新人教版初中九年级数学下《锐角三角函数 习题训练》优质课教学设计_3

锐角三角函数
我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有：sin cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，tan a A b
=，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们能够探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．
一、余角关系
由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．
所以有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，能够很轻松地实行三角函数之间的转换．
例１ 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1sin 2
A =
，BD ＝2，求BC 的长．
解：因为∠A ＋∠B ＝90°， 所以1cos sin(90)sin 2
B B A =-==
． 在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以212BC =． 所以BC ＝4．
二、平方关系
由定义知sin a A c =，cos b A c =， 所以2222
22222sin cos a b a b A A c c c
++=+=（sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方）． 又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2
， 所以sin 2A +cos 2
A =2
2c c =1． 应用此关系式我们能够实行相关锐角三角函数平方的计算．
例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．
解：由余角关系知sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．
所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）
2312=+=⎝⎭
． 三、相除关系
由定义中sin a A c =，cos b A c
=，
得sin tan cos a
A a c a c A b A c b b
c
==⨯==． 利用这个关系式能够使一些化简求值运算过程变得简单．
例3 已知α为锐角，tan α=2，求
3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值． 解：因为sin tan 2cos ααα
==，所以sin α=2cos α， 所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106
αααα++===---． 求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们能够根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．
四、设参数法
例4 如图1， 在△ABC 中，∠C =90°，如果t a n A =
125，那么sin B 等于（ ） (A) 135 (B) 1312 (C) 125 (D)5
12 分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的相关性质．
因为tan A =
12
5=b a ，所以可设a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得c =13k ， 所以sin B =1312=c b ．应选(B)． 五、等线段代换法
例5 如图2，小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠，B 点恰好落在A D
边上，设此点为F ，若BA ：BC =4：5，则c os∠DCF 的值是______．
分析：根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ，所以C F=CB ，
又C D=AB ，AB ：BC =4：5，
所以C D ：C F=4：5，
在Rt△D C F 中，c os∠D C F=54=CF DC ． 六、等角代换法
例6 如图3，C D 是平面镜，光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α （入射角等于反射角），AC ⊥C D ，B D⊥C D ，垂足分别为C 、D ，且AC ＝3，B D ＝6，C D ＝11，则tan α的值为（ ）
（A ）311 （B ）113 （C ）119 （D ）9
11 分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E ，所以只需求出tan∠CA E ． 根据条件可知△AC E∽△B DE ，所以ED CE BD AC =，即CE CE -=1163， 所以C E=3
11， 图
1 图
2
图3
在Rt△A E C 中，tan∠CA E=9
113311
==AC CE ． 所以tan α=9
11． 七、等比代换法
例7 如图4， 在Rt△ABC 中，ACB =90，C D⊥AB 于点D ，BC =3，AC =4，设BC D=α，tan α的值为（ ） (A)43 (B)34 (C)53 (D)54
分析：由三角形函数的定义知tan α=DC DB
，
由Rt△C D B ∽Rt△ACB ， 所以43==AC BC DC DB ，所以tan α=43
，选(A)．
图4。