2021高三数学高考压轴题第一轮复习培优汇编【5】——数列求通项与求和

①－②得 (1
1 2
)S
n
2 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
2n 2 n1
（错位相减）
2
1 2 n1
2n 2 n1
∴
Sn
4
n2 2 n1
；
【例
15—倒序相加法】求证：
C
0 n
3C
1 n
5C
2 n
(2n
1)C
n n
(n 1)2n
【解答】：设 Sn
C
0 n
3C
1 n
5C
2 n
(2n
1)C
n n
…………………………..
n
n
1
an
a2
1 2
a1
a3
2 3
a2
a4
3 4
a3
L
全部相乘，可得 an
a1
1 2
2 3
3L 4
n 2 n 1 1 ； n 1 n n
an1
n n
2 1
an2
an
n
n
1an
1
【例 4—公式法】已知下列两数列{an} 的前 n 项和 Sn 的公式，求{an} 的通项公式。
（1） Sn 3n2 n
之积的数学期望为 E ，则 E ________.
【解答】：任取两个数的概率都为
1 Cn2
，∴
E
1 Cn2
(1 2)
1 Cn2
(1 3) ...
1 Cn2
[ n ( n1)]
E
1 Cn2
[(1 2) (13) ...
n (n 1)]
1 Cn2
[(1 2 ...
n) 2
(12 2
22
通项公式。
【解答】：由已知，得
an1
2an 5 16 8an
，其特征方程为
x
2x 5 16 8x
，解之，得
x
1 2
或
x
5 4
；
an1
1 2
6(an
1) 2
16 8an
an1
，
5 4
12(an
5) 4
16 8an
an1
an1
1
2 5
4
1 2
an an
1
2 5
4
，
an an
1
2 5
所以 an 1成等比数列， an 1 (11)2n1 2n an 2n 1 ；
【例 7—待定系数法】已知数列{an} 满足 a1 1， an1 2an n2 ，求{an} 得通项公式。 a 1
【解答】：待定系数： an1 a(n 1)2 b(n 1) c 2(an an2 bn c) b 2 ， c 3
【例
16—裂项相消法】在数列{an}中， an
1 n 1
2 n 1
n
n
1
，又
bn
an
2 an1
，
求数列 bn的前 n 项的和.
【解答】： an 先求和，代入求得 bn ，列项求和
∵
an
1 2 n n
n1 n1
n1 2
∴
bn
n
2 n 1
8( 1 n
1) n 1
22
∴ 数列 bn的前 n 项和
所以 an1 (n 1)2 2(n 1) 3 2(an n2 2n 3) ， an n2 2n 3 成等比数列， an n2 2n 3 (1 1+2+3) 2 n1 7 2 n1 an 7 2 n1 n2 2n 3 ；
【例 8—构造法或待定系数法】已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 2an 3n ，求{an} 得通项
3、裂项相消法： bn
1 am amd
（ an为等差数列）；
4、公式法：等差：
Sn
S
n
a1 an n
na1
2
nn
2
1
d
，等比：
na1 a1 1 q n
1a1aq11qqann
1 q
q 1 q 1
, q 1；
q 1
其它：12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) ； 6
2 2
,
4 22
,
6 23
, ,
2n 2n
, 前
n
项的和.
2n
1
【解答】：由题可知，{ 2n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ 2n }的通项之积
设 Sn
2 2
4 22
6 23
2n 2n
…………………………………①
1 2
S
n
2 22
4 23
6 24
2n 2 n1
………………………………②（设制错位）
,
当特征方程有且仅有一根
x0
时，则
an
1
x0
是等差数列;当特征方程有两个相异的根
1,
2
时，则
an
an
x1 x2
是等比数列。
x
2x 5 16 8x
。
【例
12—公式法】已知
log3
x
1 log2 3
，求
x
x2
x3
xn
的和.
【错误解答】：由 log3
x
1 log 2 3
log 3
Sn
Sn1 Sn
S
2 n
，化简得：
1 1 1 ，则数列{ 1 } 是等差数列；
Sn Sn1 2
Sn
【例 6—构造法】已知数列{an} 的递推关系为 an1 2an 1 ，且 a1 1 求通项 an 。
【解答】：待定系数： an1 2(an ) 1 ，所以 an1 1 2(an 1) ，
1 4 4
311 4
（2）假设当 n k n N 时等式成立，即：
Sk
1 1 4
1 47
1 7 10
3
k
2
1
3
k
1
k 3k 1
；
那么当 n k 1 时,
Sk 1
1 1 4
1 47
1 7 10
3k
2
1
3 k
1
3 k
1
1 2 3 k
1 1
k
1
3k 2 4k 1 3k 1k 1 k 1
...
