2020-2021学年江西省赣州市高二下学期期末考试数学(文)试卷及解析

2020-2021学年江西省赣州市高二下学期期末考试
数学（文）试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．设z＝，则在复平面内z对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：z＝＝＝＝+i
则在复平面内z对应的点位于第一象限，
故选：A．
2．设集合P＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，，则P∩Q＝（）A．[2，3] B．[0，3] C．[3，+∞）D．∅
解：∵集合P＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
＝{y|y≥0}，
∴P∩Q＝{x|0≤x≤3}＝[0，3]．
故选：B．
3．命题“∀x＞1，”的否定是（）
A．∀x≤1，B．∀x＞1，
C．∃x≤1，D．∃x＞1，
解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，则命题“∀x＞1，”的否定是“∃x＞1，”．
故选：D．
4．“|x﹣1|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：∵|x﹣1|＜2，∴﹣2＜x﹣1＜2，∴﹣1＜x＜3，
∵x2﹣x﹣6＜0，∴﹣2＜x＜3，
∵（﹣1，3）⊊（﹣2，3），
∴|x﹣1|＜2是x2﹣x﹣6＜0的充分不必要条件，
故选：A．
5．已知a＝log30.6，b＝30.1，c＝ln2，则（）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
解：因为a＝log30.6＜log31＝0，b＝30.1＞30＝1，0＝ln1＜c＝ln2＜lne＝1，
所以a＜c＜b．
故选：B．
6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b 分别为6、2，则输出的n＝（）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：当n＝1时，a＝9，b＝4，满足进行循环的条件，
当n＝2时，a＝，b＝8，满足进行循环的条件，
当n＝3时，a＝，b＝16，满足进行循环的条件，
当n＝4时，a＝，b＝32，不满足进行循环的条件，
故输出的n的值为4．
故选：B．
7．甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p、、，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为，则p等于（）A．B．C．D．
解：甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，
甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p、、，
∵三人中有人达标但没有全部达标的概率为，
∴1﹣（1﹣p）×（1﹣）×（1﹣）﹣p×＝，
解得p＝．
故选：C．
8．已知关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，由表可得线性回归方程，若规定当维修费用y＞10时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用年限的最大值为（）
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
A．7 B．8 C．9 D．10
解：由表中的数据可得：
，，
将样本中心点代入到回归方程可得，，解得，
故回归方程为＝1.23x+0.08，
当＝1.23x+0.08＞10，解得x＞8.065，
则该设备在第9年时，维修费用已经超过10，故最大使用年限为8年．
故选：B．
9．函数y＝ln|x|+cos x的大致图象是（）
A．B．
C．D．
解：根据题意，设f（x）＝ln|x|+cos x，其定义域为{x|x≠0}，
则f（﹣x）＝ln|x|+cos x＝f（x），y＝ln|x|+cos x为偶函数，排除BD，
在区间（e，+∞）上，lnx＞1，﹣1≤cos x≤1，则f（x）＞0，排除A，
故选：C．
10．函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝1处有极小值，则实数c为（）
A．3 B．1 C．1或3 D．﹣1
解：∵函数f（x）＝x（x﹣c）2＝x3﹣2cx2+c2x，
∴f′（x）＝3x2﹣4cx+c2，
∵函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝1处有极小值，
∴f′（1）＝3﹣4c+c2＝0，
解得c＝1或c＝3，
当c＝1时，f′（x）＝3x2﹣4x+1，
由f′（x）＞0，得x＜或x＞1；由f′（x）＜0，得．
∴增区间是（﹣∞，），（1，+∞），减区间是（，1），
当x＝1时，f（x）取极小值，故c＝1成立；
当c＝3时，f′（x）＝3x2﹣12x+9，
由f′（x）＞0，得x＜1或x＞3；由f′（x）＜0，得1＜x＜3．
∴增区间是（﹣∞，1），（3，+∞），减区间是（1，3），
