初三数学 解读反比例函数 知识精讲

初三数学 解读反比例函数 知识精讲
初中阶段我们学习反比例函数，主要研究其概念、图象、画法，并根据图象归纳反比例函数的性质。

学习反比例函数与其他函数一样，要善于利用数形结合思想。

一、解读新知识点
1. 反比例函数的图象及其画法
反比例函数图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、三象限或二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x ≠0，函数值y ≠0，所以函数图象与坐标轴没有交点，即双曲线的两个分支无限接近于坐标轴，但永远达不到坐标轴。

图象如图l 、图2所示。

图1
图2
2. 反比例函数的性质
自变量0x ≠，函数值0y ≠。

当k>0时，函数的两个分支在一、三象限，y 随x 的增大而减小；当k<0时，函数的两个分支在二、四象限，y 随x 的增大而增大。

3. 反比例函数)0k (x
k y ≠=中比例系数k 的几何意义 （1）如图3，过双曲线上任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，所得矩形PMON 的面积 |x y ||y ||x |PN PM S =⨯=⨯=。

① 因为)0k (x
k y ≠=，所以xy=k ② 由①、②得S=|k|。

（2）如图3，过双曲线上任意一点E 作EF 垂直其中一坐标轴，连接OE ，则
|k |2
1S EOF =∆。

图3
二. 知识要点的应用
例1. 已知反比例函数x k 4y -=
，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围。

（1）函数图象位于一、三象限；
（2）在每个象限内y 随x 的增大而增大。

分析：由于已知函数的比例系数为k 4-，所以根据反比例函数的性质列出不等式，进而求出k 的取值范围。

解：（1）因为函数图象位于一、三象限，所以0k 4>-，所以k<4；
（2）因为已知函数在每个象限内y 随x 的增大而增大，所以0k 4<-，所以k>4。

例2. 如图4，点P 是x 轴正半轴上的动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线x
1y =于点A ，连接OA 。

（1）如图4，当点P 在x 轴正方向上运动时，Rt △AOP 的面积大小是否在变化？若不变，请求出Rt △AOP 的面积；若改变，试说明理由；
图4
（2）如图5，在x 轴上P 点的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线交双曲线于点B ，连结OB 交AP 于点C 。

设△AOP 的面积为1S ，梯形BCPD 的面积为2S ，则1S 与2S 的大小关系是1S _________2S （填“>”、“=”或“<”）。

图5
（3）如图6，AO 的延长线与双曲线x 1y =的另一个交点为F ，FH 垂直于x 轴，垂足为H ，连接AH 、PF ，试说明四边形APFH 的面积为常数。

图6
分析：因为反比例函数xy=k ，而（1）中|k |2
1|xy |21S AOP ==∆，所以其面积不会发生变化；（2）由（1）的结论得BOD AOP S S ∆∆=，则易知1S 、2S 的大小。

解：（1）Rt △AOP 的面积不发生变化，2
1|k |21S AOP ==
∆； （2）21S S >； （3）2|k |2|k |2
14S APFH ==⨯=四边形 注：双曲线中隐含着许许多多的规律，我们在解题中不但要善于发现这些规律，而且要善于总结这些规律。

例3. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强p （Pa ）是它受力面积)m (S 2的反比例函数，其图象如图7所示。

（1）求p 、S 之间的函数关系；
（2）当2m 5.0S =时，求物体承受的压强；
（3）若物体承受的压强不可超过250Pa 时，受力面积至少要多少？
图7
分析：（1）由于反比例函数图象过点a （0.1，1000），由此可求出k 的值，注意到图象在第一象限内，所以自变量S 的取值范围大于0。

至此，（2）、（3）两问也就迎刃而解。

解：（1）设S
k p =
，由a （0.1，1000）在图象上，得 10010001.0k =⨯=
所以，p 、S 之间的函数关系为)0S (S
100p >=； （2）当2m 5.0S =时，)Pa (2005
.0100p ==； （3）当Pa 250p ≤时，4.0S ,250S
100≥≤，即受力面积至少为2m 4.0。

注：应用反比例函数的图象解题时，必须认真观察图象特征，从中收集并整理相关信息，用以解决其他一系列问题。