运筹学线性规划的标准形式

此时，资源利用情况为（代入约束条件）：
设备台时利用量=1*50+1*250=300=资源限制量 原料A使用量=2*50+1*250=350<资源限制量400 原料B使用量=1*250=250=资源限制量
引入松弛变量x3,x4,x5，将数学 模型标准化：
max F 50x1 100x2 s.t. x1 x2 300 2x1 x2 400 x2 250 x1 0, x2 0
min F 2x1 3x2 s.t.
x1 x2 x3 350 x1 x4 125 2x1 x2 x5 600 x j 0, j 1,2,5
图解法
500 400 300
200
100 2x1 3x2 0
2x1 x2 600 x1 125
图解法
400
2x1 x2 400
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A
B
x2 250
200
C
100
D
O
100
200
50x1 100x2 0
x1 x2 300
300
400
最优解的解释
最优解x1=50，x2=250表示甲产品生产50个单位，乙 产品生产250个单位时，获利最大。
进一步计算剩余变量和松弛变量:
X3=0，表示正好达到最低要求； X4=125，表示超出最低要求，多购进125吨； X5=0，表示工时数被全部利用。
另外，
关于松弛变量和剩余变量的信息也可以 从图解法中获得。
松弛变量x3=0,x4=50,x5=0
400
2 2x1 x2 400
引入新变量(松弛变量）x5≥0，将约束条件 不等式变为等式。
x1 x2 2x3 x4 14
+ 松弛变量
x1 x2 2x3 x4 x5 14
步骤4： “≥” “=”
引入新变量（剩余变量）x6≥0，将约束条件 不等式变为等式。
2x1 3x2 x3 2x4 2
改造方法（1）
１、若目标函数求最小值，则在函数式前加上 “－”号，转化为求最大值。转化后目标函数的
最优解不变，最优值差一个符号。
例： min F cj xj
max S min F cj xj
改造方法（2）
2、若约束条件中，某些常数项bi为负数，则可先在约 束条件等式或不等式两边乘上“-1”，使得bi≥0。
max F 50x1 100x2 s.t.
x1 x2 x3 300 2x1 x2 x4 400 x2 x5 250 x j 0, j 1,,5
∵最优解为x1=50,x2=250,∴代入标准化的数学模型， 得松弛变量x3=0,x4=50,x5=0。
减去一个非负变量（称为剩余变量），不等式改为等式。
例：
aij xj bi
新设一个非负变量
m
aij x j xm1 bi j 1
改造方法（5）
5、若约束条件中，某些决策变量没有非负要 求：
①xj≤0，则令新变量xj’=-xj； ②xj无符号限制，则可增设两个非负变量
剩余变量X3=0,X4=125，松弛变X5=0
500 400 300
200
100 2x1 3x2 0
3 2x1 x2 600 2 x1 125
B
可行解域为ABC 最优解为C点（250，100）
A C
1 x1 x2 350
100 200 300 400 500 600
剩余变量X3=0,X4=125，松弛变X5=0
max S c1 x1 c2 x2 cn xn s.t.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2


am1 x1 am2 x2 amn xn bm x1 , x2 ,, xn 0
例：
aij xj 3
aij x j 3
改造方法（3）
3、若约束条件不等式符号为“≤”，则在不等式左边
加上一个非负变量（称为松弛变量），把不等式改为等
式。
例：
aij xj bi
新设一个非负变量
m
aij x j xm1 bi
j 1
改造方法（4）
4、若约束条件不等式符号为“≥”，则在不等式左边
松弛变量与剩余变量
概念：
松弛变量：在线性规划模型中，如果约束条件为“≤”， 则在不等式左边加入一个非负变量，这个非负变量成为 松弛变量。
剩余变量：在线性规划模型中，如果约束条件为“≥”， 则在不等式左边减去一个非负变量，这个非负变量成为 剩余变量。
理解松弛变量的实际含义
例：某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产。生产单位产 品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗以及资源的限制如下表：
第三节 线性规划的标准形式
为什么要转化为标准形式？ 标准形式的特点：
