S S 分别为两独立的样本方差：2
12
2
12
22
2
2
1919=~(19,14)1414
S S F S S σσ 所以：221122222.391 2.3910.950.05S S P P S S ⎛⎫⎛⎫
>=-≤=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
24 设总体),(~2
σμN X ，抽取容量为20的样本2021,,,X X X ，求概率
1）⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛≤-≤
∑=57.37)(85.102
20
1
2
σμi i X P ；
2）⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛≤-≤
∑=58.38)(65.112
20
1
2
σi i
X X
P .
解 1）因
~(0,1)i X N μ
σ
-，且各样本间相互独立，所以：
()
20
2
2
20
221
2
1~(20)i
i i i X X μμχχσσ==--⎛⎫== ⎪⎝⎭
∑∑ 故：()210.8537.570.990.050.94P χ≤≤=-=
2）因：
()
20
2
2
21
2
2
19~(19)i
i X
X S χσ
σ
=-=
∑, 所以：
221911.6538.580.9950.10.895.S P σ⎛⎫
≤≤=-= ⎪⎝⎭
25 设总体),80(~2
σN X ，从中抽取一容量为25的样本，试在下列两种情况下
)380(>-X P 的值：
1） 已知20=σ；
2） σ未知，但已知样本标准差2674.7=S . 解 1）
()
22
~(80,)80~(80,
)~(0,1),~(24)255
80380320/54X N X X X N N t S X P X P σσ-∴⎛⎫
- ⎪
->=> ⎪⎝⎭
314P U ⎛
⎫=-≤ ⎪⎝⎭12(0.75)1=-Φ+
220.77340.4532=-⨯=
2）()
80803 2.0647.2674/5X P X P ⎛⎫
- ⎪->=> ⎪⎝⎭
()1 2.064120.97510.05P T =-≤=-⨯+=
26 设1,,n X X 为总体2
~(,)X N μσ的样本，2,X S 为样本均值和样本方差，
当20n =时，求：
1）();4.472
P X σμ<+
2）2
2
2
(||);2
P S σ
σ-<
3）确定C ，使()0.90S P C X μ
>=-.
解 1）
2~(,)~(0,)1 4.4724.472X N N X X P X P μσμμσσ⎛⎫-⎛
⎫<+=< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
10.8413X P ⎛⎫
=<=⎪⎪⎭
2）2222222
22
2P S P S σσσσσ⎛⎫⎛⎫-<=-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
222322P S σσ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭
221322S P σ⎛⎫
=<< ⎪⎝⎭
2
2199.528.5S P σ⎛⎫=<< ⎪
⎝⎭
其中2
2
22
19=
~(19)S χχσ
,则
()2222
2
2199.528.529.528.50.950.050.9
S P S P P σσσχ⎛⎫⎛⎫-<=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=<<=-= 3）
1<S X X P c P P X S c μμ⎛⎛⎫⎛⎫->== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎭
其中，(19)X T t ，则
0.9S P c P T X μ⎛⎛⎫>== ⎪ -⎝⎭⎝⎭
所以：
0.9(19)=1.328t =,计算得： 3.3676c =. 27 设总体X 的均值μ与方差2σ存在，若n X X X ,,,21 为它的一个样本，X 是样本均值，试证明对j i ≠，相关系数1
1),(--=--n X X X X r j i . 证明
cov(,)(,)i j X X X X r X X X X ----=
2
1()()i j n D X X D X X n
σ--=-=
21
ov(,)()i j i j i j C X X X X E X X X X X X X X n
σ--=---=-
所以：1
(,)1
i j r X X X X n --=--.
28. 设总体2~(,)X N μσ，从该总体中抽取简单随机样本)1(,,,221≥n X X X n ，X 是
它的样本均值，求统计量∑=+-+=
n
i i n i
X X X
T 1
2)2(的数学期望.