当x＝1时，f（x）取极大值，故c＝3不成立．
综上：实数c为1．
故选：B．
11．已知f（x）是定义在R上周期为2的函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2．若关于x的
函数g（x）＝f（x）+log a x有唯一零点，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．（1，2）D．
解：由f（x）是定义在R上周期为2的函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，
作出函数f（x）的图象如图所示，
因为函数g（x）＝f（x）+log a x有唯一零点，即方程﹣log a x＝f（x）有唯一的根，
所函数y＝f（x）与函数的图象仅有一个交点，
当，即a＞1时，由图象可知，符合题意；
当，即0＜a＜1时，函数的图象恒过定点（1，0），
要使得函数y＝f（x）与函数的图象仅有一个交点，
则有，解得．
综上所述，实数a的取值范围为．
故选：D．
12．已知e为自然对数的底数，f（x）是可导函数．对于任意的x∈R，f′（x）﹣f（x）＜0恒成立且f（0）＝1，则（）
A．f（2）＞e2，f（2021）＜e2020f（1）
B．f（2）＜e2，f（2021）＞e2020f（1）
C．f（2）＞e2，f（2021）＞e2020f（1）
D．f（2）＜e2，f（2021）＜e2020f（1）
解：设h（x）＝，则h′（x）＝＜0，
即h（x）在R上是减函数，而f（0）＝1，故h（0）＝f（0）＝1，
则h（2）＜h（0），h（2021）＜h（1），
则＜，＜，
则f（2）＜e2，f（2021）＜e2020f（1），
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．函数f（x）＝（x﹣4）e x在x＝0处的切线方程为3x+y+4＝0 ．解：由f（x）＝（x﹣4）e x，得f′（x）＝e x+（x﹣4）e x＝（x﹣3）e x，
∴f′（0）＝（0﹣3）e0＝﹣3，
又f（0）＝（0﹣4）e0＝﹣4，
∴函数f（x）＝（x﹣4）e x在x＝0处的切线方程为y+4＝﹣3（x﹣0），
即3x+y+4＝0．
故答案为：3x+y+4＝0．
14．已知x，y是[0，2]上的两个随机数，则x，y满足的概率为．解：满足条件的x，y构成的点（x，y）在正方形OABC内及边界上，其面积为4，
满足的x，y构成的点（x，y）在正方形中除去以原点为圆心，为半径的圆的部分，
其面积为，
所以x，y满足的概率为＝．
故答案为：．
15．已知函数f（x）＝xe x，则函数f（x）的最小值为．
解：∵f（x）＝xe x，
∴f'（x）＝（1+x）e x，
令f'（x）＞0，解得x＞﹣1，f'（x）＜0，解得x＜﹣1，
故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，
∴故f（x）在x＝﹣1时，取得极小值，也为最小值，
∴．
故答案为：．
16．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线x+y﹣4＝0上的动点，则|MA|+|MB|的最小值为 4 ．
解：设点A（a，0），B（0，b），则a²+b²＝9，点B关于直线x+y﹣4＝0的对称点为B'（x1，y1），
则，解得，
所以要使|MA|+|MB|最短，则需|AB'|最短，
而|AB'|＝＝，
又a²+b²＝9，设a＝3cosθ，b＝3sinθ，
所以a+b＝3sinθ+3cosθ＝3sin（θ+），
所以﹣3≤a+b≤3，
所以当a+b＝4时（满足﹣3≤a+b≤3），|AB|取得最小值，
最小值为|AB'|＝＝4，
所以|MA|+|MB|的最小值为4，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．已知k∈R，设p：∀x∈[1，2]，（k+1）x﹣2＞0恒成立，命题q：∀x∈R，使得x2+kx+1≥0．
（1）若p∧q是真命题，求k的取值范围；
（2）若p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，求k的取值范围．
【解答】（1）若p为真，即p：∀x∈[1，2]，（k+1）x﹣2＞0恒成立，
可得，解得k＞1．
若q为真，即q：∀x∈R，使得x2+kx+1≥0，
则△＝k2﹣4≤0，解得﹣2≤k≤2，
若p∧q是真命题，则p，q为真，可得，所以1＜k≤2，
所以k的取值范围（1，2]．
（2）因为p∧（¬q）为假，p∨（¬q）为真，所以p，（¬q）一真一假，
即p，q同真同假，
当p，q都真时，由（1）知1＜k≤2，
当p，q都假时，即k＜﹣2，
综上可得1＜k≤2或k＜﹣2，故a的范围为{k|1＜k≤2或k＜﹣2}．
18．我国武汉在2019年的12月份开始出现不明原因的肺炎，在2020年的2月份命名为新型冠状病毒肺炎，新型冠状病毒传染性较强．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如表格：
[0，2] （2，4] （4，6] （6，8] （8，10] （10，12] （12，14] 潜伏期
（单位：天）
人数17 41 62 50 26 3 1 （1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数；
