重心与形心
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Biblioteka 力系的平衡\重心与形心 目录
力系的平衡\重心与形心 3. 分割法 某些形状较为复杂的均质物体常可看成为几个简单物体的组合，
这些简单物体的重心位置均为已知，于是可利用重心坐标公式求得 该物体重心的位置。
【例3.14】 试求图示T形截面的形心位置。
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力系的平衡\重心与形心
【解】 建立坐标系Oxy，由于截面关
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力系的平衡\重心与形心
4. 实验法
形状复杂或质量分布不均匀的物体，要通过计算来确定它们重 心的位置是比较困难的，这时可采用实验的方法测定其重心的位置。 常用的方法有：
1) 悬挂法。 对于平板形物体或具有对称面的 薄零件，可将该物体（或取一均质板 按一定比例做成模拟用的截面）用线 悬挂在任一点A，根据二力平衡条件， 重心必在过悬挂点A的铅垂线上，标出 此线如图(a)所示。然后再将它悬挂在 任意点B，标出另一铅垂线如图(b)所示。 这两条铅垂线的交点就是该物体 的重心。有时可再作第三次悬挂用来校验。
xC
Wi xi W
， yC
Wi yi ， W
zC
Wi zi W
目录
力系的平衡\重心与形心
1.3 形心和静矩的概念
对于均质物体，若用表示物体每单位容积的重量，Vi表示各微 小部分的体积，V表示整个物体的体积，则Wi=Vi以及 W=ΣWi=ΣVi=V， 代入重心坐标公式，得
xC
xiVi ， V
于y轴对称，形心C必在y轴上，故xC=0。 为了求出yC，将T形截面分割为Ⅰ、Ⅱ两 个矩形，它们的面积和形心坐标分
矩形Ⅰ： A1=13500mm2，y1=165mm 矩形Ⅱ： A2=9000mm2 ， y2=15mm 由形心坐标公式得
yC
yi Ai A
y1A1 y2 A2 A1 A2
1651350015 9000mm 105mm 13500 9000
yC
yi Ai A
式中：Ai、A——分别为各微小部分和薄板的面积。
目录
力系的平衡\重心与形心
1.4 确定重心和形心位置的方法
1. 利用对称性
凡对称的均质物体，其重心（形心）必在它们的对称面、对称 轴或对称中心上。例如，均质圆球的重心在其对称中心（球心）上； 均质矩形薄板和工字形薄板的重心在其两对称轴的交点上；均质T 形薄板和槽形薄板的重心在其对称轴上（如图）
建筑力学
力系的平衡\重心与形心
重心与形心
1.1 重心的概念
任何物体都可认为是由许多微小部分组成的。在地面及其附近 的物体，它的微小部分都受到重力的作用。这些重力汇交于地心， 但因地球的半径远大于物体的尺寸，因此可以足够精确的认为这些 重力组成一个空间平行力系。此平行力系的合力称为物体的重力， 合力的作用点称为物体的重心，合力的大小称为物体的重量。
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力系的平衡\重心与形心
2) 称重法。
对于形状复杂或体积较大的物
体常用称重法测定其重心。例如，连
杆具有对称轴，所以只要确定重心在
此轴上的位置h。先称得连杆的重量W，
并测得连杆两端轴心A、B之间距离l。
将连杆的B端放在台秤上，A端搁置在
水平面或刀口上，使中心线AB处于水
平位置，(如图)，测得B端反力FB 的大小，由力矩方程
∑MA= 0 FBl－Wh = 0 得 若测得A端反力FA的大小，则可得 可用于校验。
h = FBl/W
h´= FAl/W
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建筑力学
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力系的平衡\重心与形心 2. 积分法 对于简单形状的均质物体，可将式重心与形心的坐标公式写成
积分形式，用积分法计算其重心或形心。 在有关工程手册中，可查得用此法求出的一些简单形状均质物
体的重心位置。几种常用的情况列成表3.2，以备查用。
表3.2 简单形状均质物体重心的位置
目录
力系的平衡\重心与形心 目录
yC
yiVi ， V
zC
ziVi V
由此可见,均质物体的重心位置完全取决于物体的几何形状而
与物体的重量无关。因此，均质物体的重心也称形心。
目录
力系的平衡\重心与形心
对于均质等厚薄板或平面图形，如取沿平板厚度方向的中间 平面或平面图形所在的平面为Oxy坐标面（如图），则其形心坐 标为
xC
xi Ai ， A
WyC W1y1 W2 y2 Wn yn Wi yi
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力系的平衡\重心与形心
再对y轴求矩，有
WxC W1x1 W2x2 Wnxn Wixi
若将Oxz坐标面作为地面，则各Wi及W的方向如图中虚线段的 箭头所示，这时再对x轴求矩，有
WzC W1z1 W2z2 Wnzn Wizi
由以上三式可得计算物体 重心坐标的公式，即
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力系的平衡\重心与形心
1.2 重心坐标公式
为了确定物体重心的位置，可将 它分为许多微小部分（设为n个），设 任一微小部分Mi的重力为Wi，物体的 重力为W。建立直角坐标系Oxyz（如 图），设物体重心C的坐标为xC、yC、 zC，各微小部分重心的坐标为xi、yi、zi、。根据合力矩定理可知， 物体的重力W对某轴之矩等于各微小部分的重力对同轴之矩的代数 和，先对x轴求矩，有