解 因2~(,)X N μσ，)1(,,,221≥n X X X n 为该总体的简单随机样本，令
i i n i Y X X +=+，则有2~(2,2)i Y N μσ
可得：1
12n
i i Y Y X n ===∑
()2
2
21
1
(2)(1)n
n
i n i i Y i i T X X X Y Y n S +===+-=-=-∑∑
22(1)2(1)Y ET n ES n σ=-=-
习题二
1 设总体的分布密度为：
(1),01
(;)0,
x x f x ααα+<<=⎧⎨⎩其它
1(,
,)n X X 为其样本，求参数α的矩估计量1ˆα和极大似然估计量2ˆα .现测得样本观测值
为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数α的估计值 .
解 计算其最大似然估计：
()()
11
1
1
1
(,)11ln (,)ln(1)ln n
n
n
n i i i i n
n i
i L x x x x L x x n x α
α
αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑
11
21
ln (,)ln 01ˆ10.2112
ln n
n i i n i
i d n L x x x d n x ααααα====+=+=--=∑∑
其矩估计为：
()1 3.40.10.20.90.80.70.766
X =
+++++= 3077
.0121ˆ,212)1()1(11
01
21
=--==++=++=+=⎰++X X X x dx x EX αααααααα
所以：12112ˆˆ,11ln n
i
i X n X X αα=⎛⎫
⎪- ⎪==-+-
⎪ ⎪⎝
⎭
∑， 12ˆˆ0.3077,0.2112αα≈≈.
2 设总体X 服从区间[0, θ]上的均匀分布，即~[0,]X U θ，1(,,)n X X 为其样本， 1)求参数θ的矩估计量1ˆθ和极大似然估计量2ˆθ；
2)现测得一组样本观测值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值. 解 1）矩估计量：
11
ˆˆ,2 2.42
EX X X θθ=
=== 最大似然估计量：
11
1
1
1
(,)ln (,)0
n
n n
i n L x x n
L x x θθ
θθθ
===
=-
=∏
无解 .此时，依定义可得：2
1ˆmax i i n
X θ≤≤=
2）矩法：211ˆˆ1.2,0.4722
12
EX DX θθ=
==
=
极大似然估计：222ˆˆ1.1,0.40332
12
EX DX θθ====.
3 设1,...,n X X 是来自总体X 的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量 .已知总体X 的分布密度为：
1）,0(;),
00,
x
e
x f x x λλλλ->=>≤⎧⎨
⎩未知
2）(;),
0,1,2,
,0!
x
f x e x x λ
λ
λλ-=
=>未知
3）1,(;,)0
a x
b f x a b a b b a
≤≤=<-⎧⎪
⎨⎪⎩，
其它
未知
4) 2
,0(;)0
x
x f x θθθ-<≤<+∞=⎧⎨
⎩，
其它
θ未知
5）()/1,(;,),
00,
x e x f x x αβ
ααβββα
--≥=><⎧⎪⎨⎪⎩，其中参数,αβ未知
6）1
,0(;,),
,00,
x
x f x x αααβαβαββα
-≤≤=><⎧⎪⎨⎪⎩，其中参数,αβ未知
7
）2,0
(;),
00,0
x x f x x θ
θθ-
>=>≤⎧⎩
未知
8）
22
(;)(1)(1)
,2,3,,01x f x x x θθθθ
-=--=<<
解 1）
矩法估计：1
1
1ˆ,EX X X
λλ=== 最大似然估计：
11
1
1
1
(,),ln (,)ln n
i
i
i n
n
x x n
n n i i i L x x e
e
L x x n x λ
λλλλλλλ=--==∑===-∑∏
2
1
1
1
ˆln 0,n
i n
i i
i d n n
L x d X
x
λλλ===-===
∑∑.
2)
~()X P λ 矩估计：
1
ˆ,EX X X λλ=== 最大似然估计：
1
1
(,),ln ln i
x
nx
n
n n i i i
i
L x x e
e
L n nx x x x
λ
λ
λλλλλ--====-+-∑∏
∏
2
ˆln 0,d nx L n X d λλλ
=-+==.
