新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试(答案解析)(2)

一、选择题
1．已知函数()32f x x =-，2()2g x x x =-，(),()()
()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩
，则（ ）
A ．()F x 的最大值为3，最小值为1
B ．()F x 的最大值为2
C ．()F x 的最大值为7-，无最小值
D ．()F x 的最大值为3，最小值为-1
2．定义{},min ,,a a b a b b a b
≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2
()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在
区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，则区间[,]m n 长度的最大值为（ ）
A ．1
B ．
7
4
C ．
114
D ．
72
3．设0a >且1a ≠，函数221x x y a a =+-在区间[]1,1-上的最大值是14，则实数a 的值为（ ） A ．
1
3
或2 B ．2或3
C ．
1
2
或2 D ．
1
3
或3 4．高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]
y x =称
为高斯函数，例如：[]3.14-=-，[]4.84=.则函数21()122x x
f x ⎡⎤
=-⎢⎥+⎣⎦
的值域为（ ） A ．{}0,1
B ．{}1,1-
C ．{}1,0-
D ．{}1,0,1-
5．已知定义在R 上的函数()2||
·
x f x x e =， (a f log =， 312
b f log ⎛=⎫ ⎪⎝
⎭
，()ln3c f = ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．c a b >>
B ．b c a >>
C ．a b c >>
D ．c b a >>
6．已知函数224
()3f x x x
=-+
，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈-，总存在
2[1x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）．
A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．以上都不对
7．如果()()2
11f x mx m x =+-+在区间(]1-∞，
上为减函数，则m 的取值范围（ ）
A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
B ．103⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
C ．103⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
8．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：
()()
112212
0x f x x f x x x -<-且()24f =，则不等式
()8
0f x x
-
>的解集为（ ） A ．(2,)+∞ B ． ()0,2
C ．(0,4)
D ．(,2)-∞ 9．若函数
()f x =0,
，则实数m 的取值范围是
（ ） A ．()1,4 B ．()(),14,-∞⋃+∞
C ．(]
[)0,14,+∞ D ．[][)0,14,+∞
10．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11
x -≤≤时，()13131
x x f x +-=+，则以下各项中最小的是（ ）
A ．()2018f
B ．()2019f
C ．()2020f
D ．()2021f
11．定义{},,max a b c 为,,a b c 中的最大值，设()2
8,
,63⎧⎫
=-⎨⎬⎩⎭
h x max x x x ，则()h x 的最小值为（ ） A ．
18
11
B ．3
C ．
4811
D ．4
12．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()21f =，
()()()f xy f x f y =+，则不等式()()23f x f x +-≤（ ）
A ．()1,2
B ．[)1,3
C ．()2,4
D ．(]2,4
二、填空题
13．已知函数()3
1f x ax bx =-+，若()25f =，则()2f -=______．
14．已知函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=-
，若()1
13
f =- ，则()2019f = _________.
15．设函数2222,0
(),0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩
，若(())2f f a =，则a =___________.
16．已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有
1()2f f x x ⎡
⎤-=⎢⎥⎣⎦，则
12020f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值是______________. 17．若函数()y f x = 的定义域为[-1,3]，则函数()()
211
f x
g x x +=
-的定义域 ___________
18．已知函数()f x 是R 上的奇函数，()()2g x af x bx =++，若(2)16g =，则(2)g -=______．
19．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若
()()21f m f m ->，则实数m 的取值范围是__________
20．若y =
y 的取值范围是________
三、解答题
21．设函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且对任意的正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知(2)1f =，且1x >时，()0f x >． （1）求12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）判断()y f x =在(0,)+∞上的单调性，并给出你的证明；
（3）解不等式2
()(86)1f x f x >--．
22．（1）已知()()4
3f x x a =-+时，当实数a 为何值时，()f x 是偶函数？
（2）已知()g x 是偶函数，且()g x 在[)0,+∞是增函数，如果当[]
1,2x ∈时()()6g x a g x +≤-恒成立，求实数a 的取值范围.
