中考数学复习第四节 代数式及整式运算

第四节代数式及整式运算
本节知识导图
河北中考命题规律
考什么怎么考
考点年份题号题型考查方式考频命题趋势
代数式2019 18 填空题
通过示例
列代数式
并求值
5年1
考
主要考查
代数式求
值及整式
的运算，
以幂的运
算为
主．预计
2020年仍
会考查代
数式求值
及整式运
算2018 12 选择题
将铁丝围
成的正方
形向外扩1
cm，确定
铁丝增加
的长度
5年1
考
2018 18 填空题
相反数与
平方差公
式结合求
值
5年
3考
2019 21 解答题整式化简
2018 20 解答题
整式化
简，去括
号和合并
同类项
2017 22 解答题
以“发
现、验
证、延
伸”为背
景考查整
式化简
2015 21 解答题
整式化简
并代入求
值
河北中考考题试做
列代数式
1．(2018·河北中考)用一根长为a(单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形．要将它按如图的方式向外等距扩1(单位：cm)，得到新的正方形，则这根铁丝需增加(B)
A．4 cm B．8 cm
C．(a＋4) cm D．(a＋8) cm
代数式求值
2．(2019·河北中考)如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：，即4＋3＝7.则
(1)用含x 的式子表示m ＝3x ； (2)当y ＝－2时，n 的值为1.
3．(2016·河北中考)若mn ＝m ＋3，则2mn ＋3m －5nm ＋10＝1.
整式运算及幂的运算性质
4．(2019·河北中考)小明总结了以下结论： ①a(b ＋c)＝ab ＋ac ； ②a(b －c)＝ab －ac ；
③(b －c)÷a ＝b÷a －c÷a(a ≠0)； ④a÷(b ＋c)＝a÷b ＋a÷c(a ≠0)． 其中一定成立的个数是(C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5．(2018·河北中考)若2n ＋2n ＋2n ＋2n ＝2，则n ＝(A ) A ．－1 B ．－2 C ．0 D .14
6．(2018·河北中考)将9.52变形正确的是(C ) A ．9.52＝92＋0.52
B ．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)
C ．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52
D ．9.52＝92＋9×0.5＋0.52
7．(2016·河北中考)计算正确的是( D ) A ．(－5)0＝0 B ．x 2＋x 3＝x 5 C ．(ab 2)3＝a 2b 5 D ．2a 2·a －
1＝2a
8．(2019·河北中考)若7－
2×7－
1×70＝7p ，则p 的值为－3.
9．(2018·河北中考)嘉淇准备完成题目：
化简：(x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．
发现系数“”印刷不清楚．
(1)他把“”猜成3，请你化简：
(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？
解：(1)原式＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2
＝－2x2＋6；
(2)设“”为a，则
原式＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2＝(a－5)x2＋6.
∵他妈妈看到该题标准答案的结果是常数，
∴a－5＝0，即a＝5.∴原题中“”是5.
代数式的应用
10．(2019·河北中考)已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B＞0.
尝试化简整式A.
发现A＝B2.求整式B.
联想由以上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n＞1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图所示．填写下表中B的值：
直角三角形三边n2－1 2n B
勾股数组Ⅰ8
勾股数组Ⅱ35
解：尝试A＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1.
发现∵A＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2，
又A＝B2，B＞0，∴B＝n2＋1.
联想17；37.
11．(2017·河北中考)
发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证
(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数；
延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
解：验证(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15，15÷5＝3.
∴(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍；
(2)由五个连续整数的中间一个为n，得其余的4个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2.
它们的平方和为(n－2)2＋(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4＝5n2＋10.
∵5n2＋10＝5(n2＋2)，且n是整数，∴n2＋2是整数．
∴任意五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸余数是2.理由：设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n－1，n＋1.
它们的平方和为(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＝n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＝3n2＋2.
∵n是整数，∴n2是整数．
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.
中考考点清单
代数式和整式的有关概念
1．代数式：用运算符号连接数和字母组成的式子，我们把这样的式子叫做代数式．
2．列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来．
3．代数式的值：用__数值__代替代数式中的字母，按照代数式中给出的运算计算出的__结果__，叫做代数式的值．
【方法点拨】求代数式值的方法主要有两种：一种是直接代入法；另一种是整体代入法．对于整体代入求值的，要注意从整体上分析已知代数式与欲求代数式之间结构的异同，从整体上把握解题思路，寻求解题的方法．
例如，(1)a＝－1，则3a2－a＝4；
(2)若2m＋n＝4，则代数式6－2m－n的值为2；
(3)3x2－5＝x，则3x2－x＝5，6x2－2x＋10＝20.
