2023年北京市北师大附中初三三模数学试卷及答案

2023北京北师大附中初三三模
数 学
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（ ） A.
B.
C.
D.
2. 2021年《中共中央国务院关于完整准确全面贯彻新发展理念做好碳达峰碳中和工作的意见》发布，明确了我国实现碳达峰碳中和的时间表、路线图．文件提出到2030年森林蓄积量达到190亿立方米．将19000000000用科学记数法表示应为（ ） A. 101910⨯
B. 101.910⨯
C. 110.1910⨯
D. 91.910⨯
3. 实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b 满足0a b +>，则b 的值可以是（ ）
A. －2
B. －1
C. 1
D. 2
4. 如图，点C ，D 在直线AB 上，OC OD ⊥，若120ACO ∠=，则∠BDO 的大小为（ ）
A. 120
B. 140
C. 150
D. 160
5. 若1a b +=，则代数式221a b b a b
⎛⎫
−⋅ ⎪−⎝⎭的值为（ ） A. 2−
B. 1−
C. 1
D. 2
6. 从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（ ） A.
14
B.
13
C. 1
2
D.
23
7. 学校图书馆的阅读角有一块半径为3m ，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（ ） A. 29m π
B. 26m π
C. 23m π
D. 2m π
8. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （单位：千帕）随气球内气体的体积V （单位：立方米）的变化而变化，P 随V 的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压P 与气球内气体的体积V 的函数关系最可能是
A. 正比例函数
B. 一次函数
C. 二次函数
D. 反比例函数
二、填空题（共16分，每题2分）
9. x 的取值范围是___________________．
10. 分解因式：222x 2y −= ______.
11. 正多边形一个外角的度数是60︒，则该正多边形的边数是______．
12. 若关于x 的一元二次方程2410x x m −+−=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是___． 13. 用一个a 的值说明命题“若0a >，则2
1
a a
>
”是错误的，这个值可以是=a ______． 14. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，70ABC ∠=，P A ，PC 是⊙O 的切线．∠P ＝___°．
15. 如图，在矩形ABCD 中，若1
3,5,
4
AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．
16. 如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a ～h 的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜．
（1）若甲首次取走写有b ，c ，d 的3个球，接着乙首次也取走3个球，则______（填“甲”或“乙”）一定获胜；
（2）若甲首次取走写有a ，b 的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是______．
三、解答题（共68分，第17－21题，每题5分，第22－24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分）
17. 1
12sin 4522−⎛⎫+−+ ⎪⎝⎭
．
18. 解分式方程：
312242
x x x −=−−． 19. 解不等式12
53
x x −−<
，并写出它的所有非负整数解． 20. 下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O ．
求作：⊙O 的内接正方形． 作法：① 作⊙O 的直径AB ；
② 分别以点A ，B 为圆心，大于1
2AB 同样长为半径作弧，两弧交于M ，N ； ③ 作直线MN 交⊙O 于点C ，D ； ④ 连接AC ，BC ，AD ，BD ．
∴ 四边形ACBD 就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．
证明：∵ MN 是AB 的 ，
∴ ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°．
∴ AC = BC = BD = AD ．（ ）（填推理依据） ∴ 四边形ACBD 是菱形． 又∵AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠ACB = 90°．（ ）（填推理依据） ∴ 四边形ACBD 是正方形．
21. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)k
y k x
=≠的图象经过点()13−，
． （1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当1x <−时，对于x 的每一个值，函数y x n =−+的值大于反比例函数(0)k