23．设函数1
2
ax y x +=
-. （1）当1a =时，在区间[)(]2,22,6-⋃上画出这个函数的图像；
（2）是否存在整数a ，使该函数在[4,)+∞上是严格减函数，且当4x ≥时，都有4y ≤，如果存在，求出所有符合条件的a ，若不存在，请说明理由. 24．已知a R ∈，函数2()25f x x ax =-+．
（1）若不等式()0f x >对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若1a >，且函数()f x 的定义域和值域都是[1,]a ，求实数a 的值； （3）函数()f x 在区间[1,1]a +的最大值为()g a ，求()g a 的表达式．
25．已知二次函数()2
f x ax bx =+满足()20f =，且方程()f x x =有两个相等实根.
（1）求()f x 的解析式；
（2）是否存在实数(),m n m n <，使()f x 的定义域是[],m n ，值域是[]3,3m n .若存在，求,m n 的值，若不存在，请说明理由. 26．已知二次函数2()1(0)f x ax x a =++>．
（1）求函数()f x 在区间[4,2]--的最大值()M a ； （2）若关于x 的方程()0f x =有两个实根1x 、2x ，且121,1010
x x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的最大值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】
在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，如图
然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值， 所以由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-．
结合函数图象可知当27x =-时，函数()F x 有最大值727-，无最小值． 故选：C ．
【点睛】
关键点睛：本题主要考查了函数的图象，以及利用函数求最值，解答本题的关键是在同一坐标系中画出()f x 与()g x 的图象，根据图象得出函数的最值，由232||2x x x -=-得
27x =+或27x =-.
2．B
解析：B 【分析】
根据定义作出函数()f x 的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可． 【详解】
其中(1,1)A ，(3,3)B ， 即()2
33,
13
3313
x x x f x x x x ⎧--=⎨-+⋅<<⎩或，
当3()4
f x =
时，当3x 或1x 时，由33|3|4x --=，得9|3|4x -=，
即34C x =或21
4G x =，
当7()4f x =时，当13x <<时，由2
7334x x -+=，得52E x =，
由图象知若()f x 在区间[m ，]n 上的值域为3[4，7
]4
，则区间[m ，]n 长度的最大值为
537
244
E C x x -=-=，
故选：B ． 【点睛】
利用数形结合思想作出函数的图象，求解的关键是对最小值函数定义的理解. 3．D
解析：D 【分析】
本题首先可以令x t a =，将函数转化为()2
12y t =+-并判断出函数的单调性，然后分为
01a <<、1a >两种情况进行讨论，根据最大值是14进行计算，即可得出结果. 【详解】
令x t a =（0a >、1a ≠），则()2
22112y t t t =+-=+-， 因为0a >，所以0x t a =>，函数()2
12y t =+-是增函数，
当01a <<、[]1,1x ∈-时，1,t a a
⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，
此时2
max
11214y a ⎛⎫
=+-= ⎪⎝⎭
，解得13a =或15-（舍去）；
当1a >、[]1,1x ∈-时，1
,t a a
⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，
此时()2
max 1214y a =+-=，解得3a =或5-（舍去）， 综上所述，实数a 的值为1
3
或3， 故选：D. 【点睛】
本题考查根据函数的最值求参数，能否通过换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键，考查二次函数单调性的判断和应用，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.
4．C
解析：C 【分析】
先求出函数()21
122x x f x =-+的值域，再根据题干中要求即可得出()21122x x
f x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦
的值域. 【详解】
()21121111
=122122212
x x x x x
f x +-=--=-+++， ()121,x +∈+∞，
()1
0,112x
∴
∈+， ()1
1,012x
∴-
∈-+， 1111,21222x
⎛⎫∴-∈- ⎪+⎝⎭
， 即函数()21
122
x x
f x =-+的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由高斯函数定义可知：
函数()21122x x
f x ⎡⎤
=-⎢⎥+⎣⎦
的值域为{}1,0- 故选：C. 【点睛】
方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，
然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
5．A
解析：A 【分析】
可看出()f x 在(0,)+∞上单调递增，且得出3(log 2)b f =，并且可得出
33ln 3log log 2>，根据增函数的定义即可得出a ，b ，c 的大小关系．
【详解】
0x >时，2()x f x x e =是增函数，且()()f x f x -=，
33(log 2)(log 2)b f f ∴=-=，
33330log 1log 2log log 31=<<<=，ln3ln 1e >=，
∴
33ln 3log log 2>>， ∴
33(ln 3)(log (log 2)f f f >>，
c a b ∴>>． 故选：A ． 【点睛】
解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间
()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也
可以两种方法综合应用.
