湖南省永州市第一中学高中数学数列多选题100及解析

湖南省永州市第一中学高中数学数列多选题100及解析
一、数列多选题
1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =
C ．135********a a a a a ++++=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a +++= 【答案】ACD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】
对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；
对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：
13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+
+-=，故C
正确.
对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2
121a a a =，
()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，
()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019
a a a a a a a a
+++==，故D 正确；
故选：ACD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.
2．如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，(
)*
n F n ∈N
为边BC 上的一列点，连接
n AF 交BD 于n G ，点()*n G n ∈N 满足()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+⋅，其中数列
{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）
A ．313a =
B ．数列{}3n a +是等比数列
C ．43n a n =-
D ．1
22n n S n +=--
【答案】AB 【分析】
化简得到()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，根据共线得到
1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，计算123n n a +=-，依次判断每个选项得到
答案. 【详解】
()()
11
2232
n n n n n n G D a G A a G A G B +=⋅-+⋅
+， 故()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，,n n G D G B 共线，故
1230n n a a +--=，
即()1323n n a a ++=+，11a =，故1342n n a -+=⨯，故1
23n n a +=-.
432313a =-=，A 正确；数列{}3n a +是等比数列，B 正确；
1
23n n a +=-，C 错误；2124323412
n
n n S n n +-=-=---，故D 错误.
故选：AB . 【点睛】
本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.
3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ） A ．512a = B ．公差3d =
C ．()261n S n n =+
D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为
64n
n + 【答案】BCD 【分析】
根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、
C ，
再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】
因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，
对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；
对于选项C ：()()
2222132612
n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭
， 所以前n 项和为1111111
1132558811
3132n n ⎛⎫
-+-+-++
-
⎪-+⎝⎭
()611132322324
n n n n n ⎛⎫=-== ⎪
++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
4．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列
B ．若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列
C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >
D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数
列 【答案】AB 【分析】
对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出
2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能
10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶
数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 【详解】
对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2
2n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以
142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正
确；
对于B ，若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，所以122(2)n
n S n -=-≥，所以
12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =
则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；
对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】
方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
5．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，下列四个命题中不正确的有（ ） A ．若0q ≠，且对于*
2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，则数列{}n a 为等比数列
B ．若n
n S Aq B =+（非零常数q ，A ，B 满足1q ≠，0A B +=），则数列{}n a 为等比数
列
C ．若数列{}n a 为等比数列，则232,,,
n n n n n S S S S S --仍为等比数列
D ．设数列{}n a 是等比数列，若123a a a <<，则{}n a 为递增数列 【答案】AC 【分析】
若0n a =，满足对于*2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，可判断A ；利用
n a 与n S 的关系，可求得数列{}n a 的通项公式，可判断B ；若数列{}n a 为等比数列，当公
比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,
n n n n n S S S S S --均为0，可判断C ；设数列{}
n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即12
11a a q a q <<，分类讨论10a >与10
a <两种情况，可判断D ； 【详解】
对于A ，若0n a =，满足对于*2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，故A 错
误；
对于B ，当2n ≥时，(
)1
11(1)n
n n n n n a S S Aq B Aq
B Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠；当
1n =时，0A B +=，则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式，故数列{}n a 是首项为
()1A q -公比为q 的等比数列，故B 正确；
对于C ，若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时
232,,,
n n n n n S S S S S --均为0，不为等比数列，故C 错误；
对于D ，设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即12
11a a q a q <<，若
10a >，可得21q q <<，即1q >，则{}n a 为递增数列；若10a <，可得21q q >>，即01q <<，则{}n a 为递增数列；故D 正确；
故选：AC 【点睛】
结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q ≠-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,,
n n n n n S S S S S --仍成等比数列，其公比为
n q ；同理等差数列和的性质：公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列232,,,
m m m m m S S S S S --构成等差数列，公差为md ，考查学生的分析能力，属于中档
题.
6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝
，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2
920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】AB 【分析】
利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到
12n n
a ，进而得到n
b ；利用1
0n
n
b b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的
取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】
当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=
21n n S a ∴=-
当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-
1
122n n n
n n a S S a a ，即：12n n a a -=
∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
12n n
a
2
920n n a b n n =-+-，21
920
2
n n n n b --+-∴= ()()2
2211191209201128
0222
n n n n n
n n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()2
1128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<
又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．
7．（多选题）已知函数()22()
()
n n f n n n ⎧=⎨-⎩当为奇数时当为偶数时，且()()1n a f n f n =++，则n
a 等于（ ）
A ．()21n -+
B ．21n -
C ．21n
D ．12n -
【答案】AC 【分析】
对n 进行分类讨论，按照()()1n a f n f n =++写出通项即可. 【详解】
当n 为奇数时，()()()()2
2112121n a f n f n n n n n =++=-+=--=-+； 当n 为偶数时，()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+，
所以()()()2121n n n a n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩
当为奇数时当为偶数时. 故选：AC . 【点睛】
易错点睛：对n 进行分类讨论时，应注意当n 为奇数时，1n +为偶数；当n 为偶数时，
1n +为奇数.
8．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）
A ．3m =
B ．1818
1
10335
4kk i a =⨯+=∑
C ．(31)3ij j
a i =-⨯ D ．()1
(31)314
n S n n =
+- 【答案】ABD 【分析】
根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，进而可得ii a ，根据错位相减法可求得18
1
kk
i a
=∑，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由
此可以判断各选项的真假． 【详解】
∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 1
2
=-（舍去），A 正确； ∴()()1
11
13
213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，C 错误；
∴()1
313i ii a i -=-⋅，
0171811223318182353533S a a a a =+++⋯+=⨯+⨯+⋯+⨯① 12181832353533S =⨯+⨯+⋯+⨯②,
①-②化简计算可得：181810335
4
S ⨯+=,B 正确；
S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )
(
)()(
)1121
113131313
13
13
n
n
n
n a a a ---=
++
+
---
()
()231131.22
n
n n +-=
- ()1
=(31)314
n n n +-，D 正确； 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.
9．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数
列”
，其通项公式1122n n
n a ⎡⎤⎛⎛-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列
{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）
A ．10711S a =
B ．2021201920182a a a =+
C ．202120202019S S S =+
D ．201920201S a =-
【答案】AB 【分析】
选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =++++
+，
202012S a a =+++2020a ，
两式错位相减可判断.选项D.由
()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.
【详解】
因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；
由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =++++
+，202012S a a =+++2020a ，
两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，
所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为
()()()()()123324354652122
n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+++
+=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.
故选：AB. 【点睛】
关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由
202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得
202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得
()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.
10．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．数列{}n a 为等比数列
B ．数列{}n S n +为等比数列
C ．数列{}n a 中10511a =
D ．数列{}2n S 的前n 项和为
2224n n n +---
【答案】BCD 【分析】 由已知可得
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得
2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公
式，可判断C ；
由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】
因为121n n S S n +=+-，所以
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++．
又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；
所以2n n S n +=，则2n
n S n =-．
当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11
121a -≠-，故A 错误；
由当2n ≥时，1
2
1n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；
因为1
222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-
()()()231
22
412122 (2)
212 (22412)
2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=
-+=---⎢⎥-⎣
⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由
121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，
考查了推理运算能力，属于中档题,。