3）
矩估计：()2
,212
b a a b
EX DX -+==
联立方程：
(
)2
*221ˆ2
ˆa X b X a b
X b a M ⎧=-
⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩
最大似然估计： 1
1
1
(,)(;)()
n
n i n
i L x x f x b a θθ===
-∏,ln ln()L n b a =-- ln 0d L n
da b a
==-,无解，当1ˆmin i i n a
X ≤≤=时，使得似然函数最大， 依照定义，1ˆmin i i n
a
X ≤≤=，同理可得1ˆmax i
i n
a X ≤≤=.
4)
矩估计：
ln EX dx x
x
θ
θ+∞
+∞=
=⎰
，不存在
最大似然估计：
1
2
2
1
11
(,),ln ln 2ln n
n
n
n i i i i i
L x x L n x x x θ
θθ
θ=====-∑∏
∏
ln 0n L αθ
∂==∂，无解；依照定义，(1)
ˆX θ=. 5)
矩估计：
()/0
()(1)(2)x t
x
EX e
dx t e dt αβ
ααβαββ
+∞
+∞
---=
=
+=Γ+Γ⎰⎰
X αβ=+=
2
222
()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞
-=
+=Γ+Γ+Γ⎰ 22222
2122()i M X n
ααββαββ=++=++==
∑
2
2
2
22*
2111
ˆˆi M X X X M n
X βαβ=-=-==-=∑
即11
ˆ
ˆX X
αβ
====
最大似然估计：
()
()/
1
1
11
(,,)exp,
1
ln ln
i
n
x n
n
i
L x x e nx n
n
L n nx
αβ
αββα
ββ
α
β
ββ
---
=
⎡⎤
==--
⎢⎥
⎣⎦
=--+
∏
2
ln0,ln()0
n n n
L L xα
αββββ
∂∂
===-+-=
∂∂，无解
依定义有：(1)(1)
ˆ
ˆ,
L L
X X X X
αβα
==-=-
.
6)
矩估计：11
01
EX x x dx M
βα
α
ααβ
βα
-
===
+
⎰
2
221
2
01
EX x x dx M
βα
α
ααβ
βα
-
===
+
⎰
解方程组可得：111
ˆ
ˆ1,M
αβ
=-=
最大似然估计：
11
1
1
11
1
(,,),ln ln ln(1)ln
n
n n n
n i i i
n
i
i i
L x x x x L n n x
αα
αα
α
αβααβα
ββ
--
=
==
===-+-∑
∏∏
1
ln ln ln0,ln0
n
i
i
n n
L n x L
α
β
ααββ
=
∂∂
=-+==-=
∂∂
∑
β无解，依定义得，
()n
x
β=解得
()
1
1
ˆ
1
ln ln
L n
n i
i
x x
n
α
=
=
-∑
.
7)
矩估计：
22
22
322
2
000
(2)
x x
t
x
EX dx d te dt X
θθ
θ
+∞+∞+∞
--
-
=====
⎰⎰⎰
ˆ
M
θ=
最大似然估计：
2
2
22
2
2
1
11
4
(,)
i
i
x
n
x
n n
n i i
i i
x
L x x x e
θθ
θ--
==
∑
⎛⎫
⎫
== ⎪
⎪
⎭⎝⎭
∏
2
2
2
ln ln43ln ln i
i
x
L n n n x
θ
θ
=---
∑
∑
2
3
3ˆ
ln20,
i
L
x
n
Lθ
θθθ
∂
=-+==
∂
∑
8)
矩估计：
22
2222
22
220
22
222
223
(1)(1)[(1)](1)
(1)(1)
122
1
x x x x x x
x
x
d d
EX x x
d d
d d
q X
dq dq q
θθθθθθ
θθ
θθθ
θθ
∞∞∞
-
===
∞
=
=--=-=-
--
=====
-
∑∑∑
∑
2
ˆ
M X
θ=
最大似然估计：
2
222
1
1
(,)(1)(1)(1)(1)
ln2ln(2)ln(1)ln(1)
i
n
x n nx n
n i i
i
i
L x x x x
L n nx n x
θθθθθ
θθ
--
=
=--=--
=+--+-
∏∏
∑
222
ˆ
ln0,
1L
n nx n
L
X
θ
θθθ
∂-
=-==
∂-.
