高考石化一轮数学讲义选修精选PPT资料
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选修4-5 不等式选讲
[规律方法] 放缩法证明不等式时,常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式值增 大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小,但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小 于所求，即不能放缩不够或放缩过头．
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选修4-5 不等式选讲
考点三 柯西不等式
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考点一 利用基本不等式证明不等式
选修4-5 不等式选讲
已 考知点实三数a，柯b，西c不，等d满式设足a＋ab，＋c＋bd，＝3，ca为2＋2正b2＋实3c2＋数6d2，＝5求，求证证：：1≤a≤a21.3＋b13＋c13＋abc≥2 3.
考点三 柯西不等式
[证明] 因为 a，b，c 考点一
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选修4-5 不等式选讲
所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc. 而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3， 当且仅当a3bc＝abc，即 abc＝ 3时，等号成立， 所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
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选修4-5 不等式选讲
[规律方法] 利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确 “类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征，注意检验 等号成立的条件，特别是多次使用基本不等式时，必须使等 号同时成立．
选修4-5 不等式选讲 第2讲 不等式的证明
选修4-5 不等式选讲
1．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等 号成立． 定理 2：如果 a、b 为正数，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立． 定理 3：如果 a、b、c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc，当且仅当 a＝c 时，等号成立．
＝12时，取“＝”号)，
∴1a＋1b≥4.
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考点二 放缩法证明不等式
选修4-5 不等式选讲
(2015·洛阳模拟)有小于 1 的 n(n≥2)个正数 x1，x2，
考点一 x3，利用…基本，不等x式n证，明不且等式x1＋x2＋x3＋…＋xn＝1.
考点二 放缩法证明不等式
选修4-5 考点三 考点三 考点一
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选修4-5 不等式选讲
1.设 a>0，b>0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，求证
1a＋1b≥4. 证明：由 3是 3a 与 3b 的等比中项得 3a·3b＝3， 即 a＋b＝1. 要证原不等式成立，
只需证a＋a b＋a＋b b≥4，即证ba＋ab≥2.
∵a>0，b>0，∴ba＋ab≥2 ab·ab＝2(当且仅当ba＝ab，即 a＝b
当且仅当 ad＝bc 时等号成立．
n
n
n
(2)若 ai，bi(i＝1，2，…，n)为实数，则(∑a2i )(∑b2i )≥(∑aibi)2，
i＝1
i＝1
i＝1
当且仅当ba11＝ba22＝…＝bann(当 ai＝0 时，约定 bi＝0，i＝1，2，…， n)时等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，则
求不等柯柯利证式西西用选不不基：讲等等本式式不x等1－式1证x明31不＋等式x2－1 x32＋x3－1 x33＋…＋xn－1 x3n>4.
已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求证：1≤a≤2.
1 1 考点二 [证明] ∵0<x <1，∴ > ，其中 i＝1，2，3，…，n， 考点三 x －x x 考点一
选修4-5 不等式选讲
∵ n x1x2x3…xn≤x1＋x2＋xn3＋…＋xn＝n1， ∴ n x1x2x13…xn≥n， ∴x1－1 x13＋x2－1 x32＋x3－1 x33＋…＋xn－1 x3n >n2≥22＝4， ∴x1－1 x13＋x2－1 x32＋x3－1 x33＋…＋xn－1 x3n>4.
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选修4-5 不等式选讲
定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…， an 为 n 个正数，则a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an，当且仅当 a1 ＝a2＝…＝an 时，等号成立．
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选修4-5 不等式选讲
2．柯西不等式
(1)设 a，b，c，d 均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
放缩法证明不等式
柯西不等式
i
利用基本不等式证明不等式
3 i ii
考每考点一点一 次 二∴缩利小放x用其缩1基和法－本变证1不小明x等不,但13式等＋需证式大明x于不2所－等求1式；x32＋x3－1 x33＋…＋xn－1 x3n>x11＋x12＋x13＋…＋x1n
n ≥n
1 x1x2x3…xn.
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|α||β|≥|α·β|，当且仅当 α，β 共线时等号成立．
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选修4-5 不等式选讲
3．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法等．(参阅本书第六章相应内容)
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选修4-5 不等式选讲
考点一 利用基本不等式证明不等式 考点二 放缩法证明不等式
[规律方法] 放缩法证明不等式时,常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式值增大；
考点二 放缩法证明不等式
考点三 柯西不等式
1 1 1 3 考点一 利用基本不等式证明不等式
即a ＋b ＋c ≥abc， 选修4-5 不等3式选讲 3
3
当且仅当a13＝b13＝c13，即 a＝b＝c 时，等号成立，
利用基本不等式证明不等式
考点一 利用基本不等式证明不等式
每一次缩小其和变小,但需大于所求；
为正实数，由均值不等式可得a13＋b13＋c13
考点一
利用基本不等式证明不等式
缩小分子、扩大分母，分式值减小；
考点二 放缩法证明不等式
缩小分子、扩大分母，分式值减小；
3 1 1 1 每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头． ≥3 · · ， 缩小分子、扩大分母，3分式值减3小； 3 a b c 考点二 放缩法证明不等式
2.设 n 是正整数，求证：12≤n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<1. 证明：由 2n≥n＋k>n(k＝1，2，…，n)， 得21n≤n＋1 k<n1.
