用二项展开式的通项公式求指定项

用二项展开式的通项公式求指定项
作者：宋秀勇
来源：《新课程·中学》2011年第04期
一、求常数项
例1.（2009年四川）（2x-）6的展开式的常数项是（用数字作答）。

分析：本题直接运用通项公式，要求常数项，则x的指数为0，再求出整数r。

解：Tr+1=（-1）rC（2x）6-r（）r=（-1）rC26-2rx6-2r，令6-2r=0，得r=3，故展开式的常数项为（-1）3C=-20。

二、求有理项
例2.在二项式（+）的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项。

分析：本题涉及展开式前三项的系数成等差数列，注意展开式系数与二项式系数不同，要求有理项，可以通过通项公式解决。

解：由项式的展开式的通项公式为：Tr+1=C（）（）=Cx∴前三项的r=0，1，2，得系数为：T1=1，T2=C=n，T3=C=n（n-1），由已知：2T2=T1+T3∴n=1+n（n-1）∴n=8，通项公式为Tr+1= Cx，r=0，1，2…8，Tr+1为有理项，故16-3r是4的倍数∴r=0，4，8，依次得到有理项为T1=x4，T5=Cx=x，T9=x=x。

三、求二项式系数最大的项或展开式系数最大的项
例3.（1+2x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和展开式系数最大的项。

分析：根据展开式中第6项与第7项的系数相等可求出n，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项。

（1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大。

（2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得。

解：T6=C（2x）5，T7=C（2x）6，依题意有C25=C26?圯n=8∴（1+2x）8的展开式中，二项式系数最大的项为T5=C（2x）=1120x。

设第r+1项系数最大，则有C•2r≥C•2C•2r≥C•2?圯
5≤r≤6 ∴r=5或r=6（∵r∈｛0，1，2…，8｝）。

∴系数最大的项为：T6=1792x5，T7=1792x6。

四、求其他指定项
例4.（+a）展开式中x2项的系数为60，求实数a。

分析：本题直接运用通项公式，则x指数为=2。

解：设展开式中第r+1项为含有x2项，则由通项公式有Tr+1=C•xar
∴Ca=60=2?圯r=2a=±2∴a=±2为所求。

（作者单位湖北省巴东县第三高级中学）。