4．代数式的分类
代数式⎩
⎪⎨⎪⎧有理式⎩⎪⎨⎪⎧整式⎩⎪⎨⎪⎧ 单项式 多项式
分式
无理式
【温馨提示】
(1)在建立数学模型解决问题时，常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列出代数式； (2)列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言(和、差、积、商、乘以、除以等)在数学语言中的含义；
(3)注意书写规则：a ×b 通常写作a·b 或ab ；1÷a 通常写作1a
；数字通常写在字母前面，如a ×3通常写作3a ；
带分数一般写成假分数，如115a 通常写作6
5
a.
整式的相关概念
单项式
概念
由数与字母(或字母与字母)__相乘__组成的代数式，我们把这样的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个__字母__也是单项式)
系数 单项式中的__数字__因数叫做这个单项式的系数 次数 单项式中的所有字母的__指数的和__叫做这个单项式的次数
多项式
概念 由单项式__相加__组成的代数式，我们把这样的代数式叫做多项式
项 多项式中的每一个单项式都叫做这个多项式的项 次数 在多项式里，__最高次__项的次数，叫做这个多项式的次数
整式
单项式和__多项式__统称为整式
同类项
在多项式中，我们把那些所含的字母相同，并且相同字母的指数也
相同的项，叫做同类项．所有的常数项都是同类项
【易错警示】
(1)在掌握合并同类项时注意：
①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0； ②不要漏掉不能合并的项；
③只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式)． 合并同类项的关键：正确判断同类项．
(2)同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算，可用同底数幂的乘法检验同底数幂的除法是否正确． (3)遇到幂的乘方时，需要注意： 当括号内有“－”号时，
(－a m )n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧－a mn （n 为奇数），a mn （n 为偶数）.
例如，a 2a 3＝a 5，3a 2÷a ＝3a ；(－a 4)2＝a 8.
整式的运算
法则
整式加减 (1)去括号；(2)合并同类项
幂的
运算
同底数幂相乘 a m ·a n ＝__a m ＋
n __(m ，n 都是整数) 幂的乘方 (a m )n ＝__a mn __(m ，n 都是整数) 积的乘方 (ab)n ＝__a n b n __(n 是整数)
同底数幂相除 a m ÷a n ＝__a m －
n __(a ≠0，m ，n 都是整数)
整式的
乘法
单项式与多项式相乘 m(a ＋b)＝__am ＋bm __
多项式与多项式相乘
(a ＋b)(m ＋n)＝__am ＋an ＋bm ＋bn __
乘法
公式
平方差公式(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__完全平方公式(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__整式的
除法
单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式先用多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商
相加
整式混合运算的顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到
右的顺序计算
典题精讲精练
代数式求值
【例1】若a－3b＝2，3a－b＝6，则b－a的值为－2.
【解析】由题意得(a－3b)＋(3a－b)＝8，∴4(a－b)＝8.∴b－a＝－2.
【方法点拨】求代数式的值可以直接代入计算，如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值，考查类型主要有以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
,
1．(2019·海南中考)当m＝－1时，代数式2m＋3的值是(C)
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．(2019·荆门中考)已知实数x，y满足方程组{3x－2y＝1，x＋y＝2.则x2－2y2的值为(A)
A．－1 B．1 C．3 D．－3
整式的概念及运算
【例2】(2019·哈尔滨中考)下列运算一定正确的是(D)
A ．2a ＋2a ＝2a 2
B ．a 2·a 3＝a 6
C ．(2a 2)3＝6a 6
D ．(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2
【解析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、平方差公式.2a ＋2a ＝4a ，a 2·a 3＝a 5，(2a 2)3＝8a 6，(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2.
【例3】(2019·吉林中考)先化简，再求值： (a －1)2＋a(a ＋2)，其中a ＝ 2.
【解析】本题考查代数式的化简求值．先根据代数的运算方法转化成最简代数式，再代入求值即可求解． 【解答】解：原式＝a 2－2a ＋1＋a 2＋2a ＝2a 2＋1. 当a ＝2时，
原式＝2×(2)2＋1＝5.
3．(2019·宁波中考)下列计算正确的是(D ) A ．a 3＋a 2＝a 5 B ．a 3·a 2＝a 6 C ．(a 2)3＝a 5 D ．a 6÷a 2＝a 4
4．(2019·石家庄内四区模拟)已知M ＝－1
2a ＋4⎝⎛⎭⎫a －23b －⎝⎛⎭⎫－32a ＋13b . (1)当a ＝1
5
，b ＝－1时，求M 的值；
(2)直接写出一组a ，b 的值，使M 的值与(1)中的结果相同． 解：(1)M ＝－12a ＋4a －83b ＋32a －1
3b
＝⎝⎛⎭⎫－12＋4＋32a －⎝⎛⎭⎫83＋1
3b ＝5a －3b.
当a ＝15，b ＝－1时，M ＝5×1
5
－3×(－1)＝4；
(2)答案不唯一，只需满足5a －3b ＝4即可，如a ＝2，b ＝2.
请完成限时训练A 本P A 5～A 6，选做B 本P B 6。