（2）该新冠病毒的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计
50岁以上（含50岁）20 50岁以下9
总计40 （3）以（2）中40名患者的潜伏期≤6天的频率代替该地区1名患者的潜伏期≤6天的概率，每名患者的潜伏期是否≤6天相互独立，从这40名患者中按潜伏期时间分层抽样抽出5人，再从这5人中随机挑选出2人，求至少有1人是潜伏期大于6天的概率．
附：
P（K2≥k
）0.05 0.025 0.010
k
3.841 5.024 6.635
，其中n＝a+b+c+d．
解：（1）＝5.4（天）；
（2）用分层抽样，应该抽到潜伏期≤6天的人数为，
根据题意，补充完整的列联表如下：
潜伏期小于或等于6天潜伏期大于6天总计
50岁以上（含50岁）15 5 20 50岁以下9 11 20 总计24 16 40 则，
经查表，得K2＝3.75＜3.841，
所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
（3）因为，
所以由分层抽样可知，5人中有潜伏期小于或等于6天的3人，潜伏期40大于6天的2人，潜伏期大于6天的2人记为A、B，潜伏期小于或等于6天的3人记为a，b，c，
从这5人中抽取2人的情况分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共有10种，其中至少有一人是潜伏期大于6天的种数是7种，分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，故至少有1人是潜伏期大于6天的概率是．
19．已知函数f（x）＝mx2﹣2mx+n（m＞0）在区间上有最大值3和最小值﹣1．（1）求实数m，n的值；
（2）设，若不等式h（5x）﹣k•5x≥0在x∈[﹣1，0）上恒成立，求实数k的取值范围．
解：（1）因为f（x）＝mx2﹣2mx+n的对称轴是x＝1，又因为m＞0，
所以f（x）在上单调递减，在[1，3]上单调递增，
所以当x＝1时，f（x）取最小值﹣1，当x＝3时，f（x）取最大值3，
即，解得；
（2）因为，
所以h（5x）﹣k⋅5x＝5x﹣2﹣k⋅5x≥0，所以（1﹣k）⋅5x﹣2≥0，
所以，
令，则g（x）在[﹣1，0）上是增函数．
故g（x）min＝g（﹣1）＝﹣9，
所以h（5x）﹣k•5x≥0在x∈[﹣1，0）上恒成立时，
可得k≤﹣9，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣9]．
20．在极坐标系xOy中，已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝7．以坐标原点为极点，极轴为x轴正半轴建立直角标系．
（1）求曲线C1，C2，的直角坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．
解：（1）线C1的极坐标方程为，由转换为直角坐标方程为：
x+y＝4；
曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝7．根据，转换为直角坐标方程为：＝1．
（2）射线与曲线C1交于点M，
所以解得：，
射线与曲线C2交于点N，
联立解得：；
故S△MON＝．
21．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣2|（x∈R），记f（x）的最小值为m．（1）求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若实数a、b满足a＞0，b＞0，a+b＝m，求的最小值．
解：（1）函数，
所以，原不等式等价于：或，
解得：x＜﹣1或x＝﹣1或，
综上所述：原不等式的解集为：．
（2）f（x）＝|x+1|+|2x﹣2|＝|x+1|+|x﹣1|+|x﹣1|，f（x）表示数轴上的点到数轴上﹣1，1，1对应点的距离之和．
所以f（x）min＝f（1）＝2，
因为a+b＝2，所以＝
，
当且仅当，即a＝1，b＝1时，有最小值1．
22．已知函数f（x）＝．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知函数F（x）＝f（x）﹣ax+（a∈R），若x0是F（x）的极大值点，求F（x0）的取值范围．
解：（1）记f（x）＝（﹣x2+x+5）e﹣x，定义域为R，
则f′（x）＝（x+1）（x﹣4）e﹣x，
由f′（x）＞0得增区间（﹣∞，﹣1）和（4，+∞），f′（x）＜0得减区间（﹣1，4），所以f（x）在区间（﹣1，4）上单调递减，在（﹣∞，﹣1）和（4，+∞）上单调递增．（2）由题意知F（x）＝f（x）﹣ax+（2x2﹣9）e﹣x＝（x2+x﹣4）e﹣x﹣ax，
所以F′（x）＝（﹣x2+x+5）e﹣x﹣a，
而f（x）＝（﹣x2+x+5）e﹣x在区间（﹣1，4）上单调递减，
若x0是F（x）的极大值点，则﹣1＜x0＜4，且，
所以，
记h（x）＝（x3﹣4x﹣4）e﹣x，则h′（x）＝﹣xe﹣x（x+1）⋅（x﹣4），
所以h（x）在区间（﹣1，0）上单调递减，在区间（0，4）上单调递增，
且h（0）＝﹣4，h（﹣1）＝﹣e，，
所以当x∈（﹣1，4）时，，所以，
即F（x0）的取值范围为．。