高考数学总复习 10-3相关关系、回归分析与性检验课件 新人教B版

夯实基础 稳固根基 1．变量间的相关关系 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的 两个变量之间的关系叫做相关关系．
夯实基础 稳固根基 2．两个变量的线性相关 (1)散点图 将样本中 n 个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角 坐标系中，表示两个变量关系的一组数据的图形叫做散点图．
(1)求回归直线方程^y＝bx＋a，其中 b＝－20，a＝ y －b x ； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系， 且该产品的成本是 4 元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的 单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 分析：(1)先求出 x 和 y ，然后再利用 a＝ y －b x 求出 a，近 而求出回归直线方程； (2)把利润 L 表示成单价 x(元)的函数，然后利用配方法求函 数的最值．
解析：(1)由于 x ＝16(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5， y ＝16(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80. 所以 a＝ y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为 ^y＝－20x＋250. (2)设工厂获得的利润为 L 元，依题意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1000
为休闲方式的概率和女性以看电视为休闲方式的概率；
(2)根据以上数据，能否有 99%的把握认为“在
～
时间段居民的休闲方式与性别有关系”？
参考公式：χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，其中 n＝a＋b
＋c＋d.
参考数据：
P(χ2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k0
疑难误区 点拨警示 1．线性回归方程中的系数a^、b^公式复杂莫记混用错． 2．使用 χ2 统计量作 2×2 列联表的独立性检验时，要求 表中的 4 个数据 n11、n12、n21、n22 都要大于 5，在选取样本的 容量时，要注意这一点．
思想方法技巧
1．建立回归模型的基本步骤： ①确定研究对象，明确解释变量和预报变量． ②画出散点图，观察它们是否存在相关关系．(如线性相 关关系) ③确定回归方程类型．(如线性回归方程y^ ＝b^x＋a^) ④按一般规则估计回归方程中的参数．(如最小二乘法) ⑤得出结果后分析残差图有否异常，若存在异常，则检查 数据是否有误，模型是否恰当．
4．独立性检验
(1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，则这
些变量称为分类变量．
(2)两个分类变量 X 与 Y 的频数表，称为 2×2 列联表.
y1
y2
x1
a
b
x2
c
d
合计 a＋b c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
在 2×2 列 联 表 中 ， 随 机 变 量 K2 ＝ a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容量， 用 K2 的取值范围可以判断“X 与 Y 有关系”的可信度，临界 值如表．(其中频数 a、b、c、d 都不小于 5)
x 3 45 6 y 2.5 3 4 4.5
(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程^y＝b^x＋a^； (3)已知该厂技改前 100t 甲产品的生产能耗为 90t 标准煤， 试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产 100t 甲产品的生产 能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
约为 P1＝6800＝34，
女性以看电视为休闲方式的概率为 P2＝1200＝12.
(2)提出假设 H0：休闲方式与性别无关系． 根据样本提供的 2×2 列联表得，
解析：－x ＝14(18＋13＋10－1)＝10， －y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40， ∴a＝－y －(－2)×－x ＝60， ∴线性回归方程为^y＝－2x＋60，令 x＝－4 得，^y＝68.
答案：68
点评：线性回归方程的要求不高，要熟记回归方程^y＝b^x ＋a^中的系数公式
n
3．独立性检验的步骤： ①据实际问题需要的可信度确定临界值 k0. ②利用公式，由观测数据，求出 χ2 的观测值 k. ③作判断，如果 k≥k0，就以(1－P(χ2≥k0))×100%的把握 认为“X 与 Y 有关系”，否则就说样本数据没有提供充分证据 说明“X 与 Y 有关系”．
考点典例讲练
散点图与相关关系的判断
解析：由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x 与 y 负相关， 由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u 与 v 正相关．
答案：C
x 和 y 的散点图如图，则下列说法中所有正确命题的序号为 ________．
①x，y 是负相关关系； ②在该相关关系中，若用 y＝c1ec2x 拟合时的相关指数为 R21，用 y＝bx＋a 拟合时的相关指数为 R22，则 R21>R22； ③x、y 之间不能用回归直线方程作出预报．
n
xi－ x yi－ y
i＝1
r＝
＝
n
n
xi－ x 2· yi－ y 2
i＝1
i＝1
数．
n
xiyi－n x ·y
i＝1
叫做 y 与 x 间的相关系
n
x2i －n
－x
n
2y2i －n
－y
2
i＝1
i＝1
r 具有以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近 1，线性相关程度 越强；|r|越接近 0，线性相关程度越弱．r>0 表明两变量正相 关，r<0 表明两变量负相关．
解析：①显然正确；由散点图知，用 y＝c1ec2x 拟合的效 果比用 y＝bx＋a 拟合的效果要好，∴②正确；x，y 之间经过 变量代换，在建立回归直线方程后，可以用回归直线方程作出 预报．
答案：①②
利用回归直线方程对总体进行估计 [例 2] 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产 品过程中记录的产量 x(t)与对应的生产能耗 y(吨标准煤)的几 组对应数据．
xi－－x yi－－y
n xiyi－n－x －y
i＝1
b^＝
n
xi－－x 2
i＝1
＝
，
n x2i －n－x 2
i＝1
i＝1
a^＝－y －b^－x .
