2013版高中数学(人教A版)选修2-1第一章常用逻辑用语测试题(含详解)

第一章测试
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（5X 12= 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若命题“如果p,那么q”为真，则（）
A. q? p
B.綈p?綈q
C. q? p D .綈q? p
解析p? q? q? p.
答案C
2. 对于向量a、b、c和实数人下列命题中真命题是（）
A. 若a b= 0,贝卩a= 0 或b = 0
B. 若?a= 0,贝卩=0 或a= 0
C. 若a2= b2，贝S a= b 或a= —b
D .若a b= a c,贝U b= c
解析由数与向量的意义知，B正确.
答案B
3. 已知下列三个命题，其中真命题是（）
①方程x2—x+ 2= 0的判别式小于或等于零；②矩形的对角线垂直且平分；③3> 2.
A .①②B.①③
C .②③
D .①
答案B
4. 下列说法正确的是（）
①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的
逆否命题为真，它的否命题一定为真.
A . ①②B
.
②③
C . ③④D
.
②③④
答案B
5 . 下列命题中，真命题是()
A . ? x€ R, x>0B
.
如果x<2，那么x<1
C . ? x€ R, x2<- 1D
.
? x€ R, x2+ 1工0
答案D
1 1
6. 四个条件：b>0>a; 0>a>b; a>0>b; a>b>0•能使a<b成立的充分条件的个数是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案C
7.
命题“ ？数列{a n}, {b n}既是等差数列，又是等比数列”()
A .是特称命题并且是假命题
B. 是全称命题并且是假命题
C .是特称命题并且是真命题
D .是全称命题并且是真命题
答案C
8. (2013海南模拟)若函数f(x), g(x)的定义域和值域都是R,则“f(x)<g(x), x€ R”成立的充要条件是()
A .存在x o € R,使得f(x o)vg(x o)
B. 有无数多个实数x,使得f(x)<g(x)
1
C. 对任意x€ R,都有f(x) + 2<g(x)
D .不存在实数x,使得f（x）> g（x）
答案D
9. （2012云南师大附中模拟）已知命题p：? x€ R, sinx>0,则下列说法正确的是（）
A. 綈p是特称命题，且是真命题
B. 綈p是全称命题，且是假命题
C. 綈p是全称命题，且是真命题
D. 綈p是特称命题，且是假命题
解析命题p：? x€ R, sinx>0是全称命题，且是假命题.所以綈p应为特称命题，且是真命题，故选A.
答案A
10. 设x € R,则“ x= 1” 是“ x3= x” 的（）
A .充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C .充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案A
11. （2012佛山模拟）下列有关命题的说法错误的是（）
A. 命题“若x2—3x+ 2= 0,则x= 1”的逆否命题为：若X M1, 则x2—3x+ 2工0
B. x= 1是x2—3x + 2= 0的充分不必要条件
C .若p A q为假命题，则p, q均为假命题
D.对于命题p：? x€ R,使得x2+ x+ 1<0,则綈p：? x€ R, 均有x2+ x+ 1 > 0
答案C
12. 给出命题p：若“ABBC>0,则厶ABC为锐角三角形”；命题q：
“实数a, b, c满足b2= ac,则a, b, c成等比数列”.那么
F列结论正确的是()
A. p且q与p或q都为真
B. p且q为真而p或q为假
C. p且q为假且p或q为假
D. p且q为假且p或q为真
解析vAB BC>0? ZB为钝角，
•••/ABC为钝角三角形，命题p为假.
vb2= acD? a, b, c为等比数列(如a = 0, b= 0, c= 1)
•命题q为假.
故pAq且pVq均为假.
答案C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)
13. 设a表示平面，a, b表示直线，给定下面四个命题：
①a// a, a丄b? b± a；②a// b, a丄a? b丄a
③a 丄a, a丄b? b / a；④a 丄a, b丄a? a / b.
其中正确命题的个数有_________ .
解析①中b可能平行于a；②正确.③中b可能在a内；④正
确.
答案2
14. a= 3 是直线l i：ax+2y+ 3a= 0 和直线I2：3x+ (a- 1)y= a
—7平行且不重合的________ 件.
解析当a= 3 时，h: 3x+2y+ 9 = 0, b: 3x + 2y+ 4= 0,显然
l l //l2・
.... 「a 2 3a -
当l i /I2时，3=丰 ,「a = 3.
3 a-1 7-a
/a= 3是I1//I2的充要条件.
答案充要
15. “若(x —1)(y + 2)工0,贝S X M 1且卄一2”的否命题是____________ 逆否命题是______________ .
