2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第七章 第五节 简单几何体的表面积与体积

课时作业 A 组——基础对点练
1、(2018·合肥市质检)已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为( ) A 、π B.3π
2 C 、2π
D 、3π
解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为
r ，易知轴截面三角形边AB 上的高为22，因此22－r 3＝r
1，解得r ＝22，所以圆锥内切球的表面积为4π×(22)2
＝2π，故选C. 答案：C
2、平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) A.6π B 、43π C 、46π
D 、63π
解析：设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝(2)2＋12＝3，所以球的体积
V ＝4
3πR 3＝43π. 答案：B
3、已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.323
B.163
C.83
D.43
解析：该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，
V ＝V 柱＋V 锥＝12×(1＋1)×1×2＋13×12×(1＋1)×1×2＝8
3，故选C. 答案：C
4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( )
A 、24π
B 、29π
C 、48π
D 、58π
解析：如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A BCD )，其外接球即为长方体的外接球，表面积为4πR 2＝π(32＋22＋42)＝29π.
答案：B
5、(2018·合肥市质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )
A 、3
B 、3 2
C 、9
D 、9 2
解析：由题中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图中的梯形为底面的四棱锥，其底面面积S ＝12×(2＋4)×1＝3，高h ＝3，故其体积V ＝1
3Sh ＝3，故选A. 答案：A
6、若三棱锥P ABC 的最长的棱P A ＝2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 、
解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径R ＝1
2P A ＝1，所以该三棱锥的外接球的体积V
＝43×π×13＝43π.
答案：43π
7、已知矩形ABCD 的顶点都在半径为2的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝3，过点D 作DE 垂直于平面ABCD ，交球O 于E ，则棱锥E ABCD 的体积为 、
解析：如图所示，BE 过球心O ，∴DE ＝
42－32－(3)2＝2，
∴V E －ABCD ＝1
3×3×3×2＝2 3. 答案：2 3
8、已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为 、
解析：如图，设截面小圆的半径为r ，球的半径为R ，因为AH ∶HB ＝1∶2，所以OH ＝1
3R .由勾股定理，有R 2＝r 2＋OH 2，又由题意得πr 2＝π，则r ＝1，故R 2＝1＋(13R )2，即R 2＝98.由球的表面积公式，得S ＝4πR 2＝9π2.
答案：9π2
9、如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置、
(1)证明：AC ⊥HD ′；
(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝5
4，OD ′＝22，求五棱锥D ′-ABCFE 的体积、 解析：(1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF
CD ，故AC ∥EF .
由此得EF ⊥HD ，EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.
(2)由EF∥AC得OH
DO
＝AE
AD
＝1
4.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4.
所以OH＝1，D′H＝DH＝3.
于是OD′2＋OH2＝(22)2＋12＝9＝D′H2，
故OD′⊥OH.
由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，
所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.
又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.
又由EF
AC ＝DH
DO
得EF＝9
2.
五边形ABCFE的面积S＝1
2×6×8－1
2×
9
2×3＝
69
4.
所以五棱锥D′-ABCFE的体积V＝1
3×69
4×22＝
232
2.
10.(2018·莆田质检)如图，在四棱锥S ABCD中，四边形
ABCD为矩形，E为SA的中点，SA＝SB＝2，AB＝23，BC＝3.
(1)证明：SC∥平面BDE；
(2)若BC⊥SB，求三棱锥C BDE的体积、
解析：(1)证明：连接AC，设AC∩BD＝O，
∵四边形ABCD为矩形，则O为AC的中点、
在△ASC中，E为AS的中点，∴SC∥OE，
又OE平面BDE，SC平面BDE，∴SC∥平面BDE.
(2)∵BC ⊥AB ，BC ⊥SB ，AB ∩SB ＝B ，
∴BC ⊥平面SAB ，又BC ∥AD ，∴AD ⊥平面SAB . ∵SC ∥平面BDE ，
∴点C 与点S 到平面BDE 的距离相等， ∴V C
BDE ＝V S
BDE ＝V D SBE ，
在△ABS 中，SA ＝SB ＝2，AB ＝23， ∴S △ABS ＝1
2×23×1＝ 3.
