2021-2022学年吉林省吉林五十五中高二(上)期中数学试卷-附答案详解

2021-2022学年吉林省吉林五十五中高二（上）期中数学
试卷
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）
1.以(2,−1)为圆心，4为半径的圆的方程为()
A. (x+2)2+(y−1)2=4
B. (x+2)2+(y+1)2=4
C. (x−2)2+(y+1)2=16
D. (x+2)2+(y−1)2=16
2.如图，在正方体OABC−O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B
上的点，且|EB|=2|EB1|，则点E的坐标为()
A. (2,2,1)
B. (2,2,2
3
)
C. (2,2,1
3
)
D. (2,2,4
3
)
3.点(1,1)到直线x+y−1=0的距离为()
A. 1
B. 2
C. √2
2
D. √2
4.若直线l的一个方向向量为(−1,√3)，则它的倾斜角为()
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
5.设直线l的方向向量为m⃗⃗⃗ =(2,−1,z)，平面a的一个法向量为n⃗=(4,−2,−2)，若直
线l//平面a，则实数z的值为()
A. −5
B. 5
C. −1
D. 1
6.已知直线l1：3x+4y+2=0，l2：6x+8y−1=0，则l1与l2之间的距离是()
A. 1
2B. 3
5
C. 1
D. 3
10
7.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为()
A. 2√2
3
B. 1
C. √2
D. 2√2
8.圆心在y轴上，半径为2，且过点(2,4)的圆的方程为()
A. x2+(y−1)2=4
B. x2+(y−2)2=4
C. x2+(y−3)2=4
D. x2+(y−4)2=4
9. 已知M(1,2)，N(4,3)直线l 过点P(2,−1)且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取
值范围是( )
A. (−∞,−3]∪[2,+∞)
B. [−13,1
2]
C. [−3,2]
D. (−∞,−1
3]∪[1
2,+∞)
10. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 是
AB 的中点，则直线DB 1与直线CM 所成角的余弦值为( )
A. −√1515
B. 0
C. √1515
D. √210
15
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）
11. 如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜
角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是( )
A. k 1<k 3<k 2
B. k 3<k 2<k 1
C. α1<α3<α2
D. α3<α2<α1
12. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是
棱AA 1和BB 1的中点，则下列选项正确的是( ) A. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C. MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0
D. MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
三、单空题（本大题共6小题，共30.0分）
13. 在空间直角坐标系中，点A(−1,2,m)和点B(3,−2,2)的距离为4√2，则实数m 的值
为 ．
14. 两圆(x +2)2+(y −2)2=1与(x −2)2+(y −5)2=16的公切线有______ 条． 15. 直线2x −y −1=0被圆(x −2)2+(y +2)2=9截得的弦长为______．
16. 若直线l ：y =k(x +1)+4与曲线C ：x =1−√4−y 2有两个交点，则k 的取值范围
是______．
17. 已知直线l 经过直线l 1：2x −y +1=0和l 2：x −y −2=0的交点为P ，且在两坐标
轴上的截距相等，则直线l 的方程______．
18. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−4)，AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量；④AP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .其中正确的是______．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
19. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是−1
2，经过点A(8,−2)； (2)经过点B(4,2)，平行于x 轴； (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3
2，−3； (4)经过两点P 1(3,−2)，P 2(5,−4)．
20. 已知圆C 经过点(0,1)，且圆心为C(1,2)．
(1)求圆C 的标准方程；
(2)过点P(2,−1)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长．
21.已知点M在圆x2+y2=4上运动，N(4,0)，点P为线段MN的中点．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求点P到直线3x+4y−26=0的距离的最大值和最小值．
22.在棱长是2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别
为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．
(1)求EF的长；
(2)证明：EF//平面AA1D1D；
(3)证明：EF⊥平面A1CD．
23.在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是正方
形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP．
(1)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的正切值；
