高考数学课时作业49 文(含解析)北师大版

高考数学课时作业49 文（含解析）北师大版
一、选择题
1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( ) A．1 B．2
C．4 D．8
解析：y2＝8x的焦点到准线的距离为p＝4，选C.
答案：C
2．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( ) A．4 3 B．8
C．8 3 D．16
解析：如图，由直线AF的斜率为－3，得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，∴∠PAF＝60°.又由抛物线的定义知|PA|＝|PF|，∴△PAF为等边三角形，由|HF|＝4得|AF|＝8，∴|PF|＝8.
答案：B
3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有
( ) A．1条B．2条
C．3条D．4条
解析：满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)，选C.
答案：C
4．(2012年洛阳二模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线与该抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是( ) A．4 B．8
C．12 D．16
解析：抛物线的准线方程为x＝－1，∴|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∴y21＋y22＝4x1＋4x2＝4(|AF|＋|BF|)－8＝4|AB|－8.
∵|AB |的最小值为4(当AB ⊥x 轴时取得)， ∴y 2
1＋y 2
2的最小值为8. 答案：B
5．设抛物线y 2
＝x 的焦点为F ，点M 在抛物线上，延长线段MF 与直线x ＝－14交于点N (F
在线段MN 上)，则1|MF |＋1
|NF |
的值为
( )
A.14
B.12 C ．2
D ．4
解析：易见直线x ＝－14是抛物线的准线，抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0. 据题意，不妨设点M 的坐标为(m ，m )，其中m >1
4，如图．
则据抛物线的定义有：|MF |＝m ＋14＝4m ＋1
4.
∵直线MF 的方程为y ＝
m m －
14
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －14，
∴把x ＝－14代入得点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
4，－2m 4m －1，
∴|NF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 4m －12＝4m ＋124m －1
. ∴
1
|MF |＋1|NF |＝44m ＋1＋8m －24m ＋1＝8m ＋24m ＋1
＝2. 答案：C
6．已知△ABC 的三个顶点都在抛物线y 2
＝2x 上，抛物线的焦点为F ，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，且点B 的横坐标为2
3
，则边AC 的垂直平分线必过点
( )
A ．(1,0)
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，0
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，0 D ．(2,0)
解析：设A (
x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，而F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0，由题意得2|BF |＝|AF |·|CF |. 根据抛物线的定义得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12＝⎝
⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12，即x 1＋x 2＝43， 易知x 1≠x 2，否则x 1＝x 2＝2
3，此时点B 与点A 或点C 重合，与A 、B 、C 构成三角形相矛
盾．
∴线段AC 的斜率为
y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 212－y 222＝2y 1＋y 2，则AC 的垂直平分线的方程为y －y 1＋y 2
2
＝－y 1＋y 22
⎝
⎛
⎭
⎪⎫x －x 1＋x 22
，即y －
y 1＋y 22
＝－y 1＋y 22
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －23，令y ＝0， 解得x ＝53，即线段AC 的垂直平分线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，故选C.
答案：C 二、填空题
7．已知过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.
解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1,0)，|AF |＝x 1＋1＝2，
x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，此时弦AB 为抛物线的通径，故|BF |＝|AB |＝2.
答案：2
8．(2012年太原二模)已知抛物线y 2
＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．
解析：设抛物线的焦点为F ，A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝4. ∵抛物线的准线方程为x ＝－1， ∴|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， ∴|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝6.
∵|AF |＋|BF |≥|AB |(当且仅当A 、B 、F 共线时取“＝”)，如图所示． ∴|AB |≤6，∴|AB |的最大值为6.
答案：6
9．(2012年北京)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2
＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．
解析：抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1. 设|AF |＝2m ，如图，∵l 的倾斜角为60°， ∴点A 的横坐标为x A ＝1＋2m ·cos60°＝1＋m ， 点A 的纵坐标为y A ＝2m ·sin60°＝3m . 把A 的坐标代入抛物线的方程得：3m 2
＝4(1＋m )， 即3m 2
－4m －4＝0，∴m ＝2(舍去m ＝－23)．
∴S △AOF ＝12×|OF |×y A ＝1
2×1×23＝ 3.
答案： 3 三、解答题
10．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y ＝2x ，求抛物线的方程．
解：因为一直角边的方程是y ＝2x ， 所以另一直角边的方程是y ＝－1
2
x .
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ，y 2
＝2px 解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝p 2
，
y ＝p
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝0(舍去)；
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－12x ，
y 2＝2px
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝8p ，
y ＝－4p
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝0
(舍去)，
∴三角形的另两个顶点为(p
2
，p )和(8p ，－4p )．
∴
p
2
－8p
2
＋p ＋4p
2
＝213.
解得p ＝45，故所求抛物线的方程为y 2
＝85
x .
11．已知抛物线方程x 2
＝4y ，过点P (t ，－4)作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点分别为
A 、
B .
(1)求证：直线AB 过定点(0,4)；
(2)求△OAB (O 为坐标原点)面积的最小值． 解：(1)证明：设切点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 又y ′＝1
2
x ，
则切线PA 的方程为y －y 1＝1
2x 1(x －x 1)，
即y ＝1
2
x 1x －y 1，
切线PB 的方程为y －y 2＝1
2x 2(x －x 2)，
即y ＝1
2
x 2x －y 2，
由点P (t ，－4)是切线PA ，PB 的交点可知： －4＝12x 1t －y 1，－4＝1
2
x 2t －y 2，
∴过A 、B 两点的直线方程为－4＝1
2tx －y ，
即1
2
tx －y ＋4＝0. ∴直线AB ：1
2tx －y ＋4＝0过定点(0,4)．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
12
tx －y ＋4＝0，
x 2＝4y
得x 2
－2tx －16＝0.