y k x
=≠的值，直接写出n 的取值范围．
22. 如图，在菱形ABCD 中，O 为AC ，BD 的交点，P ，M ，N 分别为CD ，OD ，OC 的中点．
（1）求证：四边形OMPN 是矩形；
（2）连接AP ，若4AB =，60BAD ∠=，求AP 的长．
23. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，OD AB ⊥交AC 于点E ，DE DC =．
（1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若4OA =，2OE =，求cos D ．
24. 2021年7月24日中共中央办公厅、国务院办公厅颁布了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，该意见对学生睡眠时间提出了新的要求．为了了解某校初二年级学生的睡眠时长，随机抽取了初二年级男生和女生各20位，对其同一天的睡眠时长进行调查，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了相关信息． a ．睡眠时长（单位：小时）：
c．睡眠时长的平均数、众数、中位数如下：
（1）补全男生睡眠时长频数分布直方图；
（2）直接写出表中m，n的值；
（3）根据抽样调查情况，可以推断（填“男生”或“女生”）睡眠情况比较好，理由
为．
25. 如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．
（1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
（2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度； （3）求起跳点A 距离地面的高度；
（4）在一次表演中，已知人梯到起跳点A 的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A 的水平距离才能成功？ 26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
261y ax m x =+−+经过点()1,24m −．
（1）求a 的值；
（2）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；
（3）点()1,m y −，()2,m y ，()32,m y +在抛物线上，若231y y y <≤，求m 的取值范围．
27. 在ABC 中，AB AC =，过点C 作射线CB '，使ACB ACB '∠=∠（点B '与点B 在直线AC 的异侧）点D 是射线CB '上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且90DAE ACD ∠+∠=︒．
（1）如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是________，若BC a =，则CD 的长为________；（用含a 的式子表示）
（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ． ①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段BE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．
28. 我们规定：如图，点H 在直线MN 上，点P 和点P '均在直线MN 的上方，如果HP HP '=，
PHM P HN '∠=∠，点P '就是点P 关于直线MN 的“反射点”，其中点H 为“V 点”，射线HP 与射
线HP '组成的图形为“V 形”．
在平面直角坐标系xOy 中，
（1）如果点(0,3)P ，(1.5,0)H ，那么点P 关于x 轴的反射点P '的坐标为 ； （2）已知点(0,)A a ，过点A 作平行于x 轴的直线l ．
①如果点(5,3)B 关于直线l 的反射点B '和“V 点”都在直线4y x =−+上，求点B '的坐标和a 的值； ②W 是以(3,2)为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线l 的反射点和“V 点”都在直线4y x =−+上，且形成的“V 形”恰好与W 有且只有两个交点，求a 的取值范围．
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 【答案】C
【详解】解：A ．是轴对称图形，故此选项不合题意； B ．是轴对称图形，故此选项不合题意； C ．不是轴对称图形，故此选项符合题意； D ．是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C ．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a ×10”的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n 是正整数；当原数的绝对值<1时，n 是负整数． 【详解】解：19000000000=101.910⨯． 故选：B ．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10”的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 3. 【答案】D