(2)求点P到平面ABD1的距离．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：以(2,−1)为圆心，4为半径的圆的方程为：
(x−2)2+(y+1)2=16．
故选：C．
利用圆的标准方程的性质求解．
本题考查圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
2.【答案】D
【解析】解：∵EB⊥xoy平面，而B(2,2,0)，
∴E(2,2,z)，
又∵|EB|=2|EB1|，∴|BE|=2
3|BB1|=4
3
，
∴E(2,2,4
3
)，故选：D．
由|EB|=2|EB1|，可知|BE|=2
3|BB1|=4
3
，再根据EB⊥xoy平面，即可求出点E的坐标．
本题主要考查了空间中点的坐标，是基础题．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．
【解答】
解：由点到直线的距离公式d=
√12+12=√2
2
．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：由题意知，直线l的斜率为k=−√3，
由k=tanα=−√3知，倾斜角α=120°．
故选：C．
由方向向量可得直线l的斜率，再由k=tanα，得解．
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，方向向量的概念，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：若直线l//平面a，则m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0，
故8+2−2z=0，解得：z=5，
故选：B．
根据线面平行，求出法向量与直线的方向向量垂直，求出z的值即可．
本题考查了线面关系，考查向量的垂直问题，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：直线l1：3x+4y+2=0，l2：6x+8y−1=0，即直线l1：6x+8y+4=0，l2：6x+8y−1=0，
则l1与l2之间的距离为
√36+64=1
2
，
故选：A．
先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平直线间的距离公式，计算求得结果．
本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平直线间的距离公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)， AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−2)， ∴点A 到直线BC 的距离为：
d =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |√1−(cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >)2 =1×√1−(
−11×3
)2
=
2√2
3
． 故选：A ．
推导出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−2)，点A 到直线BC 的距离为：d =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |√1−(cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >)2，由此能求出结果．
本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
8.【答案】D
【解析】 【分析】
设圆心的坐标为(0,b)，根据题意，则有(0−2)2+(b −4)2=4，解得b 的值，将b 的值代入圆的方程即可得答案．
本题考查圆的标准方程，关键是求出圆心的坐标，属于基础题． 【解答】
解：根据题意，设圆心的坐标为(0,b)， 则有(0−2)2+(b −4)2=4， 解得b =4，
则圆的方程为x 2+(y −4)2=4； 故选：D ．
9.【答案】A
【解析】
本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．
画出图形，由题意得所求直线l 的斜率k 满足k ≥k PN 或k ≤k PM ，用直线的斜率公式求出k PN 和k PM 的值，解不等式求出直线l 的斜率k 的取值范围． 【解答】 解：如图所示：
由题意得，所求直线l 的斜率k 满足k ≥k PN 或k ≤k PM ， 即k ≥3+1
4−2=2，或k ≤2+1
1−2=−3， ∴k ≥2，或k ≤−3， 故选A ．
10.【答案】C
【解析】解：如图建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B 1(2,2,2)，C(0,2,0)，M(2,1,0)， 所以DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,2)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0)，
所以cos〈DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DB 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=√22+22+22×√22+(−1)
2
=2√3×√
5
=√15
15
建立空间直角坐标系，求出直线DB 1与直线CM 方向向量，利用夹角公式求夹角即可． 本题主要考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α1，α2，α3， 则k 2>k 3>0，k 1<0，故π
2>α2>α3>0，且α1为钝角， 故选：AD ．
根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论． 本题主要考查直线的斜率和倾斜角，直线的图象特征，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为a ，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)，M(a,0,a
2)，N(a,a,a
2
)；
A 1(a,0,a)，
B 1(a,a,a)，D 1(0,0,a)；
对于A ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a,0)，D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a,−a