4. 设总体的概率分布或密度函数为(;)
f xθ，其中参数θ已知，记
()
p P X a
=>，样本1
,...,
n
X X来自于总体X，则求参数p的最大似然估计量ˆp.
解记00
1,;0,
i i i i
y x a y x a
=≥=<则(1,)
i
Y B p；
11
1
12
1
12
(,,)(1)(1)
ln(,,)ln(1)ln(1)
n n
i i
i i i i
y y
n
y y n
n
i
n
L p y y y p p p p
L p y y y ny p n y p
==
--
=
∑∑
=-=-
=+--
∏
12
(,,)0
(1)
n
y p
d L p y y y n
dp p p
-
==
-
ˆp
Y =. 5 设元件无故障工作时间X 具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：
.解 最大似然估计：
1
1
(,),ln ln i n
x n nx n i L x x e e L n nx λλλλλλλ--====-∏
7
11120000ˆln 0,,2010001000
i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1
ˆ0.05X λ
==.
6 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其
寿命(单位：小时)为：
1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948 设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.
解 设灯泡的寿命为x ,2
~(,)x N μσ,极大似然估计为：2
21
1ˆˆ,()n
i i x x x n μ
σ===-∑ 根据样本数据得到：2
ˆˆ997.1,17235.81μ
σ== . 经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.
7. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布)，其化验结果如下：
试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？ 解 设x 为每升水中大肠杆菌个数，~
()x P λ，Ex λ=，由3题（2）问知，λ的
最大似然估计为x ，所以
().150/1*42*310*220*117*0ˆ=++++==X L λ
所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 .
8 设总体2
~(,)X N μσ，试利用容量为n 的样本1,...,n X X ，分别就以下两种情况，求出使()0.05P X A >=的点A 的最大似然估计量 .
1）若1σ=时； 2）若2
,μσ均未知时 . 解 1） 1σ=，μ的最大似然估计量为x ，
{}0.95
0.95,0.95ˆ(
)0.95,x A p x A p A A U σμ
μσ
σ
μ
μσ
⎧⎫
⎨
⎬⎩
⎭--≤=≤
=-Φ==+
所以
0.95ˆA U X =+.
2） μ的最大似然估计量为x ，2σ最大似然估计为*
2M ，由极大似然估计的不变性，
直接推出ˆA U X
=.
9 设总体X 具有以下概率分布(;),{1,2,3}f x θθ∈：
求参数θ的极大似然估计量ˆθ .若给定样本观测值：1，0，4，3，1，4，
3，1，求最大似然估计值ˆθ .
解 分别计算 1,2,3θ=，时样本观测值出现的概率：
44
1111;36104976
20;30p p p θθθ==⨯=====当时，当时，当时， 由最大似然估计可得：ˆ1θ=.
10 设总体X 具有以下概率分布(,),{0,1}f x θθ∈：
1,01(;0)0,
x f x <<=⎧⎨
⎩其它
， 01(;1)0,
x f x <<=⎩其它
求参数θ的最大似然估计量ˆθ . 解 θ最大似然估计应该满足：
()()()12
0,1
11ˆmax ,;max ;0,;1,n n
L n i i i i L x x x f x f x θ
θθθ===⎧⎫
==⎨⎬⎩⎭
∏∏
0,1
0.511max 1,2n n i i x θ==⎧⎫
⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭
∏ 结果取决于样本观测值
()
12,n x x x .
