正逆勾股定理错解剖析

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陈 锡志 ・ ຫໍສະໝຸດ 勾股 定 理 及其 逆 定 理 的应 用 十分 广泛 ，同学们 在
做 题 时 ，如果 不注 意 ，常 出现 以下错 误．
一
、
混 淆 区别
例 １ 如图１ ．分别 以三 角形 三边 为 直 径 向外 作 三 个 半 圆 ，如 果较 小 的 两个 半 圆 面积 之 和等 于较 大 的半 定 理 ，这个 三 角形 为 圆面积 ，根据
错 解 ：ＡＣ＝ 。４ ，得ＡＣ ５ ‘３＋ ‘ ＝ ．
错因 ： ①定势思维 ，自认为勾３ ，股４ ，弦５ ． ② 盲 目套用 了勾股 定理 ，忘 记 了使用 勾股定 理 的大前 提是
ａＡＢ 必 须为 直 角三角 形 ，该题 并未 声 明这一 点． Ｃ 正解 ：由一 般三 角形性 质 可知４ ３ ＡＣ ４ ３ — ＜ ＜ ＋ ，即１ Ａ ＜ ，ＡＣ ＜Ｃ７ 为
．
— — — —
图 １
错 解 ：设 三角 形 三边 为ｎ 、ｃ 且ｃ 最 大 ， 有１ｆ ） １ ） 、ｂ ， 边 则 Ｔ Ｔ ＋（
：Ｔ １ｆ
’ ２
得 ＋ ‘ｃ ，根 据勾 股定 理知 该三 角形 为直 角三 角形 ． ６＝
错 因 ：此判 断 的根 据是 错误 的 ，因勾 股定 理是 直 角三 角形 的性 质定 理 ．已知条 件 就是 直 角三 角形 ，结 论 才是 勾‘股‘ 弦‘ ＋ ＝ ，而 勾股
奇数 ，因此 Ａ 可 取３ 两 个 值 ，特 殊 地 ，当 ａＡ Ｃ 直 角 三 角 形 Ｃ 、５ Ｂ 为
时 ．Ａ ＝ ． Ｃ５ Ａ
三 、 以偏 概 全
暑一 ００广ｍ 岍订工口口广 一 口岍 － 口口Ｄ ｜ Ｔ Ｉ Ｌ Ｉ
例 ３ 在 ＡＡＢ 中 ， ＝ ＡＣ ８Ｂ 边 Ｃ ＡＢ ６， ＝ ， Ｃ 上 的高Ａ ５ 求Ｂ 之 长． Ｄ＝ ， Ｃ Ｂ 错 解 ：如 图２ ． Ｄ ＪＢ ，‘ Ｃ，由勾 股 定 ＂ － Ａ
定 理 的 逆定 理却 是 直 角三 角形 的判 定定 理 ， 已知条 件是 勾‘ 股‘弦‘ ＋ ＝ ，
结 论是 该 三角形 为 直角 三角 形．
正解 ：将 上面 解答 改成 逆定 理 即可．
二 、 胡 乱 套 用
例 ２ 在 △Ａ Ｃ ， Ｂ 中 已知ＡＢ ３ Ｂ ＝ ， Ｃ ＝ ， Ｃ ４ 若Ａ 为奇 数 ， 求ＡＣ 之长 ．