当 k＝1 时，21n≤n＋1 1<n1；
当 k＝2 时，21n≤n＋1 2<n1； … 当 k＝n 时，21n≤n＋1 n<n1，
选修4-5 不等式选讲
[规律方法] 放缩法证明不等式时,常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式值增 大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小,但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小 于所求，即不能放缩不够或放缩过头．
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选修4-5 不等式选讲
考点三 柯西不等式
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考点一 利用基本不等式证明不等式
选修4-5 不等式选讲
已 考知点实三数a，柯b，西c不，等d满式设足a＋ab，＋c＋bd，＝3，ca为2＋2正b2＋实3c2＋数6d2，＝5求，求证证：：1≤a≤a21.3＋b13＋c13＋abc≥2 3.
考点三 柯西不等式
[证明] 因为 a，b，c 考点一
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选修4-5 不等式选讲
所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc. 而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3， 当且仅当a3bc＝abc，即 abc＝ 3时，等号成立， 所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
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选修4-5 不等式选讲
[规律方法] 利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确 “类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征，注意检验 等号成立的条件，特别是多次使用基本不等式时，必须使等 号同时成立．
选修4-5 不等式选讲 第2讲 不等式的证明
选修4-5 不等式选讲
1．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等 号成立． 定理 2：如果 a、b 为正数，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立． 定理 3：如果 a、b、c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc，当且仅当 a＝c 时，等号成立．
＝12时，取“＝”号)，
∴1a＋1b≥4.
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考点二 放缩法证明不等式
选修4-5 不等式选讲
(2015·洛阳模拟)有小于 1 的 n(n≥2)个正数 x1，x2，
考点一 x3，利用…基本，不等x式n证，明不且等式x1＋x2＋x3＋…＋xn＝1.
考点二 放缩法证明不等式
选修4-5 考点三 考点三 考点一
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选修4-5 不等式选讲
1.设 a>0，b>0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，求证
1a＋1b≥4. 证明：由 3是 3a 与 3b 的等比中项得 3a·3b＝3， 即 a＋b＝1. 要证原不等式成立，
只需证a＋a b＋a＋b b≥4，即证ba＋ab≥2.
∵a>0，b>0，∴ba＋ab≥2 ab·ab＝2(当且仅当ba＝ab，即 a＝b
当且仅当 ad＝bc 时等号成立．
n
n
n
(2)若 ai，bi(i＝1，2，…，n)为实数，则(∑a2i )(∑b2i )≥(∑aibi)2，
i＝1
i＝1
i＝1
当且仅当ba11＝ba22＝…＝bann(当 ai＝0 时，约定 bi＝0，i＝1，2，…， n)时等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，则
求不等柯柯利证式西西用选不不基：讲等等本式式不x等1－式1证x明31不＋等式x2－1 x32＋x3－1 x33＋…＋xn－1 x3n>4.
已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求证：1≤a≤2.
1 1 考点二 [证明] ∵0<x <1，∴ > ，其中 i＝1，2，3，…，n， 考点三 x －x x 考点一
选修4-5 不等式选讲
∵ n x1x2x3…xn≤x1＋x2＋xn3＋…＋xn＝n1， ∴ n x1x2x13…xn≥n， ∴x1－1 x13＋x2－1 x32＋x3－1 x33＋…＋xn－1 x3n >n2≥22＝4， ∴x1－1 x13＋x2－1 x32＋x3－1 x33＋…＋xn－1 x3n>4.
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选修4-5 不等式选讲
定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…， an 为 n 个正数，则a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an，当且仅当 a1 ＝a2＝…＝an 时，等号成立．
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2．柯西不等式
(1)设 a，b，c，d 均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
放缩法证明不等式
柯西不等式
i
利用基本不等式证明不等式
3 i ii
考每考点一点一 次 二∴缩利小放x用其缩1基和法－本变证1不小明x等不,但13式等＋需证式大明x于不2所－等求1式；x32＋x3－1 x33＋…＋xn－1 x3n>x11＋x12＋x13＋…＋x1n
n ≥n
1 x1x2x3…xn.
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|α||β|≥|α·β|，当且仅当 α，β 共线时等号成立．
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选修4-5 不等式选讲
3．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法等．(参阅本书第六章相应内容)
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选修4-5 不等式选讲
考点一 利用基本不等式证明不等式 考点二 放缩法证明不等式
[规律方法] 放缩法证明不等式时,常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式值增大；
考点二 放缩法证明不等式
考点三 柯西不等式
1 1 1 3 考点一 利用基本不等式证明不等式
即a ＋b ＋c ≥abc， 选修4-5 不等3式选讲 3
3
当且仅当a13＝b13＝c13，即 a＝b＝c 时，等号成立，
利用基本不等式证明不等式
考点一 利用基本不等式证明不等式
每一次缩小其和变小,但需大于所求；
为正实数，由均值不等式可得a13＋b13＋c13
考点一
利用基本不等式证明不等式
缩小分子、扩大分母，分式值减小；
考点二 放缩法证明不等式
缩小分子、扩大分母，分式值减小；
3 1 1 1 每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头． ≥3 · · ， 缩小分子、扩大分母，3分式值减3小； 3 a b c 考点二 放缩法证明不等式
2.设 n 是正整数，求证：12≤n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<1. 证明：由 2n≥n＋k>n(k＝1，2，…，n)， 得21n≤n＋1 k<n1.
当 k＝1 时，21n≤n＋1 1<n1；
当 k＝2 时，21n≤n＋1 2<n1； … 当 k＝n 时，21n≤n＋1 n<n1，