n2)]
根据公式：12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) , n N * ，可得： 6
E 1 (n 1)(3n 2) ； 12
an
,
n 1 ； n2
6、特征根法：
an2
pan1
qan
，
an1
man c kan b
；
7、待定系数法： an1 pan f n ；
（2）求和：
1、错位相减法：等比数列求和公式的由来（ an 等差·等比）
2、倒序相加法：等差数列求和公式的由来（若 m n p q ，则 am an a p aq ）；
（2） Sn 3n2 n 1
【解答】：（1） n 1 时 a1 S1 4
n 2 时 an Sn Sn1 6n 2 ，对 n 1 时也成立，
所以 an 6n 2(n N *)
（2） n 1 时 a1 S1 5
n 2 时 an Sn Sn1 6n 2 ，对 n 1 时不成立，
（裂项）
Sn
8[(1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 3
1) 4
(1 n
n
1
)] 1
（裂项求和）
＝ 8(1 1 ) ＝ 8n ； n1 n1
【例
17—数学归纳法】已知数列
1
1
4
,
4
1
7
,
7
1 10
,
,
3
n
2
1
3
n
1
,
，设
Sn
为该数
列前 n 项和，计算 S1, S2 , S3 , S4 的值，根据计算结果猜测 Sn 关于 n 的表达式，并用数学归纳
所以 an
5(n 1) 6n 2(n
2)
；
【例
5—公式法】已知 Sn 是数列{an} 的前 n 项和，且
2an anSn Sn2
1(n
2) ， a1
2 ，证明
数列{ 1 } 是等差数列。 Sn
【解答】：由已知得： 2an
anSn
S
2 n
，把 an
用
Sn
S n 1
进行代换得：
2Sn
S n 1
a2 a1 3 a3 a2 5 a4 a3 7 L
an1 an2 2n 3 an an1 2n 1
全部相加，可得 an a1 3 5 7 L 2n 3 2n 1 n 2 5
【例
2—累加法】已知数列{an } 满足： a1
1 2
,
且a
n
an1
1 2n
，求 an通项公式；
1
2 an 3 3n
1
；从而可得：
an 3n
1 是以
2 3
为公比，
2 3
为首相的等比数列，从而便可求得：
an
3n
2n 。
【例
9—去倒数】在数列{an} 中， an1
an 2an 1
， a1
1，求通项公式；
【解答】：两边同时去倒数得： 1 an1
2 1 an
，从而可得： an
1； 2n 1
高三第一轮复习——数列求通项与求和
一、方法归纳
（1）求通项：
1、迭代法：
累加 累成
: :
an1 an1
an an
f f
n n
；
2、构造法：
aann11
pan q pan q n
；
3、取倒数： an1
can an d
；
4、取对数： an1 ant ；
5、公式法：
SSn1
a1 , Sn1
【例 10—取对数】在数列{an} 中， an1 5an2 ， a1 2 ，求通项公式；
【解答】：两边同时取以 5 为底的对数得： log5 an1 log5 5an2 log5 an1 1 2 log5 an ，
从而可得： an
102n1 5
；
【例
11—周期数列】在数列{an} 中， an1
解答：
a2
a1
1 4
a3
a2
1 8
a4
a3
1 16
L
an1
an2
1 2n1
an
an 1
1 2n
全部相加，可得 an
a1
1 4
1 8
1 16
L
1 2 n1
1 2n
1
1 2n
；
【例 3—累乘法】在数列{an} 中， a1 1, (n 1)an1 nan ，求 an 的表达式。
【解答】：由已知有
an1
x
log3
2
x
1 2
由等比数列求和公式得：
Sn
x
x2
x3
xn ＝
x(1 xn ) 1 x
＝
1 2
(1
1 2n
1 1
)
＝1－
1 2n
；
2
1 【正确解答】：这题不是求前 n 项和，是求和，故： S a1 2 1 ；
1q 1 1 2
【例
13—分组求和法】求数列的前 n
项和：1 1, 1 a
4,
公式。
【解法一】：待定系数： an1 3n1 2(an 3n ) 1 ，
所以 an1 3n1 2(an 3n ) ， an 3n 成等比数列，
an 3n (1 3)2n1 2n an 3n 2n ；
【解法二】：构造法：
an1 3n1
2 3
an 3n
1 3
an1 3n1
①
把①式右边倒转过来得
Sn
(2n
1)C
n n
(2n
1)C
n n
1
3C
1 n
C
0 n
（倒序）
又由 Cnm
C nm n
可得
Sn
(2n
1)C
0 n
(2n
1)C
1 n
3C
n1 n
C
n n
…………..……..
②
①+②得
2Sn
(2n
2)(C
0 n
C
1 n
C
n1 n
C
n n
)
2(n 1) 2n（倒序相加）
∴ Sn (n 1) 2n ；
1 a2
7,
,
1 a n1
3n 2 ；
【解答】：由分析有，
Sn
(1
1 a
1 a2
1 a n1
)
(1
4
7
3n
2)
（分组）
当
a＝1
时， Sn
n
(3n 1)n 2
＝
(3n 1)n 2
（分组求和）
当a
1时， Sn
1
1 an
1 1
(3n 1)n 2
a a1n
＝
a 1
(3n 1)n ； 2
a
【例
14—错位相减法】求数列
4
a1 a1
1
2 5
4
( 1 )n1 2
4 2n
an
2n1 5 2n 4
。
总结：如果数列 an 满足下列条件：已知 a1 的值且对于 n N ，都有 an1
pan q （其 ran h
中 p、q、r、h 均为常数，且
ph
qr, r
o, a1
h r
），那么，可作特征方程 x
px q rx h
5、分组求和：①奇偶分组；②周期分组；③其它分组；
6、换元法：利用换元构造新的特殊数列，方便求和。
7、数学归纳法：先猜测归纳，后证明；
8、基本量法：已知等差或等比，求出一些基本量即可。
二、例题讲解
【例 1—累加法】已知 a1 6 ， an1 an 2n 1 ，求 an通项公式；
解答：依题意， an1 an 2n 1 ，所以
法加以证明。
【解答】：
S1
1 1 4
1 4
S2
1 1 4
1 4
7
2 7
S3
1 1 4
1 47
1 7 10
2 7
1 70
3 10
S4
1 1 4
1 4
7
1 7 10
1 10 13
3 10
1 130
4 13
猜想 Sn
1 1 4
1 47
1 7 10
3
n
2
1
3
n
1
n 3n1
证明：（1）当 n 1 时，左边 1 1 , 右边= 1 1 ，等式成立；
3k 1 (3k 1)(3k 4) (3k 1)(3k 4) (3k 1)(3k 4) (3k 4)
k 1
[3(k 1) 1]
即当 n k 1 时，等式也成立,
∴由(1)和(2)可以判定，等式对任何 n N 都成立。