6．C
解析：C 【分析】
根据题意得1min 2min ()()g x f x >，再分别求函数的最小值即可得答案. 【详解】
解：∵x ∈，∴2[1,3]x ∈， ∴22
4
()3[1,2]f x x x =-∈+
． 当0k >时，()[2,22]g x k k ∈-++，所以只需满足：12k <-+，解得01k <<； 当0k =时，()2g x =．满足题意．
当0k <时，()[22,2]g x k k ∈-++，所以只需满足：122k <+，解得102
k >>-． ∴1,12k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
．
故选：C ． 【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的
子集 ．
7．B
解析：B 【分析】
当m =0时，()f x =1x -，符合题意.当0m ≠时，由题意可得0112m m m
>⎧⎪
-⎨≥⎪⎩，求得m 的范围.
综合可得m 的取值范围.
【详解】
当0m =时，()1f x x =-+，满足在区间(]1-∞，
上为减函数； 当0m ≠时，由于()()2
11f x mx m x =+-+的对称轴为12m
x m
-=
，且函数在区间(]1-∞，
上为减函数， 则0
112m m m
>⎧⎪
-⎨≥⎪⎩，解得103m <≤.
综上可得，1
03
m ≤≤. 故选：B 【点睛】
要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.
8．B
解析：B 【分析】
构造新函数()()g x xf x =，得出函数()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，把
()8
0f x x
-
>，转化为()()220f xf x -<，得到()()2g x g >，结合单调性和定义域，即可求解. 【详解】
由题意，定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()
112212
0x f x x f x x x -<-，
设()()g x xf x =，可得
()()1212
0g x g x x x -<-，所以函数()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，
因为()24f =，则()228f =， 不等式()8
0f x x -
>，可化为()80xf x x
-<，即()80xf x -<，即()()220f xf x -<，
即()()2g x g >，可得2
0x x <⎧⎨>⎩
，解得02x <<，
所以不等式()8
0f x x
->的解集为()0,2. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，其中解答中根据已知条件，构造新函数，利用新函数的单调性和特殊点的函数值，得出不等式关系式是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.
9．D
解析：D 【分析】
令t =
()0,t ∈+∞
()0,+∞，记
函数()2
2(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，进而分0m =和0m ≠两种情况，分别讨论，可求出m 的取值范围. 【详解】
令t =
1
y t
=的值域为0,
，
根据反比例函数的性质，可知()0,t ∈+∞
()0,+∞， 记函数()2
2(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，
若0m =，则()41g x x =-+，其值域为R ，满足()0,A +∞⊆；
若0m ≠，则00m >⎧⎨∆≥⎩，即()2
4240
m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m ≥或01m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.
故选：D.
10．D
解析：D 【分析】
利用已知条件可知(2)()0f x f x --+=、(2)()f x f x -=，进而得到(8)()f x f x +=，即周期为8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知()2018f 、()2019f 、
()2020f 、()2021f 中最小值.
【详解】
(1)f x -是奇函数，即(1)f x -关于(0,0)对称，
()f x ∴的图象关于点(1,0)-对称，即(2)()0f x f x --+=．
又
)1(f x +为偶函数，即(1)f x +关于0x =对称，
()f x ∴的图象关于直线1x =对称，即(2)()f x f x -=．
(2)(2)0f x f x --+-=，
(2)(2)0f x f x ∴-++=，即(8)()f x f x +=，函数()y f x =的周期为8， (2018)(2)(0)1f f f ∴===，(2019)(3)(1)0f f f ==-=，
(2020)(4)(2)(0)1f f f f ==-=-=-，(2021)(5)(3)(1)2f f f f ==-=-=-，故
(2021)f 最小．
故选：D 【点睛】
本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.
11．C
解析：C 【分析】
首先根据题意画出()h x 的图象，再根据图象即可得到()h x 的最小值. 【详解】 分别画出2y
x ，8
3
y x =
，6y x =-的图象， 则函数()h x 的图象为图中实线部分.
由图知：函数()h x 的最低点为A ，836y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
，解得1848,1111⎛⎫
⎪⎝⎭A .
所以()h x 的最小值为48
11
. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查根据函数的图象求函数的最值，考查了数形结合的思想，属于中档题.