2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⋅a +a ⋅a −0(−a
2)=0⇒AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以A 对；
对于B ，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a,−a 2)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⋅a +a ⋅a +(−a 2)(−a 2)=a 2
4≠0，所以B 错； 对于C ，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a,0)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−a ⋅a +a ⋅a −a
2⋅0=
0，所以C 对；
对于D ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,0)+(0,0,a 2)+(−a,0,0)=(−a,a,a 2
)≠MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以D 错． 故选：AC ．
先建空间直角坐标系，再求出各点坐标，进而求出向量坐标表示，最后对各项进行判断． 本题考查了空间向量的线性运算以及数量积的运算问题，属中档题．
13.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查了空间两点间距离公式，属于基础题．
根据距离公式列方程计算即可．
【解答】
解：AB=√16+16+(2−m)2=4√2，
∴m=2．
故答案为2．
14.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
确定两圆心坐标与半径，可得两圆外切，即可得到结论．
【解答】
解：圆(x+2)2+(y−2)2=1的圆心坐标为(−2,2)，半径为1;
圆(x−2)2+(y−5)2=16的圆心坐标为(2,5)，半径为4，
则两圆的圆心距为√(2+2)2+(5−2)2=5=1+4．
∴两圆外切．
∴两圆公切线的条数为3条．
故答案为3．
15.【答案】4
【解析】解：圆(x−2)2+(y+2)2=9的半径为3，圆心坐标为(2,−2)，
=√5，
则圆心到直线的距离d=
√5
则弦长的一半为√r2−d2=√9−5=2，
则直线2x−y−1=0被圆(x−2)2+(y+2)2=9截得的弦长为4，
故答案为：4
求出已知圆的圆心，半径r.利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线直线l的距离d，
由垂径定理加以计算，可得直线2x −y +1=0被圆截得的弦长．
本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
16.【答案】(−∞,−3]
【解析】解：曲线C ：x =1−√4−y 2的方程变形可得(x −1)2+y 2=4(x ≤1)，
表示圆心为(1,0)，半径为2的圆的左半部分，
设M(1,−2)，直线l ：y =k(x +1)+4恒过点
P(−1,4)，
若直线l ：y =k(x +1)+4与曲线C ：x =1−
√4−y 2有两个交点，则由图可得k ≤k PM ，
而k PM =4−(−2)
−1−1=−3，所以k ≤−3，
所以k 的取值范围是(−∞,−3]，
故答案为：(−∞,−3]．
根据题意，将曲线C 的方程变形可得(x −1)2+y 2=4(x ≤1)，分析可得其表示圆心为(1,0)，半径为2的圆的左半部分，而直线l 恒过点P(−1,4)，由直线与圆的位置关系分析可得k 的取值范围．
本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，属于基础题．
17.【答案】5x −3y =0或x +y +8=0
【解析】解：由{2x −y +1=0x −y −2=0
可得{x =−3y =−5， 可得直线l 1：2x −y +1=0和l 2：x −y −2=0的交点为P(−3,−5)．
若直线经过原点，则它的斜率为53，方程为y +5=53(x +3)，即y =5
3x ，即5x −3y =0． 若直线不经过原点，设它的方程为x +y =m ，把点P 的坐标代入，
可得−3−5=m ，即m =−8，可得直线的方程为x +y +8=0，
故答案为：5x −3y =0或x +y +8=0．
由题意解方程组，求得直线的交点P 的坐标，再用点斜式、待定系数法求出直线的方程．
本题主要考查求直线的交点坐标，用点斜式、待定系数法求直线的方程，属于基础题．
18.【答案】①②③
【解析】解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−4)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)，AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−1)，知： 在①中，AP
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2−2+4=0，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⊥AB ，故①正确； 在②中，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4+4+0=0，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⊥AD ，故②正确； 在③中，由AP ⊥AB ，AP ⊥AD ，AB ∩AD =A ，知AP
⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量，故③正确；
在④中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3,4)，
假设存在λ使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则{−1=2λ2=3λ−1=4λ
，无解， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故④不正确； 综上可得：①②③正确．
故答案为：①②③．