11 设1234,,,X X X X 是总体X 的样本，设有下述三个统计量： 123411
1
6
3
ˆ()()X X X X a ++=+
12342234ˆ()/10X X X X a +++=
12343ˆ()/4X X X X a
+++= 指出1ˆ,a
2ˆ,a 3ˆa 中哪几个是总体均值a =EX 的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？ 解
22222111111
ˆˆ()(),()()0.2763369
E D α
αααααασσσσσ=+++==+++= 2ˆ(234)/10E α
ααααα=+++=，22ˆ0.3D ασ= 223314ˆˆ(),0.25416
E D α
αααααασσ=+++=== 所以 123ˆˆˆ,,α
αα无偏，3ˆα方差最小. 12 设总体2~(,)X N μσ，1,...,n X X 为其样本， 1）求常数k ，使1
2
2
1
1
1
ˆ()n i i i X X k
σ
-+==-∑为2σ的无偏估计量；
2）求常数k ，使1
1ˆ||n
i
i X
X k
σ
==-∑为σ的无偏估计量 .
解 1）
()
2
12222221111ˆ[12(1)2][2(1)()2(1)]n i i i i i E E k n x x x x n n k k
σσμμσ
-++==--+=-+--=∑
令 22
2ˆ2(1)E n k
σσσ==- 得
2(1)k n =-.
2）
令
1,21
10,n
k
k k i i i i x n n y x x x N
n n
n σ=≠--
⎛⎫=-=
-
⎪⎝⎭
∑
2
2
2(1)x n n
i E y dx k σσ
--=
=
==
⎰
.
13 设1,...,n X X 是来自总体X 的样本，并且EX =μ，DX = 2σ，2,X S 是样本均值和样本方差，试确定常数c ，使22X cS -是2
μ的无偏估计量 .
解
2
222222
222
()E X cS EX cES DX E X c c n
σσμσμ-=-=+-=
+-=
所以
1
c n =
.
14 设有二元总体(,)X Y ，1122(,),(,),
,(,)n n X Y X Y X Y 为其样本，证明：
1
^
1
()()1
n
i
i i X X Y Y n C ==
---∑
是协方差Cov(,)Z X Y =的无偏估计量 . 证明
由于()()1,1,1
1
()()n
n
k
k
k k i k k i
i i i i x y n n x x y y x y n n
n n
=≠=≠----=--∑
∑
2
1,1,1,1,2
2
2
2
(1)
(1)
(1)
n
n
n
n
k i
k i
k k
k k i k k i k k i
k k i i i n y x n x y x y n x y n n
n
n
=≠=≠=≠=≠---=
--
+∑
∑
∑
∑
所以：
()()22222
(1)(1)(1)(1)(2)2(1)(1)i i n n n Exy n n ExEy
E x x y y Exy ExEy n n n n n Exy ExEy
n n
---+----=-+
--=-
^
1(1)(1)
()cov(,)1n n E C n Exy ExEy Exy ExEy X Y Z n n n
--=
-=-==-，证毕 . 15 设总体2~(,)X N μσ，样本为1,...,n X X ，2
S 是样本方差，
定义22
11n S S n
-=，
22
211
n S S n -=+，
试比较估计量2S ,2
1S ,22S 哪一个是参数2σ的无偏估计量？哪一个对2σ 的均方误差
222
()
i E S σ-最小？
解
1
）
()22
22
2211
111()(())()111n n
i i i i i ES E X X E X nX EX nEX n n n ===-=-=----∑∑ 222
221[()]1n n n n σσμμσ⎛⎫=+-+= ⎪-⎝⎭
所以 2S 是的2σ无偏估计 2）
2212(1),n D S n σ-⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
所以，()224222422,11DS E S DS n n σσσ=-==--
()()()()
()()2
2
2222224
1112
2
22222
224
2
2221()2()1n E S D S E S n E S D S E S n σ
σσσσ
σσσ--=-+-=
-=-+-=+
可以看出()
2
2
22E S σ
-最小 .