12．D
解析：D 【分析】
根据()()()f xy f x f y =+且()21f =可得()42f =，8
3f ，则
()()23f x f x +-≤可化为()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，然后根据单调性求解.
【详解】
根据()()()f xy f x f y =+可得，()()23f x f x +-≤可转化为()23f x x -≤⎡⎤⎣⎦， 又()()()()422222f f f f =+==，
所以()()()842213f f f =+=+=，即()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，
因为()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，所以只需满足()28
020x x x x ⎧-≤⎪
>⎨⎪->⎩
，解得：24x <≤.
故选：D. 【点睛】
本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.
二、填空题
13．【分析】根据题意令从而得到得到为奇函数整理得到将代入求得的值【详解】设则即为奇函数故即即【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题解题方法如下：（1）构造奇函数；（2）利用奇函数的性质得到进 解析：3-
【分析】
根据题意，令()()3
1g x f x ax bx =-=-，从而得到()()3
g x ax bx g x -=-+=-，得到
()g x 为奇函数，整理得到()()2121f f --=--⎡⎤⎣⎦，将()25f =代入求得()2f -的值.
【详解】
设()()3
1g x f x ax bx =-=-，
则()()3
g x ax bx g x -=-+=-，
即()g x 为奇函数，
故()()22g g -=-，即()()2121f f --=--⎡⎤⎣⎦， 即()()222523f f -=-+=-+=-. 【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题，解题方法如下： （1）构造奇函数()()3
1g x f x ax bx =-=-；
（2）利用奇函数的性质得到()()22g g -=-，进而求得()()222f f -=-+，得到结果.
14．3【分析】根据题意求得函数的周期性得出函数的周期然后利用函数的周期和的值即可求解得到答案【详解】由题意函数对任意实数满足条件则即函数是以4为周期的周期函数又由令则即所以【点睛】本题主要考查了抽象函数
解析：3 【分析】
根据题意，求得函数的周期性，得出函数的周期，然后利用函数的周期和()1f 的值，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，函数()f x 对任意实数x 满足条件1
(2)()
f x f x +=-， 则()1
(4)[(2)2](2)
f x f x f x f x +=++=-
=+，
即函数()f x 是以4为周期的周期函数，
又由()1
13
f =-
，令1x =-，则1(12)(1)f f -+=--，即1(1)3(1)f f -=
=， 所以()2019(14505)(1)3f f f =-+⨯=-=． 【点睛】
本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的周期性的判定和函数值的求解，其中解答中根据题设条件求得函数的周期是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15．【分析】先令则求解的值然后再分类讨论求解的值【详解】令则当时有无解当时有解得或所以或当时故无解；当时若则得若则即无解综上所述：故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用考查根据函数值求参难度一般解答时
【分析】
先令()f a t =，则()2f t =，求解t 的值，然后再分类讨论，求解a 的值. 【详解】
令()f a t =，则()2f t =，当0t >时，有22t -=，无解， 当0t ≤时，有2222t t ++=，解得0t =，或2t =-， 所以()0f a =或()2f a =-，
当()0f a =时，()2
222110a a a ++=++>，20a -<，故 ()0f a =无解；
当()2f a =-时，若0a >，则22a -=-，得a =
若0a ≤，则2222a a ++=-，即2240a a ++=，无解，
综上所述：a =
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查根据函数值求参，难度一般，解答时注意分类讨论思想的运用.
16．2021【分析】由已知条件利用换元法求出f （x ）然后代入计算即可求解【详解】已知函数f （x ）在定义域（0+∞）上是单调函数且对任意x ∈（0+∞）都有ff （x ）﹣＝2可设f （x ）﹣＝c 故f （x ）＝+c
解析：2021 【分析】
由已知条件，利用换元法求出f （x ），然后代入计算即可求解． 【详解】
已知函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且对任意x ∈（0，+∞），都有f [f （x ）﹣
1
x
]＝2，
可设f （x ）﹣1x ＝c ，故f （x ）＝1x +c ，且f （c ）＝c +1
c
＝2（c ＞0），解可得c ＝1，f （x ）＝1
x
+1， 则f （
1
2020）＝2021． 故答案为：2021 【点睛】
本题主要考查了利用函数的单调性求函数值，函数解析式的求法，注意函数性质的合理应用，属于中档题．
17．【分析】由函数的定义域得出的取值范围结合分母不等于0可求出的定义域【详解】函数的定义域函数应满足：解得的定义域是故答案为：【点睛】本题考查了求函数定义域的问题函数的定义域是函数自变量的取值范围应满足 解析：[1,1)-
【分析】
由函数()y f x =的定义域，得出21x +的取值范围，结合分母不等于0，可求出()g x 的定义域． 【详解】
函数()y f x =的定义域[1-，3]，
∴函数(21)
()1
f x
g x x +=
-应满足： 1213
10x x -≤+≤⎧⎨
-≠⎩
解得11x -≤< ()g x ∴的定义域是[1,1)-.