【分析】根据题意可得21a −<<−1a >，再由0a b +>，可得0b >，且1b a >>，从而得到1b a <−>，即可求解．
【详解】解∶根据题意得∶21a −<<−， ∴1a >， ∵0a b +>，
∴0b >，且1b a >>， ∴1b a >−>， ∴b 的值可以是2． 故选：D
【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定b 的取值范围． 4. 【答案】C
【分析】根据垂直的定义及三角形外角的性质求解即可得出结果 【详解】解：∵OC ⊥OD ， ∴∠O =90°，
∵∠ACO =∠O +∠ODC =120°， ∴∠ODC =30°， ∴∠BDO =150°， 故选：C ．
【点睛】题目主要考查垂直的定义及三角形外角的性质、邻补角的计算等，结合图形，找出各角之间的数量关系是解题关键． 5. 【答案】C
【分析】先将代数式进行化简，再将1a b +=代入化简之后的式子求解即可． 【详解】解：()()()2211a b a b b =b a b b a b a b a b −⎛⎫⎛⎫
−⋅⋅=
⎪ ⎪−−++⎝⎭⎝⎭
将1a b +=代入上式可得：原式1
=11
=， 故选：C ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是根据分式运算法则先将式子正确化简，再将1a b +=代入计算． 6. 【答案】B
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加,和有三种情况， 分别是3，4，5三种情况. 所以和为偶数的概率为13
， 故选：B ．
【点睛】本题主要考查的计算，解题的关键是掌握求等可能事件的的概率公式. 7. 【答案】C
【分析】代入扇形的面积公式直接进行计算即可．
【详解】解：钢板的面积22
212033360360
n R S m πππ⨯⨯===，
故选：C ．
【点睛】本题考查了扇形的面积，解答本题的关键是熟练记忆扇形的面积的计算公式及公式内字母表示的含义． 8. 【答案】D
【分析】根据96PV =结合反比例函数的定义判断即可． 【详解】由表格数据可得96PV =，即96
P V
=
， ∴气球内气体的气压P 与气球内气体的体积V 的函数关系最可能是反比例函数， 故选：D ．
【点睛】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 【答案】3
x≥−
【分析】根据被开方数是非负数列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，
30
x+≥，
∴3
x≥−．
故答案为∶3
x≥−．
)0
a≥的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．
10. 【答案】()()
2x y x y
+−
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【详解】2x2-2y2=2（x2-y2）=2（x+y）（x-y）．
故答案为2（x+y）（x-y）．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
11. 【答案】6
【分析】多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，再结合一个外角的度数为60︒，据此求解即可．
【详解】解：∵360606
÷=，
∴正多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握正多边形的外角和为360︒且每个内角都相等是解答本题的关键．
12. 【答案】m＜5
【分析】由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程2410
x x m
−+−=有两个不相等的实数根，
∴2
(4)41(1)>0
m
∆=−−⨯⨯−．
解得：m<5．
故答案为：m<5．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元一次不等式，熟悉一元二次方程的根的判别式与一元二次方程的实数根的情况的关系是本题的关键．
13. 【答案】
1
2
（答案不唯一）
【分析】根据有理数的乘方法则计算，判断即可．
【详解】解：当a =12时，a 2=14，12a =，而14
＜2， ∴命题“若a >0，则a 2>
1a ”是假命题， 故答案为：12
（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
14. 【答案】40
【分析】连接OC ，根据切线的性质可得∠OAP =∠OCP =90°，从而得到∠P +∠AOC =180°，再由圆周角定理可得∠AOC =2∠ABC =140°，即可求解．
【详解】解：如图，连接OC ，
∵P A ，PC 是⊙O 的切线．
∴∠OAP =∠OCP =90°，
∴∠P +∠AOC =180°，
∵70ABC ∠=，
∴∠AOC =2∠ABC =140°，
∴∠P =40°．
故答案为：40
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 15. 【答案】1
【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形ABCD 中， AD BC ∥ ，90ABC ∠=︒，
∴14
AE AF BC FC ==，4BC ===， ∴