利用向量垂直与平行的性质能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查向量垂直、向量平行等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)斜率是−12，经过点A(8,−2)，由点斜式可得：y +2=−12(x −8)，化为x +2y −4=0；
(2)经过点B(4,2)，平行于x 轴，∴直线方程为y =2，即y −2=0；
(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32，−3，由截距式可得x 32+y −3=1，化为2x −y −3=0； (4)经过两点P 1(3,−2)，P 2(5,−4)，x−35−3=y+2−4+2，化为x +y −1=0．
【解析】(1)由点斜式可得：y +2=−12(x −8)；
(2)斜率为0，可得直线方程为y =2；
(3)由截距式可得x 32+y −3=1； (4)由两点式可得x−35−3=y+2−4+2．
本题考查了直线的点斜式、截距式、两点式与一般式，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由已知可得，圆的半径为
√(1−0)2+(2−1)2=√2．
又圆心为C(1,2)，∴圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=2．
(2)如图，由图可知，切线l的斜率存在，
设切线方程为y+1=k(x−2)，即kx−y−2k−1=0．
=√2，解得k=−1或k=7．
由|k−2−2k−1|
√k2+1
当k=−1时，切线方程为x+y−1=0，
当k=7时，切线方程为7x−y−15=0．
∴切线方程为x+y−1=0或7x−y−15=0；
|PC|=√(2−1)2+(−1−2)2=√10，
切线长为√10−2=2√2．
【解析】(1)由已知结合两点间的距离公式求得半径，则圆的标准方程可求；
(2)设出切线方程，由圆心到直线的距离等于半径列式求得k，则切线方程可求，求出P到圆心的距离，再由勾股定理求弦长．
本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)设M(x0,y0)，P(x,y)
∵P是MN的中点，
∴x0=2x−4，y0=2y，
将用x，y表示的x0，y0代入到x02+y02=4中得(x−2)2+y2=1．
∴点P的轨迹方程为(x−2)2+y2=1；
(2)由(1)知点P的轨迹是以Q(2,0)为圆心，以1为半径的圆．
=4．
点Q到直线3x+4y−26=0的距离d=|6−26|
√9+16
故点P到直线3x+4y−26=0的距离的最大值为4+1=5，最小值为4−1=3．
【解析】本题考查动点的轨迹问题，考查与圆有关的最值问题，属于基础题．
(1)用x和y表示出M的坐标代入圆的方程即可求得P的轨迹方程．
(2)利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用圆心到直线的距离加或减半径即可求得最大和最小值．
22.【答案】解：以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A 1(2,0,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D 1(0,0,2)，D(0,0,0)，
∵E ，F 分别为AB ，A 1C 的中点，∴E(2,1,0)，F(1,1,1)，EF
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)， (1)|EF
⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+0+1=√2． (2)∵AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)=2EF
⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴EF//AD 1， 又AD 1⊂平面AA 1D 1D ，EF ⊄平面AA 1D 1D ，
∴EF//平面AA 1D 1D .
(3)CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)，A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,−2)，
∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴EF ⊥CD ，EF ⊥A 1D ，
又CD ∩A 1D =D ，CD 、A 1D ⊂平面A 1CD ，
∴EF ⊥平面A 1CD ．
【解析】本题考查用空间向量坐标运算求线段长，证明线面平行，证明线面垂直．用向量方法求解立体几何问题，简洁明了，关键是建立适当的空间直角坐标系，求相关点与向量的坐标．
建立适当的空间直角坐标系，求出向量EF
⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标表示， (1)代入向量的模长公式求解；
(2)求出AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标表示，
利用坐标关系判断EF//AD 1，再利用线面平行的判定定理证明； (3)利用CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可证直线EF 垂直于CD 、A 1D ，再利用线面垂直的判定定理证明．
23.【答案】解：(1)连接PB ，因为ABCD −A 1B 1C 1D 1是
正方体，所以AB ⊥平面BCC 1B 1，
所以PB 是PA 在平面BCC 1B 1内的投影，
所以∠APB 为直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角，
tan∠APB =AB PB =AB √BC 2+PC 2=4√42+12=4√1717
． (2)建立如图所示的空间直角坐标系，
A 1(4,0,4)，A(4,0,0)，P(0,4,1)，
因为AD ⊥AB ，AD ⊥AD ，所以AD ⊥平面ABD ，
所以平面ABD 的法向量为A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0,−4)，
AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,4,1)， 所以点P 到平面ABD 1的距离为|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12
4√2=3√22
．
【解析】(1)寻找直线与平面成角，转化为解直角三角形问题；(2)用向量数量积计算点到平面的距离．
本题考查了直线与平面成角问题，考查了点到平面距离问题，属于中档题．。