一元二次方程的起源和应用

一元二次方程的起源与应用
一年七班 唐梦雷
一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

二、 起源
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。

但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。

埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。

希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。

公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。

在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。

把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。

阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。

十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。

韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。

我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。

我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。

三、一元二次方程的广泛应用
例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？
（1）35
22=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+
x
x ；（8）522=+y x 注意点：
①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数．
例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2：方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

例3：若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

例4：若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）
A.m=n=2
B.m=2,n=1
C.n=2,m=1
D.m=n=1
（一）、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

例1：方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

例2：（2012•洪山区模拟）若将一元二次方程x x 4232-=--化成一般形式)0(02 a c bx ax =++后，一次项和常数项分别是 ；
例3：一元二次方程()()0112
=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求222c b a -+的值的算术平方根？
（二）、方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

（简而言之：将该方程的解，代入原方程可以得到一个等式）
例1：（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为052=++bx ax （a ≠0）的解是1=x ，则b a --2013的值是 。

例2：（2012•鄂尔多斯）若a 是方程0322=--x x 的一个解，则a a 362-的值为（ ）
A ．3
B ．-3
C ．9
D ．-9
例3：关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值
为 。

例4：已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

（三）解一元二次方程的解法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
①直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02
对于()m a x =+2，()()2
2n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132
=--x 例2、若()()2
221619+=-x x ，则x 的值为 。

下列方程无解的是（ ）
A.12322-=+x x
B.()022
=-x C.x x -=+132 D.092=+x ②配方法：()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⇒ 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

例1：试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2：已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例3：已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

例4：若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。

③公式法：
条件：()
04,02≥-≠ac b a 且 a ac b b x 242-±-=,()
04,02≥-≠ac b a 且
例1：（1）01322=--x x ； （2）()
0122=++x x ； （3）0252=++x x ④因式分解法：()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或
十字相乘法：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
如()()2
2n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ， 例1：()()3532-=-x x x 的根为（ ）
A 25=x
B 3=x
C 3,2
521==x x D 52=x 例2：方程062=-+x x 的解为（ ）
A.2321=-=，x x
B.2321-==，x x
C.3321-==，x x
D.2221-==，x x 例3：解方程： ()04321322=++++x x
例4：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则
y
x y x -+的值为 例5:选择适当方法解下列方程：
⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x
⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x
四、专项训练：
（一）整体思想：
整体思想方法是指用“全局”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑.
例1：若()()044342
=-+++y x y x ，则4x+y= 。

例2：()()
=+=-+-+2222222,06b a b a b a 则 。

例3：若()()032=+--+y x y x ，则x+y=
例4：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y= 。

例5：已知322-+y y 的值为2，则1242++y y =
例6：（苏州市）若2
20x x --=，求1)(222---x x x x 的值？ （二）降次的思想：
通过变形，把高次项逐步转化为一次式或常数,从而达到降次的目的
例1：解方程02323=+-x x x
例2：如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。

例3：已知a 是一元二次方程0132
=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。

例4：解方程组
⎩⎨⎧=+-=-)2(.065)1(,6222y xy x y x
（三）当一元二次方程的解为“1”或“-1”时
对于一元二次方程的一般形式02=++c bx ax （0≠a ），如果有一个根为1，则0=++c b a ；如果有一个根为-1，则0=+-c b a ；反之也成立；
巧求方程的解：①085132=--x x ②02113342=-+x x
例1：已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程
必有一根为 。

例2：方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）
A 1-
B 1
C c b -
D a -
（四）判别式“∆”的应用
判别式：根据一元二次方程的系数，判断该方程是否有实数根
例1：（2013•珠海）一元二次方程：①0322=++x x ，②0322=--x x ．下列说法正确的是（ ）
A ．①②都有实数解
B ．①无实数解，②有实数解
C ．①有实数解，②无实数解
D ．①②都无实数解
例2：若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例3：（2013•潍坊）已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ，下列说法正确的是（ ）
A ．当k =0时，方程无解
B ．当k =1时，方程有一个实数解
C ．当k =-1时，方程有两个相等的实数解
D ．当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解．
例4：（2013•六盘水）已知关于x 的一元二次方程()01212=+--x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例5：关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )
A.10≠≥m m 且
B.0≥m
C.1≠m
D.1>m
例6：已知关于x 的方程()0222=++-k x k x
(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。

例7：m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+.
3,6222y mx y x 有两个不同的实数解？有两个相同的实
数解
（五）韦达定理：
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时，
才能用韦达定理。

a
c x x a b x x =-=+2121, 注意：切记盲目用韦达定理，而忽视了0≥∆
例1：（2013•雅安）已知21,x x 是一元二次方程022=-x x 的两根，则21x x +的值是（ ）
A ．0
B ．2
C ．-2
D ．4
例2：（2013•天门）已知α，β是一元二次方程0252=--x x 的两根，那么α2+αβ+β2的值为（ ）
A ．-1
B ．9
C ．23
D ．27
例3：已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，那么这个直角三角形的斜边长是（ ） A.3 B.3 C.6 D.6
例4：（2013•泸州）已知21,x x 是一元二次方程0332=-+x x 的两个实数根，则2
112x x x x +的值为（ ） A ．5 B ．-5 C ．1 D ．-1
例5：已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a
例6：若0122=--a a ，0122=--b b ，则a
b b a +的值为 。

例7：已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .
（六）应用题
类型一：单循环赛制（注意区别双循环赛）
例1：（2013•东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数有多少？
例2：（2011•黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n 个点最多可确定45条直线．则n 的值为 例3：（襄樊市改编）如图，锐角AOB 的内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同的射线，可得6个锐角；画3条不同的射线，可得10个锐角；…；照此规律，画多少条射线可以得到66个角？
类型二：几何中的一元二次方程
例1：（2009•庆阳）如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样
宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为
例2：（2011•台湾）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为
4
21平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
例3：（2013•衢州）如图在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，
求正方形的边长．
类型三：薄利多销的商家
例1：（2013•泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
例2：（2012•山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
类型四：增长率的问题
例1：（2012•钦州）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，
2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．
（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．
例2：（2013•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
例3：（2013•巴中）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率？
巩固练习（二）
1.（2012•洪山区模拟）若将一元二次方程x x 4232-=--化成一般形式)0(02 a c bx ax =++后，一次项和常数项分别是 ；
2.一元二次方程()()0112
=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求222c b a -+的值的算术平方根？
3.（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为052=++bx ax （a ≠0）的解是1=x ，则b a --2013的值是 。

4.（2012•鄂尔多斯）若a 是方程0322=--x x 的一个解，则a a 362-的值为（ ）
A ．3
B ．-3
C ．9
D ．-9 5.（苏州市）若220x x --=，求1
)(222---x x x x 的值？
11 6.已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，
（1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

7.已知472-=-a a ，472-=-b b )(b a ≠，求
b
a a
b +的值？
8.（2012•潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为多少？
9.（2012•南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有多少支？
10.（2010•本溪）为执行“两免一补”政策，丹东地区2007年投入教育经费2 500万元，预计2009年投入3 600万元，则这两年投入教育经费的平均增长率为多少？
11.（2013•玉林）已知关于x 的方程02=++n x x 有两个实数根-2，m ．求n m ,的值？。