144AE =， ∴1AE =，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
16. 【答案】①. 乙②. e，f．
【分析】（1）乙首次也取走3个球，但必须相邻，有两种取法，分类讨论即可判断；
（2）分乙取三个球和乙取二个球两种情况讨论，再在乙取二个球的情况下，再分乙取c，d，乙取d，e，乙取e，f，三种情况讨论；当乙取e，f时，再分三种情况讨论即可求解．
【详解】解：（1）∵甲首次取走写有b，c，d的3个球，
∴还剩下a，，e，f，g，h，
又∵乙首次也取走3个球，但必须相邻，
∴乙可以取e，f，g或f，g，h，
若乙取e，f，g，只剩下a，，h，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
同理，若乙取f，g，h，只剩下a，，e，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
枚答案为：乙；
（2）∵甲首次取走a，b二个球，还剩下c，d，e，f，g，h，
①若乙取三个球:
若乙取c，d，e或f，g，h，那么剩下的球是连着的，故若甲取走剩下的三个，则甲胜；
若乙取d，e，f，此时甲取g，则c，h，不相邻，则甲胜；
若乙取e，f，g，此时甲取d，则c，h，不相邻，则甲胜；
②若乙取二个球:
若乙取c，d，此时甲取f，g，那么剩下e，h，不相邻，则甲胜；
若乙取d，e，此时甲取f，g，则c，h，不相邻，则甲胜；
若乙取e，f，
此时甲取c，d或g，h，则乙胜；
若甲取c或d，那么乙取g或h，则乙胜；
若甲取g或h，那么乙取c或d，那么剩下2个球不相邻，则乙胜；
因此，乙一定要获胜，那么它首次取e，f，
故答案为：e，f．
【点睛】本题考查了逻辑推理，关键是明确最后一个将球取完的人获胜．
三、解答题（共68分，第17－21题，每题5分，第22－24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分）
17. 【答案】
【分析】分别根据二次根式的性质，45°角的三角函数值，负整数指数幂及绝对值的性质进行化简，最后再由二次根式的运算法则合并即可．
【详解】解：原式2222
=⨯−+
=．
故答案为：
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握二次根式的性质，45°角的三角函数值，负整数指数幂定义及绝对值的性质是解题的关键．
18. 【答案】1x =
【分析】首先两边同时乘以2（x -2），去分母，再解整式方程，最后检验即可．
【详解】解：两边同时乘以2（x -2），去分母得：
2x -3=x -2，
解得x =1，
检验：把x =1代入2（x -2），得-2≠0，
分式方程的解为x =1．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是解答本题的关键．
19. 【答案】32
x <，不等式的所有非负整数解为0，1 【分析】去分母，移项、合并同类项，系数化为1即可，根据不等式的解集即可求得所有非负整数解．
【详解】解：()3512x x −<−，
31512x x −<−，
23x <，
32
x <． ∴原不等式的所有非负整数解为0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式及求其非负整数解，正确求解不等式是解题的关键．
20. 【答案】（1）见解析 （2）垂直平分线；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；直径所对的圆周角是90°
【分析】（1）根据题目要求进行作图即可得到答案；
（2）根据题意可知MN ⊥AB 则∠AOC =∠COB =∠BOD =∠DOA =90°，由圆心角与弦之间的关系可得AC =BC =BD =AD 即可证明四边形ACBD 是菱形，再由直径所对的圆心角是90度即可证明四边形ACBD 是正方形．
【小问1详解】
解：如下图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵ MN 是AB 的垂直平分线，
∴ ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°．
∴ AC = BC = BD = AD ．（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
∴ 四边形ACBD 是菱形．
又∵AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠ACB = 90°．（直径所对的圆周角是90°），
∴ 四边形ACBD 是正方形．
故答案为：垂直平分线；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；直径所对的圆周角是90°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—线段垂直平分线，直径所对的圆周角是90°，菱形的判定，正方形的判定，圆心角与弦直径的关系等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21. 【答案】（1）这个反比例函数的解析式为3y x
=−
； （2）2n ≥．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得直线经过点()13−，