答案若(x—1)(y + 2) = 0,则x= 1,或y= —2
若x= 1,或y=—2,则(x—1)(y + 2) = 0
16. 对任意实数x, (a2—1)x2+ (a —1)x—1<0都成立，则a的取
值范围是 ________ .
解析当a2—1 = 0时，易知a= 1适合.
fa2—1<0
当a2—1 M 0时，应有 2 2
I △=(a—1)2+ 4a2—1X0
3
解得—5<a<1.
3
综上可知一5<a< 1.
(2) 两次都没有投中；
(3) 恰有一次投中；
(4) 至少有一次投中.
解⑴两次都投中：“ pAq”.
⑵两次都没投中：“綈pA綈q”.
⑶恰有一次投中：“p且綈q或綈p且q”.
(4)至少有一次投中：“ p Vq”.
18. (12分)写出命题“已知a, b€ R,若关于x的不等式x2+ ax + b< 0有非空解集，则a2> 4b”的逆命题，并判断其真假.
解逆命题为：“已知a, b€ R,若a2>4b,则关于x的不等式x2+ ax+ b< 0有非空解集”.
由a2>4b知，△= a2—4b>0•这说明抛物线y=x2+ax+ b与x轴有交点，那么x2+ ax+ b< 0必有非空解集.故逆命题是真命题.
19. (12 分)设集合M = {x|y= lo@(x—2)}, P= {x|y= 3 —x}，则“x€ M，或x€ P”是“ x€ (M A P)”的什么条件？
解由题设知，M = {x|x>2}, P= {x|x< 3}.
•••M A P= (2,3], M U P= R.
当x€ M，或x€ P时，
x€ (M U P) = R? x€ (2,3] = M A P・
而x€ (M A P)? x€ R・
•••x€ (M A P)? x€ M，或x€ P.故“x€ M，或x€ P” 是“x€
（M n P）”的必要不充分条件.
20. （12分）？x€ R,不等式4mx2—2mx—1<0恒成立，求m 的取值范围.
解当m = 0时，不等式4mx2—2mx—1<0,对x€ R恒成立.
当m H0时，不等式4mx2—2mx —1<0恒成立？
4m<0
i 2? —4<m<0 ・
△= 4m + 16m<0
故？x€ R,不等式4mx2—2mx—1<0恒成立，
—4<m< 0・
21. （12分）已知命题p：对于m€ [—1,1]，不等式a2—5a —3》：m2+ 8恒成立；命题q：不等式x2+ ax+ 2<0有解，若p V q为真，且p A q为假，求a的取值范围.
解vm€ [ —1,1],二m2+ 8€ [2 2, 3].
T对m€ [ —1,1]，不等式a2—5a —3h . m2+ 8恒成立，可得a2—5a —3》3,
「a》6,或a w — 1.
故命题p为真时，a>6,或a< — 1.
命题p为假时，—1v a v 6.
又命题q：x2+ ax+ 2<0有解，
2
..△= a —8>0.
•°a>2 2,或a< —2 2.
从而命题q为真时a>2 .2,或a< — 2 2,
q 为假时—2.2< a< 2 2.
依题意pVq为真，pAq为假，
•p与q必有一真一假.
当p真q假时，a的取值范围是一2 2< a< —1;
当p假q真时，a的取值范围是2 2<a<6.
综上，a的取值范围是[—2 2,—1]U [2 2, 6).
22. (12分)下图是函数y=(》x和y= 3x2图像的一部分，其中x =X1, X2(—1<X!<0<X2 )时两函数值相等.
(1)给出如下两个命题:
①当XVX i 时，(2)X<3X2;
②当X>X2时，(2)X V3X2,试判定命题①②的真假并说明理由.
(2)求证：X2^ (0,1).
解(1)命题①是假命题，可以举反例：取X=- 10,则X<X1，但是(》-10 = 1024,3X (- 10)2= 300,(2)X<3X2不成立；
命题②是真命题，•••函数y=(》X在［X2, +乂)上是减函数，函数y= 3X2在［X2, +*)上是增函数，
1X1 2 2
•••当X>X2 时，(2)V(2)X2=3X2<3X .
1 1
(2)证明：构造函数f(x)= 3x2—g)X,则f(0)=- 1v0,f(1) = 3-2 = 5>0，
•••f(x)在区间(0,1)内有零点.
又vf(x) = 3X2 - (2)X在区间(0,+ 乂)上单调递增.
•••f(x)在区间(0,1)内的零点唯
•••X2 €(0,1).
3
答案—3 * 5<a< 1
5
三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤)
17. (10分)某人投篮，设命题p：第一次投中；q：第二次投中.试用p, q及逻辑联结词“且”“或”“非”表示下列命题：
(1)两次都投中；。