16 设总体~[0,]X U θ，123,,X X X 为样本，试证：13
4max 3
i i X ≤≤与13
4min i i X ≤≤都是参数θ的无偏估
计量，问哪一个较有效？ 解
1
11(1)
11
100443(1)(1)344(1)(1)31n n n n
x
x
n E X n dx t tdt n t tdt t tdt n θθ
θθθθθ---=-=-⎡⎤=---==⎢⎥+⎣⎦
⎰⎰⎰⎰
()1
1()()00
44444()333331n n n n x x n n E X EX n dx t tdt n θθθθθθ-=====+⎰⎰ (1)()3
,44
n EX EX θ
θ=
= 2
1
2
2
22222(1)
00
1111313(1)3[]35210x x
EX
dx t t dt θ
θθθθθ⎛⎫=-=-=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰
2
1
2
22422()
00
1333355n x x
EX dx t dt θ
θθθθθ⎛⎫==== ⎪⎝⎭⎰⎰
2
2
2
22(1)(1)(1)(1)3
41616()16(
)10
165
D X DX EX
E X θθθ==-=-
= 222
22
()()()()(1)4161616393()()43999516155
n n n n D X DX EX E X D X θθθ==-=-=<=
所以
()4
3
n X 比较有效. 17 设1ˆθ，2ˆθ是θ的两个独立的无偏估计量，并且1ˆθ的方差是2ˆθ的方差的两倍 .试确定常数c 1, c 2，使得11ˆc θ+22ˆc θ为θ的线性最小方差无偏估计量 . 解： 设
22122,2D D θσθσ==
112212121221(()11E c c c c c c c c c c θθμμμμ+=+=+=+==-），，
()(
)
2
22222211221211(2221D c c c c c c θθσσσ+=+=+-）
()2
22111121321c c c c +-=-+
当1212*33c -=-
=，上式达到最小，此时212
13
c c =-= . 18. 设样本1,...,n X X 来自于总体X ，且~()X P λ(泊松分布)，求,EX DX ，并求C-R 不等式下界，证明估计量X 是参数λ的有效估计量 . 解 DX EX EX DX n n
λ
λ===
=，
1
1
11
(,)!
!2i
x
n
n nx n i i i
L x x e e x x λλλλλ--===∏
∏ ln ln ln !i L n nx x λλ=-+-∑
()22ln ,()(ln )d nx n d n
L n x I E L d d λλλλλλλ
=-+=-=-= 所以其C-R 方差下界为
1()I n
λ
λ= 所以 X 是参数λ有效估计量.
19 设总体X 具有如下密度函数，
1,01
(,)0,
x x f x θθθθ-<<=>⎧⎨⎩，0其它
1,...,n X X 是来自于总体X
的样本，对可估计函数1
()g θθ
=
，求()g θ的有效估计量ˆ()g
θ，并确定R-C 下界 .
解 因为似然函数
111
1
L(,),ln ln (1)ln i i n
n n n n i i x x x x L n x θθθθθ--====+-∑∏∏
111ln ln ln ln ()0i i i d n L x n x n x g d n n θθθθ⎛⎫⎛⎫=+=---=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑ 所以取统计量1
ln i T x n
=-
∑ 1
1
1
1
110
1
ln ln ln ln i E X x x dx xdx x x x dx θθ
θ
θθθ
--===-=-⎰⎰⎰
得1
ET θ
=
=()g θ，所以1
ln i T x n
=-
∑是无偏估计量 令()c n θ= 由定理2.3.2知 T 是有效估计量，由221
()1()g DT c n n θθθθ
-
'=
==- 所以 C-R 方差下界为2
1
n θ.
20 设总体X 服从几何分布：1()(1),1,2,
k P X k p p k -==-=，对可估计函数1()g p p
=
，
则
1）求()g p 的有效估计量1(,,)n T X X ；
2）求()DT I p 和； 3）验证T 的相合性 .
