高等数学在实际生活中的应用

高等数学在实际生活中的应用
摘要
在当今经济水平飞速发展的状况下，经济分析的主要方式慢慢变成了定量和
定性相结合的分析方法。

而且看这种方式的使用，它会运用比较多的高等数学的
内容，因此说高等数学在经济分析与研究中有非常大的作用。

从当前的经济有关
专业教学实践来看，高等数学已经成为了专业教学中必不能少的一门工具性课程。

本文主要研究了，叙述了研究的意义、国内外研究现状、导数、极限、微积分和
微分方程在经济中的应用等，并举出一些具体例子来描述了该应用。

关键词:高等数学；实际生活；应用
引言
通过研究相关学科，现代经济学仍然是一门发展极其重要的交叉学科。

它不
仅直接影响到国民经济科学理论的技术进步和实际的社会发展，而且已经是整个
国计民生的一块举足轻重的理论基石。

从高等数学与经济学的技术发展角度来看,各种数字计算处理方法的广泛引入不仅可能有助于人们提高计算的效率，而且有
助于提高计算精度。

因此,数学与经济学的结合具有实用价值。

在其他同类学科中，高等数学学科作为一门具有工具性质的学科，可以凭借自身的学科特点和教
学优势，帮助应用经济学的理论计算和分析解决实际经济问题。

经济学是很离不
开数学的，它需要大量的数据作为计算工具来进行做辅助处理，所以在企业计算
领域需要大量结合个人数据和企业数据之间的相互关系数据来进行处理一些相关
联的内容，特别是对于企业投入产出、成本以及利润的综合计算，都非常需要用
大量数字来进行衡量。

在实际的高等数学中，要有效解决这些复杂问题，必须把
数学公式和其他计算方法结合运用起来。

在数学中，这称为变量之间的函数关系。

由此可见，高等数学在测量和决策中起着重要的作用。

经济学自产生以来,就必
须依靠数学来研究，数学与经济紧密结合。

在新的经济时代，计量经济学越来越
复杂，这就必然需要更先进的计量数学计算工具来提供辅助。

高等数学理论具有
逻辑性，严密性和推理性。

在实际数学应用中，可以对整个数学问题模型进行精
确定量分析处理，再通过结合现代科学严谨的问题模式分析进行理论推广，提高
问题整体的可靠性。

这一特点这也正是新时期政治经济学最看重的。

英国经济学
家杰文斯明确指出，经济学必须完全依靠现代数学。

只有这样，才能把开展整体
经济研究与分析经济数学现象紧密联系在一起来，做好各项研究指标的经济数学
原理转化和经济实际应用转化。

特别是在新的一个分支代数学科中，它也可能会
逐渐涉及应用到很多高等数学的基础内容，使得运用越来越普遍。

1 研究意义与现状
数学是一门历史悠久且一直延续的理论学科。

18世纪以后,学者们逐渐开始
更加关注一些应用性的数学，随着Bernoulli方程、Fourier级数等研究成果的
出现,它们不断朝着整体性的方向发展,创造了一个相对完善和完整的数学体系框架,成为一门学科形式,并成为现代科学中不可缺少的学科。

然后,数学在上述基
础上依旧在持续不停地改善,它的应用规模也有了扩大,许多学科的发展都依靠于
数学的支持。

在17世纪90年代，有些学者就在《政治算数》中简单地分析了数学知识在
经济领域和政治事件中的作用[2]。

但是,由于受限于当时的科学技术发展状况，对
于将数学知识应用到经济领域这个做法，民众是不信任的。

所以这个时期的高等
数学难于在经济领域中运用。

但这两者之间的关系随着时间的推移和科学的进步
已经被更多的经济学家所研究和分析。

据大量研究，许多著名的数学家都曾经获
得过诺贝尔经济学奖。

由此，我们甚至可以得出结论，数学对经济社会发展作出
了巨大贡献。

有了数学基础理论和经济模型的有力支持，一方面不仅可以对高等数学研究
的理论先行性和假设结果进行准确的合理描述，另一方面也主要是可以促进经济
问题分析地更加严谨、准确，借助高等数学理论是获得经济研究成果的重要举措。

在某种程度上,数学的广泛应用也必然能够促使人们对新一代经济理论研究成果
的信任度大大提高。

数学是一门理论逻辑严密的科学学科,具有证明理论真伪的
重要功能。

一个新的经济分析理论在被建立发展起来后,需要继续依靠一些数学
上的推理方法来逐步证明新的经济分析理论的科学可靠性。

1.1 国内外研究现状
前苏联时的经济学界有一个突出的巨大贡献——"数学革命"就是康托带来的，这样也使他成为在现代经济学中充分运用古典数学的一个代表性人物[6]。