时的解析式，求得此时直线与y 轴的交点，利用数形结合思想即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数(0)k y k x =
≠的图象经过点()13−，， ∴133k =−⨯=−， ∴这个反比例函数的解析式为3y x
=−
； 【小问2详解】
解：当=1x −时，()13y n =−−+=，
∴2n =，
∵当1x <−时，对于x 的每一个值，函数y x n =−+的值大于反比例函数(0)k y k x
=
≠的值， ∴2n ≥． 【点睛】本题考查了一次函数图象与反比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
22. 【答案】（1）见解析 （2）AP =
【分析】（1）由三角形中位线定理可得四边形OMPN 是平行四边形，再由菱形的性质即可证得结论； （2）由菱形的性质及已知可得△ABD 是等边三角形，进而可得OA 的长度，由中位线的性质可得PN 及ON ，从而可得AN ，由矩形的性质及勾股定理即可求得AP 的长．
【小问1详解】
∵P ，M ，N 分别为CD ，OD ，OC 的中点．
∴//PM OC ，//PN OD ．
∴四边形OMPN 是平行四边形．
∵在菱形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，
∴90COD ∠=．
∴四边形ONPN 是矩形．
【小问2详解】
∵四边形OMPN 是矩形，
∴90PNO ∠=．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴OA OC =，OB OD =，AC 平分∠BAD ．
∵4AB AD ==，60BAD ∠=，
∴△ABD 是等边三角形．
∴BD =4．
∴2OB OD ==，由勾股定理得：OC OA ==．
∴1PN =，ON =．
∴AN =．
∴在Rt PAN △中,由勾股定理得:AP ===
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，涉及的知识点较多，灵活运用它们是解题的关键．
23. 【答案】（1）见解析 （2）35
【分析】（1）连接OC ．证∠OCD =90°，即可得出结论； （2）先求出4OC =．再同由勾股定理求出DC =3，OD =5，最后由余弦定义cos DC D OD =
求解． 【小问1详解】
证明：如图，连接OC ．
∵OD AB ⊥交AC 于点E ，
∴90AOD ∠=,
∴90A AEO ∠+∠=．
∵AEO DEC ∠=∠，
∴90A DEC ∠+∠=．
∵DE DC =，
∴DEC DCE ∠=∠,
∵OA OC =，
∴A ACO ∠=∠，
∴∠OCD =90ACO DCE ∠+∠=，
∴DC OC ⊥，
∴DC 是⊙O 的切线，
【小问2详解】
解：∵90OCD =∠，
∴222DC OC OD +=，
∵4OA =，
∴4OC =．
设DC x =，
∵2OE =，
∴()22242x x +=+．
解得3x =，
∴3DC =，5OD =．
∴在Rt △OCD 中，3cos 5
DC D OD ==． 【点睛】本师考查切线的判定，解直角三角形，掌握切线的判定定理是解题的关键．
24. 【答案】（1）补全男生睡眠时长频数分布直方图见解析 （2）9.2，9
（3）男生；男生和女生男生睡眠时长的平均数相等，而中位数和众数都大于女生
【分析】（1）先求出男生睡眠时间：89x ≤<组的人数，依此补全男生睡眠时长频数分布直方图即可； （2）根据众数和中位数的定义，结合频数分布直方图，分别列式计算即可；
（3）根据频数分布直方图的数据集中区间进行平均数大小估计即可解答．
【小问1详解】
解：男生睡眠时间：89x ≤<的人数有：()2014123−++=，
补全男生睡眠时长频数分布直方图如下：
【小问2详解】
解：∵男生睡眠时长从小到大排序为：5.5，7.5，7.7，7.7，7.9，8.5，8.6，8.7，9，9.2，9.2，9.2，9.3，
9.4，9.6，9.6，9.8，9.8，9.9，9.9，
∵9.2出现3次，出现的次数最多，
∴男生睡眠时长的众数为：9.2， 男生睡眠时长的中位数为：9.29.29.22
+=， 女生睡眠时长从小到大排序为：7.6，7.9，8，8.2，8.5，8.6，8.6，8.8，9，9，9，9，9.1，9.1，9.1，9.2，
9.2，9.3，9.3，9.5，
∵9出现4次，出现的次数最多，
∴女生睡眠时长的众数为：9， 女生睡眠时长的中位数为：
9992
+=， ∴9.2m =，9n =；
【小问3详解】
男生的睡眠质量比较好，理由如下：
∵男生和女生男生睡眠时长的平均数相等，而中位数和众数都大于女生，
∴男生的睡眠质量比较好．
故答案为：男生，男生和女生男生睡眠时长的平均数相等，而中位数和众数都大于女生．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，中位数和众数等统计知识，解题的关键是能读懂频数分布直方图． 25. 【答案】（1）见解析 （2）4.75米
（3）1米
（4）不成功；应调节人梯到起跳点A 的水平距离为1米或4米才能成功．
【分析】（1）建立直角坐标系，将表格中的点描在坐标系内，再用一条平滑的曲线依次连接；
（2）根据表格中的数据或函数图象分析h 的最大值即可；
（3）利用待定系数法求出函数的解析式，令0d =，求h ；
（4）对比表格中的数据可知3d =时 3.4h ≠，故不成功，只需计算当 3.4h =时d 的大小，由此可知调节人梯的方案．
【小问1详解】
解：如图所示.
【小问2详解】
解：由图可知，演员身体距离地面的最大高度为4.75米.