则x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－16.
S △OAB ＝12
×4×|x 1－x 2|
＝2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝24t 2
＋64≥16.
当且仅当t ＝0时，△OAB 的面积取得最小值16.
12．(2012年山东)在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2
＝2py (p >0)的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线
C 的准线的距离为3
4
.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点M 的横坐标为2，直线l ：y ＝kx ＋1
4与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与
圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当12
≤k ≤2时，|AB |2＋|DE |2
的最小值．
解：(1)依题意知F ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
0，p 2，圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y ＝p
4上，
因为抛物线C 的准线方程为y ＝－p 2，所以3p 4＝3
4
，即p ＝1，
因此抛物线C 的方程为x 2
＝2y .
(2)假设存在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 2
02(x 0>0)满足条件，抛物线C 在点M 处的切线斜率为y ′|x ＝x 0
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2
2′|x ＝x 0＝x 0.
所以直线MQ 的方程为y －x 20
2＝x 0(x －x 0)，
令y ＝14得x Q ＝x 02＋14x 0
，
所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02＋14x 0，14.又|QM |＝|OQ |， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0－x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2
022＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋x 022＋116， 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2
022＝9
16
，又x 0>0，
所以x 0＝2，此时M (2，1)．
故存在点M (2，1)，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M . (3)当x 0＝2时，由(2)得Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
528，14. ⊙Q 的半径为r ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫5282＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫142＝368， 所以⊙Q 的方程为⎝
⎛⎭⎪⎫x －5282＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －142＝27
32.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝12x 2
，y ＝kx ＋1
4
，整理得2x 2
－4kx －1＝0.
设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由于Δ1＝16k 2
＋8>0，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－12
，
所以|AB |2
＝(1＋k 2
)[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2]＝(1＋k 2
)(4k 2
＋2)．
由⎩⎪⎨
⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5282
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －142
＝2732，y ＝kx ＋1
4
，
整理得(1＋k 2)x 2
－524x －116
＝0.
设D ，E 两点的坐标分别为(x 3，y 3)，(x 4，y 4)． 由于Δ2＝k 24＋27
8>0，x 3＋x 4＝
52
4
1＋k
2
， x 3x 4＝－
1
161＋k
2
， 所以|DE |2＝(1＋k 2)[(x 3＋x 4)2
－4x 3x 4]＝
2581＋k 2
＋1
4
. 因此|AB |2
＋|DE |2
＝(1＋k 2
)(4k 2
＋2)＋
2581＋k 2
＋1
4
. 令1＋k 2
＝t ，由于12≤k ≤2，则54
≤t ≤5.
所以|AB |2＋|DE |2＝t (4t －2)＋258t ＋14＝4t 2
－2t ＋258t ＋14，
设g (t )＝4t 2
－2t ＋258t ＋14，t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤54，5，
因为g ′(t )＝8t －2－258t 2，所以当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，5，g ′(t )≥g ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫54＝6， 即函数g (t )在t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤54，5是增函数， 所以当t ＝54时g (t )取到最小值13
2，
因此当k ＝12时，|AB |2＋|DE |2
取到最小值132.
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13．已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2
＝16x 的焦点
相同，则双曲线的渐近线方程为
( )
A ．y ＝±3
2x
B ．y ＝±
32
x C ．y ＝±
3
3
x D ．y ＝±3x
解析：由题意可得，抛物线的焦点坐标为(4,0)，即c ＝4. 又∵e ＝c a
＝2，得a ＝2. ∴b ＝c 2
－a 2
＝16－4＝2 3.
∴b a ＝3，则双曲线渐近线方程为y ＝±b a
x ＝±3x . 答案：D
14．如图，设斜率为2的直线l 过抛物线y 2
＝ax (a >0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．
解析：易见抛物线的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
4，0， ∴l 的方程为y ＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x －a 4，
令x ＝0，得点A 的纵坐标为y ＝－a
2.
据题意：4＝S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×a 4×a
2，
∴a 2
＝64，
∴a ＝8，∴抛物线的方程为y 2
＝8x . 答案：y 2
＝8x
15．设动点P (x ，y )(y ≥0)到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程；
(2)设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦．试探究当M
运动时，|EG |是否为定值？为什么？
解：(1)依题意知，动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线y ＝－1的距离，
∴曲线C 是以原点为顶点、F (0,1)为焦点的抛物线， ∴曲线C 方程是x 2
＝4y .
(2)设圆的圆心为M (a ，b )．∵圆M 过A (0,2)， ∴圆的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝a 2
＋(b －2)2
. 令y ＝0，得x 2
－2ax ＋4b －4＝0.①
如图，设圆与x 轴的两交点分别为E (x 1,0)、G (x 2,0)，则x 1、x 2是方程①的两根． 不妨设x 1>x 2，由求根公式得x 1＝2a ＋4a 2
－16b ＋162，x 2＝2a －4a 2
－16b ＋16
2.
∴x 1－x 2＝4a 2
－16b ＋16. ∵点M (a ，b )在抛物线x 2
＝4y 上， ∴a 2
＝4b ，∴x 1－x 2＝16＝4，
即|EG |＝4，∴当M 运动时，弦长|EG |为定值4.。