纵观当
今世界上各个国家的数学发展史，尤其是二战结束以后，各国间在经济领域的激
烈竞争更加凸显了数学的重要作用。

作为国家经济竞争力在学术范围的支持，一
种发展趋势就是经济学基础理论的走向趋于数学化。

这让我们想起了马克思提出
的一句名言[7]：“一门科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。

”
1.2 主要性质与定理
定义：设函数在的某邻域内有定义。

若对于任何点，成
立不等式 (或 )，则称函数在点去的极大（极小）值，点称为的极大（极小）值点[9]。

极大值、极小值统称为极值。

极大值点、极
小值点统称为极值点。

定理：（极值的必要条件）若函数在点存在偏导数，且在取
得极值，则有，。

反之，若函数在点满足上式，则称为的稳定点。

定理指出：若存在偏导数，则其极值点必是稳定点。

但稳定点并不一定都
是极值点[10]。

但是在经济学的实际问题中只有一个稳定点的情况下，该稳定点便
是所求极值点。

2 应用
2.1 导数在经济中的应用
2.1.1 边际成本
根据上述边际成本的概念，设产量为，其对应的成本函数是可导,则
其边际成本可以被定义为
由此我们可知，边际成本是成本函数关于产量的导数，我们得出的边际成本在经济领域上的含义是结合了高等数学中边际定义:当产量为件时,再生产1 件,增加的成本为。

即 .
例1 已知S企业产品产量为件，其对应的成本函数为 .然后求当时该产品产量的边际成本
解根据上述题目的关于Marginal cost的概念，则可以得出函数
，当件时，，当时，；在这里的意义是：生产30件的边际成本为2.4，生产100件的的边际成本为8。

平均成本
，它只与产量有关。

当30件时，每件产品平均成本
，当件时，每件平均成本
结论:当产量为30件时，每件产品平均成本为11.2，边际成本为2.4，表示每多出产1个产品，成本就提高2.4，比平均成本小很多，所以提高产能就能增高收益。

当产量为100件时，每件产品平均成本为7，边际成本为8，每多产出1件产品，成本增大到8，这比平均成本7还高，代表当产能加大到一个饱和状态时，效益会降低。

2.1.2 边际收入
与边际成本类似, 边际收入是收入函数关于产量的导数，记为 ,可知边际收入的经济含义（结合高等数学中的边际概念）是：当销售量为时,再销售1 件产品,所增加的收入。

例2 A企业甲种产品的收入 (单位：元)是生产量件的函数
求这种生产这种产品数量为150 件时的边际收入。

解根据Marginal Revenue的定义，可以得出函数
，生产量为150 件时的边际收入，得
总收入，平均每件产品
收益是
结论:当生产数量为150 件时，再多产出1 件产品可提高的效益到758.33 元。

而平均每件产品的效益是655 元，所以增加出产数量可以使总效益变高变多。

2.1.3 边际利润分析
与边际成本类似, 可以把边际利润定义为商品的总利润函数关于产品销
售数量的导数，即。

含义:当销售数量为件时，再销售1 件所增加的利润。

这里需要注意的是边际利润与利润是不同的。

当
意味着：销量为时,再卖出1 件产品的收益比均衡每件产品的收益小，但是卖
出产品的总盈利是变多的，这就是低盈利，平均收益减少，企业还是盈利的。

因
为收益总额在增加，所以这种状况对企业来说是大有裨益的。

但是则相当于销量为时，收益为负值，这表示企业是不收利的状态。

即前一个是边际利润
低于零，后一个是利润低于零。

例 3 设A单位制造的商品的总成本函数为，这是关于产出数量的函数，记为：，已知该商品的出售价格为607 元，求这个商品的利润
和边际利润，并求出时的边际利润，解释其在不同出售数量时
边际利润的经济意义。

解本题与产出数量和卖出数量相关联，设一样的产出数量与卖出数量，依
照本题条件得总收益函数为，已知：总成本，则根据利润函数=收入函数-成本函数得：，根据边际利润概念，当销售量为200 件、250 件、270 件时，
、、
结论：在经济意义上，它们边际利润值的分别表示为:表明当产出
数量为200 件时，再制造1个单位商品时，增多收益120 元；表明在
产出数量为250 件时，再制造1件商品时，收支平衡；表明在产出
数量为270 件时，再制造1 件商品，就要减少48 元的收益。

结合例1、例2 和例3，分析得出实际情况上的边际成本、边际收益和边际
利润，这在企业做生产决策时可以提供理论上的参考。

当然这并非是唯一的依据，因为我们认识到企业所设计的产品在质量上需要充分地结合各个方面的影响因素，比如库存、价格、需求、生产能力等诸多方面。

此种方法被认为是经济学和高等
数学之间的重要交叉衔接的工具和手段,已经发展成为现代经济学的重要组成部分。

2.2 极限在经济中的应用
经济学中有许多最优量问题，例如最大产出、最大收益、最小成本、最大利
润等。

运用数学理论中的两种简单极值函数计算常用方法，我们就可以解决这些
复杂问题，它们分别可以广泛应用于一元函数的单个极值、多元变量函数的单个
极值、拉格朗日乘法等常用的求极值函数计算方法。