【小问3详解】
解：设抛物线的表达式为2( 2.5) 4.75h a d =−+(0)a ≠，
将点(1,3.4)代入，得2
3.4(1 2.5)
4.75a =−+，
解得0.6a =−． ∴该抛物线为20.6( 2.5) 4.75h d =−−+．
当0d =时，20.6(0 2.5) 4.751h =−−+=．
∴起跳点A 离地面的高度为1米．
【小问4详解】
解：由表格可知，当3d =时， 3.4h ≠，故不成功．
令 3.4h =，即2
0.6( 2.5) 4.75 3.4d −−+=，
解得1d =或4d =． ∴应调节人梯到起跳点A 的水平距离为1米或4米才能成功．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的作图，解决本题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
26. 【答案】（1）1 （2）3x m =−
（3）12m <≤
【分析】（1）将点()124m −，
代入抛物线解析式计算即可； （2）结合（1）中的结果，将抛物线解析式化为顶点式即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当0m >时，可知点()1m y −，
，()2m y ，，()32m y +，从左至右分布，根据23y y <可得232m m m ++−<，根据31y y ≤可得232
m m m −++−≥，即可求解；②当0m ≤时，即0m −≥，即有3m m m ≤−<−+，可得21y y ≥，与题意不符，舍去.
【小问1详解】
解：∵抛物线()2
261y ax m x =+−+经过点()124m −，， ∴()24261m a m −=+−+，
∴1a =；
【小问2详解】
由（1）得抛物线的表达式为()2
261y x m x =+−+， 即()()22
313y x m m =+−+−−⎡⎤⎣⎦，
∴抛物线的对称轴为3x m =−；
【小问3详解】
①当0m >时， 可知点()1m y −，
，()2m y ，，()32m y +，从左至右分布， 根据23y y <可得232
m m m ++−<
， ∴1m >，
根据31y y ≤可得232m m m −++−≥，
∴2m ≤，
∴12m <≤；
②当0m ≤时，即0m −≥，
∵3m m m ≤−<−+，
∴21y y ≥，不符合题意.
综上，m 的取值范围为12m <≤．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
27. 【答案】（1）互相垂直；12
a ； （2）①2BAC DAE ∠=∠，证明见解答过程；②BE CD DE =+，证明见解答过程．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得AD 与CB '的位置关系是互相垂直，过点A 作AM BC ⊥于点M ，根据等腰三角形性质得到1122CM BM BC a ==
=，利用AAS 证明ACD ACM ≌，根据全等三角形性质即可得出12
CD CM a ==； （2）当点E 与点C 不重合时，①过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥点N ，利用AAS 证明ACD ACM ≌，根据全等三角形性质即可得到2BAC DAE ∠=∠；
②在BC 上截取BF CD =，连接AF ，利用SAS 证明ABF ACD △≌△，根据全等三角形性质得到AF AD =，BAF CAD ∠=∠，根据角的和差得到FAE DAE ∠=∠，再利用SAS 证明FAE DAE ≌，根据全等三角形性质及线段和差即可得到BE CD DE =+．
【小问1详解】
解：当点E 与点C 重合时，DAE DAC ∠=∠，
90DAE ACD ∠+∠=︒，
90DAC ACD ∴∠+∠=︒，
90ADC ∴∠=︒，
AD CB ∴⊥'，
即AD 与CB '的位置关系是互相垂直，
若BC a =，过点A 作AM BC ⊥于点M ，如图：
则90AMC ADC ∠∠=︒=，
∵AB AC =，
1
1
22CM BM BC a ∴===，
在ACD 与ACM △中，
ADC AMC
ACD ACM AC AC
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()AAS ACD ACM ∴≌△△，
1
2CD CM a ∴==，
即CD 的长为1
2a ， 故答案为：互相垂直；1
2a ；
【小问2详解】
解：①当点E 与点C 不重合时，用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系是：
2BAC DAE ∠=∠，
证明如下：
过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥点N ，如图：
则90AMC ANC ∠=∠=︒，
