2015高考数学一轮课件：12-4数系的扩充与复数的引入

解析 (1)法一 |z|＝|1|－3＋3ii|2|＝12，
z·z ＝|z|2＝14.
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法二
z＝－213＋＋i
＝－ 3i
43＋4i ，
z·z ＝－ 43＋4i － 43－4i ＝14.
(2)
25＋－42ii31－4＋i5i＝2
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【自主体验】 1．(2014·滨州模拟)已知a－i 2i＝b＋i(a，b∈R)，则 a－b＝________.
解析 a－2i＝bi＋i2＝－1＋bi，∴a＝－1，b＝－2，∴a－b＝ 1. 答案 1
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3．对复数四则运算的理解 (7)(教材习题改编)1i ＝－i. (√) (8)(2013·浙江卷改编)(2＋i)(3＋i)＝5＋5i. (√)
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(3)|z|＝1⇔z·z ＝1.
(4)||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
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辨析感悟 1．对复数概念的理解
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解． (×)
(2)2i比i大． (×)
(3)(教材习题改编)复数1－i的实部是1，虚部是－i. (×)
解析 (1)ab＝0⇒a＝0 或 b＝0，这时 a＋bi ＝a－bi 不一定为
纯虚数，但如果 a＋bi ＝a－bi 为纯虚数，则有 a＝0 且 b≠0，
这时有 ab＝0.
(2)∵z2＋ z2 ＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋ z2 的虚部为 0.
答案 (1)必要不充分 (2)0
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由复数相等得－x＝y＝4. 3，
∴xy＝＝4－，3， ∴|z|＝ 42＋－32＝5.
答案 5
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[反思感悟] (1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数 化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等， 可以列出方程(组)来求未知数的值． (2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数 问题最基本的思想方法．
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【训练2】 (1)(2013·四川卷改编)如图， 在复平面内，点A表示复数z，则 图中表示z的共轭复数的点是________． (2)(2013·湖北卷)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内 对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
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2．复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i ； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i ； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i ； (4)乘方：zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝zn1·zn2； (5)除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii ＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(c＋di≠0)．
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(2)复数 a－31－0 i＝a－10130＋i＝(a－3)－i 为纯虚数， ∴a－3＝0， ∴a＝3. 答案 (1)5－i (2)3
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规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的 实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处 理．
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1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方 根．除法实际上是分母实数化的过程．
2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则 的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．
3．要记住一些常用的结果，如
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考点二 复数的几何意义
【例 2】 (1)(2013·湖南卷改编)复数 z＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复
平面上对应的点位于第________象限． (2)(2013·山东卷改编)复数 z＝2－i i2(i 为虚数单位)，则|z|＝
________. 解析 (1)z＝i＋i2＝－1＋i，对应的点为(－1,1)，位于复平面
第二象限．
(2)∵z＝4－4ii－1＝3－i 4i＝3－i·i4ii＝4－＋13i＝－4－3i，
∴|z|＝ －42＋－32＝5.
答案 (1)二 (2)5
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规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内 的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数 的“数”与“形”的特征．
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3．共轭复数 把实部 相等，虚部 互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数，
复数 z＝a＋bi(a、b∈R)的共轭复数记做 z ，即 z ＝ a－bi (a，
b模叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)， 记作|z| 或|a＋bi| ，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2.一般地，|z1－z2|表示 z1 与 z2 的对应点间的距离． (2)|z|2＝| z |2＝|z2|＝| z 2|＝z·z .
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解析 (1)设 z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则 z 的共轭复数 z ＝－a－bi， 它的对应点为(－a，－b)，是第三象限的点． (2)在复平面内，复数 z＝a＋bi 与点(a，b)一一对应． ∵点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b)，则复数 z2＝－2＋3i. 答案 (1)B (2)－2＋3i
[感悟·提升] 1．两点提醒 一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有 解，且方程的根成对出现，如(1)； 二是两个虚数不能比较大小，如(2)． 2．两条性质 (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中 n∈N)． (2)(1±i)2＝±2i，11＋ －ii＝i，11－ ＋ii＝－i.
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2．(2012·湖北卷)若31＋－bii＝a＋bi(a，b∈R)，则 a＋b＝________. 解析 由已知得 3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝a＋bi－ai－bi2＝(a＋b) ＋(b－a)i， 根据复数相等得ab＋ ＝bb＝ －3a， ， 解得ab＝ ＝03， . ∴a＋b＝3. 答案 3
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考点一 复数的概念 【例 1】 (1)(2013·山东卷改编)复数 z 满足(z－3)(2－i)＝5(i 为虚数
单位)，则 z 的共轭复数 z ＝________.
(2)(2013·安徽卷改编)设 i 是虚数单位，若复数 a－31－0 i(a∈R) 是纯虚数，则 a 的值为________． 解析 (1)由(z－3)(2－i)＝5， 得 z＝2－5 i＋3＝2－52i＋2＋i i＋3 ＝525＋i＋3＝5＋i， ∴ z ＝5－i.
25－1＋4ii31i－5－i4i＝2
212＋i4i＝
2i(1＋
i)4＝ 2i[(1＋i)2]2＝ 2i(2i)2＝－4 2i.
(3)由z＋i i＝2－i，得 z＝2－i i－i＝i2＋ 5 i－i＝25i－15－i＝－15－35i.
答案
1 (1)4
(2)－4 2i
(3)－15－35i
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规律方法 在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若 z1， z2 互为共轭复数，则 z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母 的共轭复数将分母实数化．
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【训练 3】 (1)(2014·临沂模拟)设 z＝1＋i，则2z＋z2＝________. (2)(2013·天津卷)复数(3＋i)·(1－2i)＝________. 解析 (1)2z＋z2＝1＋2 i＋(1＋i)2＝1＋21i－1－i i＋2i ＝212－i＋2i＝1－i＋2i＝1＋i. (2)(3＋i)·(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i. 答案 (1)1＋i (2)5－5i
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2．对复数几何意义的认识 (4)原点是实轴与虚轴的交点． (√) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的 距离，也就是复数对应的向量的模． (√) (6)(2013·福建卷改编)复数z＝－1－2i在复平面内对应的点 位于第三象限． (√)
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【训练 1】 (1)设 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数
a＋bi 为纯虚数”的________条件．
(2)若复数 z＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是 z 的共轭复数，则 z2＋ z2
的虚部为________．
第4讲 数系的扩充与复数的引入
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知识梳理 1．复数的概念及分类
(1)概念：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别为 它的实部 和虚部 ． (2)分类
①实数：若a＋bia，b∈R为实数，则b＝0 ； ②虚数：若a＋bia，b∈R为虚数，则b≠0 ； ③纯虚数：若a＋bia，b∈R为纯虚数，则a＝0，b≠0 . (3)相等复数：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
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考点三 复数代数形式的四则运算
【例 3】 (1)已知复数 z＝1－3＋3ii2， z 是 z 的共轭复数，则 z·z ＝
________.
(2)
25＋－42ii31－4＋i5i＝________.
(3)已知复数 z 满足z＋i i＝2－i，则 z＝________.
i，－12＋
3 2i
的有关性质等，
可简化运算步骤提高运算速度．
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思想方法 12——解决复数问题的实数化思想
【典例】 (2013·广东卷)若 i(x＋yi)＝3＋4i，则复数 x＋yi 的模是
________．
解析 由已知得 xi－y＝3＋4i，