例4 某公司生产某物品的成本函数和收入函数为，
，商品的每月售出量为q，假设每月的商品都能卖光，求每月出
产量是多少时可以有最多收利？
解，其边际利润函数为得 .
可以得出在内只有一个极大值点，且作为一个二次函数，依照现
实规则得，它代表最大值点。

所以，当月出产数等于500时，获得最多收益。

从
上述我们证明可知，获得最多收益的必要条件一定是边际收入等于边际成本，即，且得，即。

例 5 设某一行业的垄断者面临的需求函数和成本函数分别是 ,其中，是厂商的广告支出费用，求利润极大时的，和的值。

解已知垄断者面临的需求函数为，则边际收益
，又知，
则，即（1），再从利润
，得，
令对的偏导数为零，即，得（2），解方程组（1）、（2）得，。

把代入中得
.
以上是关于极端值在微观经济学中应用于边际和最大值问题的讨论[11]。

由此
我们可以看出极值法在经济理论中的适应范围十分广泛。

在当今竞争越来越激烈
的社会主义市场经济中,经济学与高等数学相互地结合,对于经济决策人员有着十
分重要的意义。

2.3微积分在经济中的应用
在经济领域中运用微积分方法主要展示在对外商业交易中。

对外商业贸易作
为作用于经济的三驾马车之一，既不能跑得太快，也不能伤到别人；既不能跑得
太慢，也不能落后于别人[12]。

思索最优问题是这个问题独一无二的处理措施。

优化问题是经济管理活动的核心内容，它是各类企业实现资源和利润优化配
置的有效手段，各种优化问题也是微积分学中最受关注的内容之一[13]。

以企业为例，当然，企业最关心的问题是利润，我们必须考虑“边际成本”和“边际利润”。

本节以边际利润为例。

例 6 已知某产品的总成本函数为，而需求函数为，其中y为产品销售价，x为需求量(即销售量)，求边际利润函数，并求当
时的边际利润
解总收益函数为，而由题设需求函数有，于是，总
收益函数为，所以总利润函数为
，从而边际利润函数为由此得
由上述可知，当出售数为70个单位时，出售数变大可以使总利润变大(再多
卖出一个单位产品，总收益多加大l8个单位)；总收益提升到巅峰值时，出售数
为lO0个单位；如果出售数变多则使总收益变低 (当出售数为150个单位时，再
多卖出一个单位产品，总收益要减低30个单位)。

所以出售数为100个单位得到
最多的收益。

市场是变化的。

但永远都不会改变的生产方向是谋求最多的收益。

获取收益
最高时需要生产出来多少产品才能让企业长久屹立?这就要求我们充分挖掘出微
积分它所蕴含的巨大潜力[14]。

微积分法在经济学研究中的广泛运用证实了我们的
经济活动与高等数学息息相关。

微积分作为现代数学的一个组成部分,是当今社
会中最重要、也是基础的一门学科。

2.4 微分方程在经济中的应用
例7 设某商品的需求量和供给量各自对价格的函数为，且是时间的函数，并满足方程，其，，中为正的常数。

(1)需求量与供给量相等时的均衡价格；
(2)当，时的价格；
解 (1)令，即，可得均衡价格
(2)将，代入方程中，即得
,这是可分离变量的微分方程，分离变量，并求积分，从而。

令，可确定常数，将其代回并解出，于是
数学中与实际联系并运用于现实的不可缺少的纽带和途径是微分方程，微分方程在经济学领域中有着广泛的应用，应该对其进行更深层次的探索和研究使其在其它各个学科发挥作用。

3 总结
当今社会,各种科学技术的发展和应用速度都有了很大的提高，各学科之间的关系也逐渐变得更加紧密。

高等数学是一门工具性特征较为鲜明的学科，本身就在经济学这个领域中就占有十分重要的位置。

甚至在各个领域也逐渐被广泛应用，高等数学知识和方法的运用在经济学领域得到了许多科学家和研究人员的认可。

因此，分析高等数学在社会和经济各个领域的重要性和应用方法都具有历史性和现实意义，希望这些成果能够帮助相关人员了解和掌握高等数学在经济领域的具体应用和方法,充分发挥高等数学在经济领域中的作用。

复杂的经济学理论不断给高等数学提出问题，促进现代经济学的持续发展。

从当前高等数学在经济学领域中的实际应用情况来看，经济学正在朝着更深更全面的层次方向发展,这样才使得现代经济更加繁荣,而高等数学则做出了巨大的贡献。

因此,在未来的经济学领域中,高等数学将占据主导地位,发挥更大的作用。

可以这样说,经济的发展离不开数学，数学的存在也使经济学的发展更加迅速。

这两门学科的紧密结合将促进现代经济学和高等数学的共同发展和进步。

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姓名：赵阳,出生年份：1999年,性别：男,民族：汉族,籍贯（省市）：新疆,学历：大学本科,单位：晋中信息学院,研究方向：高数的应用
I。