信息技术应用用几何画板探究点的轨迹椭圆

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一、知识回顾
1．短轴长为8，离心率为3
的椭圆两焦点分别为F1、 F2，过点F1作直线l交椭5
圆于 A、B 两点，则ABF 2的周长为.
2．点 P 与定点 F（2,0）的距离和它到定直线x 8 的距离之比是 1:2，求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

二、探索新知
1.用《几何画板》探究动点 M 的轨迹
探究 1：F是定点，l是不经过点F的定直线，动点M到定点F的距离和它到
定直线 l 的距离的比e是小于 1 的常数，观察动点 M 的轨迹；
探究 2：在0 e 1的范围内，改变e的大小，或改变点F与直线l的相对位置，观察动点 M 的轨迹变化。

2.椭圆的第二定义
若点 M ( x, y) 与定点F的距离和它到定直线l 的距离的比是常数e
（
0 e 1
），
则点 M 的轨迹是一个椭圆。

定点 F叫，定直线 l 叫。

设椭圆 x 2y 21上任一点 M ( x, y) ，焦点坐标为 F ( c,0)(c 0) 。

a 2
b 2
问题 1：你能否将椭圆上一点 M(x,y)到焦点F (c,0)( c0) 的距离表示成点M横坐标 x 的函数？
|MF |(x c) 2y 2解：2
y2代入消去 y 2得：
x
1
a 2
b 2
1
问题 2：你能推导出对应焦点 F (c,0)(c0) 的准线方程吗？
x a2表示点 M(x,y)到定直线的距离，故准线方程为。

c
推广：
（ 1）对于椭圆x
2y 2 1 ，相应于右焦点 F (c,0)的是右准线，方程是，a 2 b 2
根据对称性，相应于左焦点 F ( c,0) 的是左准线，方程是。

（2）对于椭圆y
2
x 2 1 的准线方程是．a 2b2
问题 3：点 M到焦点的距离和它到对应准线的距离之比的常数 e 是什么？
MF
d
3.离心率的几何意义：椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应
准线距离的比。

三、应用举例
例 1、求椭圆x
2y2
1的右焦点和右准线；左焦点和左准
线；
2516
2
例 2、椭圆x
2y21上的点M到左准线的距离是 2.5 ，求
M到右焦点的距离；2516
例 3、已知点M为椭圆x
2y2
1的上任意一点， F1、 F2分别为左右焦点；2516
椭圆内有一点 A(1,2)
，求|MA|
5
| MF1 |的最小值。

3
课堂小结
1、椭圆的第一定义和第二定义、准线方程；
2、椭圆离心率的几何意义。

3
四、课后练习
1、已知椭圆满足： e=0.5，右准线方程为x=4，求椭圆的标准方程。

2、若椭圆x
2
y
2 1 内有一点P（1，-1），F为右焦点，椭圆上有一点M，求使
43
MP 2 MF 的值最小的点 M 的坐标；
3、设 AB 是过椭圆右焦点的弦，求以 AB 为直径的圆与椭圆的右准线的位置关系。

4、设 P x0, y0是椭圆x
2
y21(a b 0) 上一点， F1、 F2分别为椭圆的左、右a2b2
焦点， e 为椭圆的离心率。

（ 1）求证： PF1 a ex0 , PF2a ex0；（ 2）求 PF1的最大、最小值。

4。