解 1）因为似然函数11
1
(,)(1)(1)i n
x n nx n n i L p x x p p p p --==-=-∏
ln ln ()ln(1)L n p nx n p =+--
()1ln ()111d n nx n n n L x x g p dp p p p p p
⎛⎫-=-=--=-- ⎪---⎝⎭ 所以取统计量T X = . 又因为 1
1
1
1
1(1p)
(1p)
n
n
k k k
k k k d EX EX kp p k p q dq
∞
--=====
-=-=∑∑∑
20111n k k d d p p q p dq dq p p p
=====
-∑
所以T X =是()g p 的无偏估计量，取()1n
c p p
=--，由定理2.3.2得到，T X =是有效估计量
2）
22
2()()1()1(),(1p ()0,(n c p g p g p p
I p DT n p c p np DX q DX n np ''-=
===-==→→∞））
所以 T X =是相合估计量 .
21 设总体X 具有如下密度函数，
ln ,01(;)110,
x x f x θθθθθ<<=>-⎧⎪
⎨⎪⎩，其它
1,...,n X X 是来自于总体X
的样本，是否存在可估计函数()g θ以及与之对应的有效估计量ˆ()g
θ？如果存在()g θ和ˆ()g
θ，请具体找出，若不存在，请说明为什么 . 解 因为似然函数1
1
ln ln (,),11i n
n
x nx
n i L x x θθθθθθθ=⎛⎫== ⎪--⎝⎭∏
()()()ln ln ln ln 1ln L n nx θθθ=--+
()ln 1ln ,ln 11ln d n n nx L x d n θθθθθθθθθθθ⎛⎫-+=-+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
所以令 ()()ˆ()ln 1
,1ln g
g X θθθθθθθ
-+=
=- ()()1
1
1
2000ln ln ln ln 1,111ln 1ln ln x x x x
x x EX EX dx x dx θθθθθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫-+====-= ⎪ ⎪----⎝
⎭⎰⎰ 所以ˆ()g X θ=是()g θ的无偏估计量，取()c n
θ
θ=-
，由定理2.3.2得到，ˆ()g
X θ=是()g θ有效估计量
所以：ˆ()g
X θ=是()g θ有效估计量.
22 设1,...,n X X 是来自于总体X 的样本，总体X 的概率分布为：
||1||
(,)()(1)
,1,0,1,012
x x f x x θ
θθθ-=-=-≤≤
1） 求参数θ的极大似然估计量ˆθ
； 2） 试问极大似然估计ˆθ是否是有效估计量？如果是，请求它的方差ˆD θ和信息量()I θ； 3） 试问ˆθ
是否是相合估计量？ 解 1）
()()
111(,)1122ln ln (n )ln(1)
i
i
i i
x x n
x n x n i i i L x x L x x θθθθθθθ--
=∑⎛⎫⎛⎫
∑=-=- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭=+--∏∑∑
n 1ln 01(1)n xi xi d n L xi d θθθθθθ-⎛⎫=-=-= ⎪--⎝⎭
∑∑∑
得到θ最大似然估计量1
ˆxi n
θ
=∑ 2）
()()1
1
0011,10122E xi E xi E xi n n θθθθθ⎛⎫⎛⎫
==-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑
所以11
E
xi E xi n n
θ==∑∑ 所以ˆθ
是无偏估计量，()(1)n c θθθ=-，由定理2.3.2得到1ˆxi n
θ=∑是θ有效估计
量
信息量c()1
()(1)
I n θθθθ=
=-
3）
1(1)ˆD 0,(n )c()n
θθθ
θ-==→→∞ 所以，T 也是相合估计量 .
23 设样本1234,,,X X X X 来自总体(,1)N μ，并且μ的区间估计为(1,1)X X -+，问以多大的概率推断参数μ取值于此区间 .
解 设以概率1p α=-推断参数μ取值于(1,1)X X -+，在已知方差为1条件下，推断参数μ
μ的置信度为1α-的置信区间为
112
2
(X u
X u
αα-
-
-+
所以
12
1u
α-
=，12
2u
α-
=，得到0.0456α=
10.9544p α=-=
即以概率0.9544p =推断参数μ取值于(1,1)X X -+.