(理)(2012·福建文，18)某工厂为了对新研发的一种产品进行 合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价 x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y(件) 90 84 83 80 75 68
独立性检验
[例 3] (文)(2012·山西太原模拟)为调查某社区居民的业
余生活状况，研究这一社区居民在
～
时间段的
休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区 80 人，得到下面
的数据表：
休闲方式 看电视 看书 合计
性别
男
10
50 60
女
10
10 20
合计
20
60 80
(1)根据上表中数据估计该社区居民在这一时间段以看书
2．线性相关强度检验的步骤： ①作统计假设：x 与 Y 不具有线性相关关系． ②根据小概率 0.05 与 n－2 在附表中查出 r 的一个临界值 r0.05. ③根据样本相关系数计算公式算出 r 的值． ④作统计推断．如果|r|>r0.05，表明有 95%的把握认为 x 与 Y 之间具有线性相关关系． 如果|r|≤r0.05，我们没有理由拒绝原来的假设．这时寻找 回归直线方程是毫无意义的．
4
＝66.58－6－4×4×4.45.×52 3.5＝0.7，
x2i －4 x 2
i＝1
a^＝－y －b^－x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的线性回归方程为^y＝0.7x＋0.35.
(3)由(2)的回归方程及技改前生产 100t 甲产品的生产能 耗，得降低的生产能耗为：
90－(0.7×100＋0.30.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
①当 χ2>6.635 时，有 99%的把握认为“X 与 Y 有关系”． ②当 χ2>3.841 时，有 95%的把握认为“X 与 Y 有关系”． ③当 χ2≤3.841 时，没有充分理由认为 X 与 Y 是相关的． (注：列联表中的 n11、n12、n21、n22 也记作 a、b、c、d，χ2 也记作 K2，此时公式为 K2＝a＋bcn＋add－ab＋cd2 b＋c.)
(文)某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系， 随机统计了某 4 天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度) 24 34 38 64 由表中数据，得线性回归方程^y＝－2x＋a.当气温为－4℃时， 预测用电量的度数约为________．
＝－20(x－343)2＋361.25. 当且仅当 x＝8.25 时，L 取得最大值． 故当单价定价为 8.25 元时，工厂可获得最大利润．
点评：这是集统计中的回归分析与函数的实际应用于一体 的一道综合题；知识点交汇较新颖，难度不大．对于函数在实 际问题中的应用，不要忽略自变量的实际意义，并要有检验意 识.
n
n
xiyi－n x ·y xi－ x yi－ y
i＝1
i＝1
b^＝
＝
n x2i －n－x 2
n
xi－－x 2
i＝1
i＝1
a^＝ y －b^ x
其中 x ＝1ni＝n1xi， y ＝1ni＝n1yi，( x ， y )称为样本点的中心．
(3)利用回归直线可以对总体进行估计 (4)线性相关强度的检验：
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
分析：(1)从列联表中找出样本中以看书为休闲方式的居 民人数，样本中女性总人数及女性中以看电视为休闲方式的人 数，计算相应频率，以频率作为概率的估计值．
(2)将列联表中数据代入公式计算，查表比对后下结论．
解析：(1)由表可知该社区居民以看书为休闲方式的概率
走向高考·数学
人教B版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第十章 统计与概率
第十章
第三节 相关关系、回归分析与独立性检验
基础梳理导学
3 考点典例讲练
思想方法技巧
4 课堂巩固训练
5 课后强化作业
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：1.利用散点图判断变量之间是否具有相关关系； 2．求回归直线方程和利用回归直线作出估计； 3．独立性检验． 难点：回归分析与独立性检验的应用．
(2)正相关、负相关 散点图中各点散布的位置是从 左下角 到 右上角 的区 域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变 大，这种相关称为正相关． 散点图中点散布的位置是从 左上角到 右下角的区域，即 一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种 相关称为负相关．
3．回归分析 (1)回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归 分析．其基本步骤是：①画散点图，②求回归直线方程，③ 用回归直线方程作预报．
[例 1] 对变量 x、y 的观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)， 得散点图(1)；对变量 u、v 的观测数据(u1，v1)(i＝1,2，…， 10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断．( )
A．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 C．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关
解析：(1)由题设所给数据，可得散点图如下图．
4
(2)由表中数据，计算得：x2i ＝86，
i＝1
－x ＝3＋4＋4 5＋6＝4.5，－y ＝2.5＋3＋4 4＋4.5＝3.5，
4
已知 xiyi＝66.5，
i＝1
所以，由最小二乘法确定的回归直线方程的系数为：
4 xiyi－4－x ·－y
i＝1
b^＝
(2)回归直线方程的求法 ①回归直线：观察散点图的特征，如果散点图中点的分 布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之 间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． ②回归直线方程的求法——最小二乘法． 设具有线性相关关系的两个变量 x、y 的一组观察值为(xi， yi)(i＝1,2，…，n)，则回归直线方程^y＝a^＋b^x 的系数为：