又∵E 为AS 的中点，∴S △BES ＝12S △ABS ＝3
2. 又点D 到平面BES 的距离为AD ， ∴V D BES
＝13S △BES ·AD ＝13×32×3＝32， ∴V C
BDE ＝32，即三棱锥C
BDE 的体积为3
2. B 组——能力提升练
1、(2018·湖北七市联考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为( )
A 、36π B.1123π C 、32π
D 、28π
解析：根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个
边长为4的正方形，高是2 3.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球、∵三棱柱的底面是边长为4的正
三角形，∴底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为23×23＝433，∴外
接球的半径R ＝ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4332
＋22＝283，外接球的表面积S ＝4πR 2
＝4π×283＝
112π
3，故选B. 答案：B
2、(2018·广州模拟)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑、若三棱锥P ABC 为鳖臑，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P ABC 的四个
顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( ) A 、8π B 、12π C 、20π
D 、24π
解析：如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC 的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC 的中点为球心O ，易得2R ＝PC ＝20，所以R ＝20
2，球O 的表
面积为 4πR 2＝20π，选C.
答案：C
3、在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球、若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A 、4π B.9π2 C 、6π
D.32π3
解析：由题意可得若V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R ＝32，该球的体积最大，V max ＝4
3πR 3＝4π3×278＝9π2. 答案：B 4、四棱锥S
ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和
球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，则球O 的体积等于( ) A.32π3 B.322π3 C 、16π
D.
162π3
解析：依题意，设球O 的半径为R ，四棱锥S
ABCD 的底面边长为a 、高为h ，
则有h ≤R ，即h 的最大值是R ，又AC ＝2R ，则四棱锥S ABCD 的体积V S
ABCD
＝13×2R 2
h ≤2R 33.因此，当四棱锥S
ABCD 的体积最大，即h ＝R 时，其表面积
等于(2R )2＋4×1
2×2R × (2R
2)2＋R 2＝8＋83，解得R ＝2，因此球O 的
体积等于4πR 33＝32π
3，选A. 答案：A
5、(2017·河北质量监测)多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为 cm 3.
解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，在三棱锥D ABC 中，底面ABC 是等腰三角形，设底边AB 的中点为E ，则底边AB 及底边上的高CE 均为4，侧棱
AD ⊥平面ABC ，且AD ＝4，所以三棱锥D ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AD ＝13×12×4×4×4＝323(cm 3)、 答案：323
6、已知正四棱锥O
ABCD 的体积为32
2，底面边长为3，则以O 为球心，OA
为半径的球的表面积为 、
解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE (图略)，则E 为正方形ABCD 的中心、由题意可知13×(3)2
×OE ＝322，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2
＝6，则球的表面积S ＝4πR 2＝24π. 答案：24π
7、如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6.顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .
(1)证明：G是AB的中点；
(2)在图中作出点E在平面P AC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积、
解析：(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.
因为D在平面P AB内的正投影为E，所以AB⊥DE.
因为PD∩DE＝D，
所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.
又由已知，可得P A＝PB，所以G是AB的中点、
(2)在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，
F即为E在平面P AC内的正投影、
理由如下：由已知可得PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，
所以EF⊥P A，EF⊥PC.因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影、
连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心、
由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝2
3CG.
由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝2
3PG，DE
＝1
3PC.
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PE＝2 2.
在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，
所以四面体PDEF 的体积V ＝13×12×2×2×2＝43.
8、(2018·西安调研)如图所示，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4.将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .
(1)求证：AB ⊥DE ；
(2)求三棱锥E ABD 的侧面积和体积、
解析：(1)证明：在△ABD 中，∵AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝60°，
∴BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠DAB ＝2 3.
∴AB 2＋BD 2＝AD 2，∴AB ⊥BD .
又平面EBD ⊥平面ABD ，平面EBD ∩平面ABD ＝BD ，AB 平面ABD ， ∴AB ⊥平面EBD .又DE
平面EBD ，∴AB ⊥DE .
(2)由(1)知AB ⊥BD .
∵CD ∥AB ，∴CD ⊥BD ，从而DE ⊥BD .
在Rt △DBE 中，∵DB ＝23，DE ＝DC ＝AB ＝2，
∴S △EDB ＝12DB ·DE ＝2 3.
∵AB ⊥平面EBD ，BE 平面EBD ，∴AB ⊥BE . ∵BE ＝BC ＝AD ＝4，∴S △EAB ＝12AB ·BE ＝4.
∵DE ⊥BD ，平面EBD ⊥平面ABD ，
∴ED ⊥平面ABD ，而AD 平面ABD ，
∴ED ⊥AD ，∴S △EAD ＝12AD ·DE ＝4.
综上，三棱锥E ABD 的侧面积S ＝S △EDB ＋S △EAB ＋S △EAD ＝8＋2 3.
∵DE⊥平面ABD，
且S△ABD＝S△EBD＝23，DE＝2，
∴V E ABD＝1
3S△ABD·DE＝1
3×23×2＝
43
3.。