90CAN ACB ∴'∠+∠=︒，
90DAE ACD ∠+∠=︒，
即90DAE ACB '∠+∠=︒，
DAE CAN ∴∠=∠，
∵AB AC =，AM BC ⊥，
22BAC CAM BAM ∴∠=∠=∠，
在ACN △与ACM △中，
ANC AMC
ACN ACM AC AC
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()AAS ACN ACM ∴≌△△，
CAN CAM ∴∠=∠，
222BAC CAM CAN DAE ∴∠=∠=∠=∠；
②用等式表示线段BE 、CD 、DE 之间的量关系是：BE CD DE =+，证明如下：
在BC 上截取BF CD =，连接AF ，如图：
∵AB AC =，
B ACB ∴∠=∠，
ACB ACB ∠'=∠，
B ACB ACD ∴∠=∠'=∠，
在ABF △和ACD 中，
AB AC B ACD BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()SAS ABF ACD ∴≌△△，
AF AD ∴=，BAF CAD ∠=∠，
BAF CAE CAD CAE DAE ∴∠+∠=∠+∠=∠，
由①知：2BAC DAE ∠=∠， 即12
DAE BAC ∠=∠， 12BAF CAE BAC ∴∠+∠=
∠， ()12
FAE BAC BAF CAE BAC ∴∠=∠−∠+∠=∠， FAE DAE ∴∠=∠，
在FAE 和DAE 中，
AF AD FAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()SAS FAE DAE ∴≌△△，
FE DE ∴=，
BE FE BF CD DE ∴=+=+．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
28. 【答案】（1）(3,3)
（2）①(1,3)B '，1a =；②312
a +<<或32a <． 【分析】（1）由题知，P 与P '关于直线 1.5x =对称，由此求出P '的坐标；
（2）①由题可知，点B '与点B 的纵坐标相同，又点B '在直线4y x =−+上，由此可求出B '的坐标，从而确定直线l 的位置，计算a 的值；②分析题意，可知“V 点”是直线4y x =−+与直线l 的交点H ，分析H 在什么位置时，“V 形”与O 恰有2个交点，求出此时a 的取值范围即可．
【小问1详解】 解：由题可知，点P 与点P '关于直线 1.5x =对称，且(0,3)P ，
∴(3,3)P '．
故答案是：（3，3）；
【小问2详解】
解：①由//l x 轴可知，点B '与点B 的纵坐标相同，又(5,3)B ，
将3y =代入4y x =−+，得34=−+，解得1x =，
∴(1,3)B '．
设点B 关于直线l 的“V 点”为(,)b a ，则点B '与点B 关于直线x b =对称， ∴1532
b +==， 点(,)b a 在直线4y x =−+上，
∴4341a b =−+=−+=．
②由题可知，“V 点”是直线4y x =−+与直线l 的交点H ，点P '在直线4y x =−+上，设
(4,)H a a −，则直线PH 与直线P H '关于直线4x a =−对称，如图．
PH与P H'关于直线4
x a
=−对称，
∴设PH的表达式为y x n
=+，
当直线PH与W相切时，设切点为00
(,)
x x n
+，
1
=，
整理得22
00
2(210)4120
x n x n n
+−+−+=，
此时直线PH与W相切，
∴关于
x的方程22
00
2(210)4120
x n x n n
+−+−+=有唯一解，
∴令22
(210)42(412)0
n n n
∆=−−⨯⨯−+=，
解得1
n=−±
∴当直线PH与W相切时，直线PH
的表达式为1
y x
=−−
1
y x
=−．
联立
4
1
y x
y x
=−+
⎧⎪
⎨
=−
⎪⎩
5
2
3
2
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
−
⎪=
⎪⎩
，
∴
53
(
22
C
+
；
联立
4
1
y x
y x
=−+
⎧⎪
⎨
=−+
⎪⎩
5
2
3
2
x
y
⎧−
=
⎪⎪
⎨
+
⎪=
⎪⎩
，
∴
53
(
22
A
+
．
点(3,1)到圆心(3,2)
W的距离等于半径1，且点(3,1)在直线4
y x
=−+上，
∴点(3,1)是W与直线4
y x
=−+的一个交点，且为两个交点中靠下方的交点，即(3,1)
B．“V形”与W有且仅有两个交点，
分析图像可知，当且仅当
B A
y a y
<<或
C
a y
<时符合题意．
∴312a +<<或32
a <． 【点睛】本题考查了对称的性质，圆的性质，两点之间距离公式，一元二次方程的判别式，二元一次方程组与一次函数，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．。