力系的平衡\重心与形心 3. 分割法 某些形状较为复杂的均质物体常可看成为几个简单物体的组合，
这些简单物体的重心位置均为已知，于是可利用重心坐标公式求得 该物体重心的位置。
【例3.14】 试求图示T形截面的形心位置。
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【解】 建立坐标系Oxy，由于截面关
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4. 实验法
形状复杂或质量分布不均匀的物体，要通过计算来确定它们重 心的位置是比较困难的，这时可采用实验的方法测定其重心的位置。 常用的方法有：
1) 悬挂法。 对于平板形物体或具有对称面的 薄零件，可将该物体（或取一均质板 按一定比例做成模拟用的截面）用线 悬挂在任一点A，根据二力平衡条件， 重心必在过悬挂点A的铅垂线上，标出 此线如图(a)所示。然后再将它悬挂在 任意点B，标出另一铅垂线如图(b)所示。 这两条铅垂线的交点就是该物体 的重心。有时可再作第三次悬挂用来校验。
xC
Wi xi W
， yC
Wi yi ， W
zC
Wi zi W
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力系的平衡\重心与形心
1.3 形心和静矩的概念
对于均质物体，若用表示物体每单位容积的重量，Vi表示各微 小部分的体积，V表示整个物体的体积，则Wi=Vi以及 W=ΣWi=ΣVi=V， 代入重心坐标公式，得
xC
xiVi ， V
于y轴对称，形心C必在y轴上，故xC=0。 为了求出yC，将T形截面分割为Ⅰ、Ⅱ两 个矩形，它们的面积和形心坐标分
矩形Ⅰ： A1=13500mm2，y1=165mm 矩形Ⅱ： A2=9000mm2 ， y2=15mm 由形心坐标公式得
yC
yi Ai A
y1A1 y2 A2 A1 A2
1651350015 9000mm 105mm 13500 9000
yC
yi Ai A
式中：Ai、A——分别为各微小部分和薄板的面积。
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1.4 确定重心和形心位置的方法
1. 利用对称性
凡对称的均质物体，其重心（形心）必在它们的对称面、对称 轴或对称中心上。例如，均质圆球的重心在其对称中心（球心）上； 均质矩形薄板和工字形薄板的重心在其两对称轴的交点上；均质T 形薄板和槽形薄板的重心在其对称轴上（如图）
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重心与形心
1.1 重心的概念
任何物体都可认为是由许多微小部分组成的。在地面及其附近 的物体，它的微小部分都受到重力的作用。这些重力汇交于地心， 但因地球的半径远大于物体的尺寸，因此可以足够精确的认为这些 重力组成一个空间平行力系。此平行力系的合力称为物体的重力， 合力的作用点称为物体的重心，合力的大小称为物体的重量。
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2) 称重法。
对于形状复杂或体积较大的物
体常用称重法测定其重心。例如，连
杆具有对称轴，所以只要确定重心在
此轴上的位置h。先称得连杆的重量W，
并测得连杆两端轴心A、B之间距离l。
将连杆的B端放在台秤上，A端搁置在
水平面或刀口上，使中心线AB处于水
平位置，(如图)，测得B端反力FB 的大小，由力矩方程
∑MA= 0 FBl－Wh = 0 得 若测得A端反力FA的大小，则可得 可用于校验。
h = FBl/W
h´= FAl/W
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力系的平衡\重心与形心 2. 积分法 对于简单形状的均质物体，可将式重心与形心的坐标公式写成
积分形式，用积分法计算其重心或形心。 在有关工程手册中，可查得用此法求出的一些简单形状均质物
体的重心位置。几种常用的情况列成表3.2，以备查用。
表3.2 简单形状均质物体重心的位置
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力系的平衡\重心与形心 目录
yC
yiVi ， V
zC
ziVi V
由此可见,均质物体的重心位置完全取决于物体的几何形状而
与物体的重量无关。因此，均质物体的重心也称形心。
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力系的平衡\重心与形心
对于均质等厚薄板或平面图形，如取沿平板厚度方向的中间 平面或平面图形所在的平面为Oxy坐标面（如图），则其形心坐 标为
xC
xi Ai ， A
WyC W1y1 W2 y2 Wn yn Wi yi
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力系的平衡\重心与形心
再对y轴求矩，有
WxC W1x1 W2x2 Wnxn Wixi
若将Oxz坐标面作为地面，则各Wi及W的方向如图中虚线段的 箭头所示，这时再对x轴求矩，有
WzC W1z1 W2z2 Wnzn Wizi
由以上三式可得计算物体 重心坐标的公式，即
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1.2 重心坐标公式
为了确定物体重心的位置，可将 它分为许多微小部分（设为n个），设 任一微小部分Mi的重力为Wi，物体的 重力为W。建立直角坐标系Oxyz（如 图），设物体重心C的坐标为xC、yC、 zC，各微小部分重心的坐标为xi、yi、zi、。根据合力矩定理可知， 物体的重力W对某轴之矩等于各微小部分的重力对同轴之矩的代数 和，先对x轴求矩，有