24 从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度(单位：cm)为：
2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15， 2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11
设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值μ的90%置信区间，
1）若已知σ=0.01cm ； 2）若σ未知；
解 因为 2.125,16,0.171,X n s ===()0.950.9510.95, 1.65,15 1.7532
t α
μ===-
1） 计算
0.95
0.952.1209, 2.1291X b a X αμμ-===+==
所以 置信区间为[]1.1212.129，
2） 计算
(
(
0.950.9515 2.1175,15 2.1325X t b X t α-==+== 所以 置信区间为[]2.1152.135，.
25 测量铝的密度16次，测得 2.7050.029,,x s ==试求铝的比重的0.95的置信区间(假设铝的比重服从正态分布) .
解 这是正态分布下，方差未知，对于均值的区间估计：
因为()0.952.7050.975,15 2.1312
X t α
α===，n=16,s=0.029,=0.05,1-
计算 (
(
0.9750.97515 2.6896,15 2.7204X t b X t α-==+== 所以 置信区间为
[]2.68952.7025，.
26 在方差2σ已知的正态总体下，问抽取容量n 为多大的样本，才能使总体均值μ的置信度为1α-的置信区间长度不大于l ？
解 均值μ的置信度为1α-
的置信区间为112
2
(X u
X u
αα-
-
-+
要使12
12
22l l
α
α
μ
σ
μ
-
-
≤⇒≥
即 2
2
2124n l ασμ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.
27 从正态总体(3.4,36)N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ 解
(1.4 5.4)0.950.95P X P ≤≤≥⇒≤
≤
≥
210.95 5.88,34.57n ⇒Φ-≥⇒≥，所以,35n ≥.
28假设0.5, 1.25, 0.8, 2.0是总体X 的简单随机样本值 .已知ln ~(,1)Y X N a = . 1） 求参数a 的置信度为0.95的置信区间； 2） 求EX 的置信度为0.95的置信区间 .
解 1） ln Y X =服从(,1)N μ正态分布，按照正态分布均值μ的区间估计，其置信区间
为12
Y u
α
-
± ，由题意，从总体X 中抽取的四个样本为：
12ln 0.50.69314718,ln1.250.22314355y y ==-==
34ln 0.80.22314355,ln 20.69314718y y ==-==
其中，0.9754,1, 1.96,0n u Y σ====，代入公式，得到置信区间为(0.98,0.98)- 2）
2
()
0.52y Y y
EX Ee e e dy e μμ--
+∞
+-∞
===⎰，由1）知道μ的置信区间为(0.98,0.98)-，所以EX 置信区间为0.980.5
0.980.50.48 1.48(,)(,)e
e e e -+-+-=.
29 随机地从A 批导线中抽取4根，并从B 批导线中抽取5根，测得其电阻(Ω)为：
A 批导线：0.143，0.142，0.143，0.137
B 批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140
设测试数据分别服从2
1(,)N μσ和2
2(,)N μσ，并且它们相互独立，又2
12
,,μμσ均未知，求参
数12μμ-的置信度为95%的置信区间 .
解 由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计：
置信区间为1212
2
1(2)X Y t
n n S n α-
-±+- 计算得
262
6A B 120.14125,0.1392,8.25*10, 5.2*10,4,5,0.05
x y S S n n α--======= 26
W W 0.9756.5710,0.00255,(7) 2.365,0.0022,0.0063S S t a b -====-=
所以[0.0022,0.0063]-.
30 有两位化验员A 、B ，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了10次测定，其测定值的方差2
s 依次为0.5419和0.6065，设2
A σ与2
B σ分别为A 、B 所测量数据的总
体的方差(正态总体)，求方差比2A σ/2
B σ的置信度为95%的置信区间 . 解 由题意，这是两正太总体方差比的区间估计：。