1、目标函数求最大值（max）；（不一定） 2、所有的约束条件均由等式表示（=）； 3、所有的决策变量限于非负值（xj≥0）； 4、每一个约束条件等式的右端常数均为非负值（bi>0)。
（不一定）
数学模型如下
建立数学模型：
设x1，x2分别为原料A、B的购进量：
min F 2 x1 3x2 s.t. x1 x2 350 x1 125 2 x1 x2 600 x1 0, x2 0
将数学模型标准化
引入剩余变量x3，x4，及松弛变量x5：
min F 2x1 3x2 s.t. x1 x2 350 x1 125 2x1 x2 600 x1 0, x2 0
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A
B
3 x2 250
200
C
100
D
O
100
200
50x1 100x2 0
1 x1 x2 300
300
400
松弛变量x3=0,x4=50,x5=0
最优解在B点。B点是第1、第3个约束条件对 应的直线的交点，所以第1、第3个约束条件 加入的松弛变量为0，而第2个约束条件加入 的松弛变量不为0（与B点还有一点距离）。
— 剩余变量
2x1 3x2 x3 2x4 x6 2
步骤5：满足变量非负条件
设新变量x7≥0，令x7=-x2，带入目标函数和约束条 件中。
设两个新变量x8≥0， x9≥0， 令x4=x8-x9，带入目标函数和约束条件中。
整理得：
整理后数学模型为：
max S 3x1 4x7 2x3 5x8 5x9 0x5 0x6 s.t. 4x1 x7 2x3 x8 x9 2 x1 x7 2x3 x8 x9 x5 14 2x1 3x7 x3 2x8 2x9 x6 2 x j 0, j 1,3,5,6,7,8,9
设备 原料A 原料B
甲产品 1 2 0
乙产品 1 1 1
资源限制 300台时 400kg 250kg
工厂每生产一单位甲产品可获利50元，每生产一单位乙产品可获利 100元，问工厂应分别生产多少单位产品甲和产品乙才能使得获利最 多？
建立数学模型：
设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：
max F 50x1 100x2 s.t. x1 x2 300 2 x1 x2 400 x2 250 x1 0, x2 0Fra bibliotek 松弛变量的含义
松弛变量x3=0，表示按最优生产方案生产时，设备已充分利 用，无多余的设备台时。
松弛变量x4=50，表示按最优生产方案生产时，原料A未用完， 还有50个单位。
松弛变量x5=0，表示按最优生产方案生产时，原料B已用完。
所以，松弛变量不等于零，表示某种资源较充裕。
理解剩余变量的含义
Vk≥0,Uk≥0，令原变量Xk=Vk-Uk，代入原线性规 划问题的目标函数及约束条件。
例1
min F 3x1 4x2 2x3 5x4 s.t. 4x1 x2 2x3 x4 2 x1 x2 2x3 x4 14 2x1 3x2 x3 2x4 2 x1 0, x2 0, x3 0, x4无符号限制
例：某公司由于生产的需要，共需要A、B两种原料至少350 吨（A、B两种原料有一定的替代性），其中原料A至少购进 125吨。但由于A、B两种原料的规格不同，各自所需的加工 时间也是不同的，加工每吨原料A需要2小时，加工每吨原料 B需要1小时，而公司总共有600个加工时数，又知道每吨原 料A的价格为2万元，每吨原料B的价格为3万元，试问在满足 生产需要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A、 B两种原料，使得购进成本最低？
B
可行解域为ABC 最优解为C点（250，100）
A C
x1 x2 350
100 200 300 400 500 600
最优解的解释
最优解x1=250，x2=100表示最佳购买方案是原料A购进250吨，原料B购 进100吨。
代入约束条件分析：
总购进量=250+100=350吨=最低要求 原料A购进量=250>最低要求125 原料加工时数=2*250+100=600=最高限制
步骤1：min max
min F 3x1 4x2 2x3 5x4
max S min F 3x1 4x2 2x3 5x4
步骤2：bi<0 bi>0
4x1 x2 2x3 x4 2
4x1 x2 2x3 x4 2
步骤3：“≤” “=“
最优解在C点。C 点是第1、第3个约束条件 对应的直线的交点，所以第1、第3个约束 条件加入的剩余变量和松弛变量都为0，而 第2个约束条件加入的剩余变量不为0（与 C点还有一点距离）。
思考题与练习题