故答案为：[1,1)-． 【点睛】
本题考查了求函数定义域的问题，函数的定义域是函数自变量的取值范围，应满足使函数的解析式有意义，是基础题．
18．【分析】分析的奇偶性根据的结果求解出的值【详解】令因为为上的奇函数且也为上的奇函数所以为上的奇函数所以所以且所以故答案为：【点睛】结论点睛：已知（1）当为奇数时且此时为奇函数；（2）当为偶数时为偶函数 解析：12-
【分析】
分析()()2h x g x =-的奇偶性，根据()()22h h +-的结果求解出()2g -的值. 【详解】
令()()()2h x g x af x bx =-=+，因为()f x 为R 上的奇函数，且y bx =也为R 上的奇函数，
所以()()2h x g x =-为R 上的奇函数，所以()()220h h +-=， 所以()()22220g g -+--=，且()216g =，所以()212g -=-， 故答案为：12-. 【点睛】
结论点睛：已知()(),0n
f x x a n Z n =+∈≠，
（1）当n 为奇数时，且0a =，此时()f x 为奇函数； （2）当n 为偶数时，()f x 为偶函数.
19．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论【详解】解：是定义在上的偶函数且在上是减函数不等式等价为即所以即即解得即故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解根据函数奇偶性和
解析：1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论． 【详解】 解：
()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，
∴不等式()()21f m f m ->，等价为()()21f m f m ->，即21m m -<，
所以()2
221m m -<，即()2
2210m m --<，即()()3110m m --<，解得
1
13
m << 即1,13m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键，属于中档题．
20．【分析】首先求出的取值范围令将函数转化为三角函数再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得；【详解】解：因为所以解得令则所以因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数的值域的计算换元法的应用三角
解析：
【分析】
首先求出x 的取值范围，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
将函数转化为三角函数，再根据三
角恒等变换及三角函数的性质计算可得； 【详解】
解：因为y =所以401830
x x -≥⎧⎨
-≥⎩解得46x ≤≤，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
则y t t ==
3t π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
所以3y t π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
， 因为0,
2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336t πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，所以1sin ,132t π⎛⎫⎡⎤
+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
所以y ∈
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的值域的计算，换元法的应用，三角函数及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.
三、解答题
21．（1）1-； （2）函数单调递增，证明见解析； （3）3
{|14
x x <<或3}x >. 【分析】
（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；
（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可； （3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解. 【详解】
（1）由题意，函数()f x 对任意的正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立， 令1x y ==，可得(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =， 令12,2x y ==
，可得1(1)(2)()2f f f =+，即11()02f +=，解得1
()12
f =-. （2）函数()f x 为增函数，证明如下： 设12,(0,)x x ∈+∞且12x x <， 令211,x x x y x ==
，根据题意，可得2
121()()()x f x f f x x +=，即2211
()()()x f x f x f x -=，
又由1x >时，()0f x >，
因为
2
11x x >，可得21
()0x f x >，即21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 所以函数()y f x =在(0,)+∞上的单调性.
（3）由题意和（1）可得1
1(86)1(86)()[(86)](43)2
2
f x f x f f x f x --=-+=-=-， 又由不等式2()(86)1f x f x >--，即2()(43)f x f x >-，
可得243430
x x x ⎧>-⎨->⎩，解得314x <<或3x >，
即不等式2()(86)1f x f x >--的解集为3
{|14
x x <<或3}x >. 【点睛】
求解函数有关的不等式的方法及策略： 解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.
利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 22．（1）0a =；（2）62a -≤≤. 【分析】
（1）当0a =时，由()4
3f x x =+判断，当0a ≠时，由()(),f a f a -的关系判断；
（2）根据()g x 是偶函数，将()()6g x a g x +≤-，转化为 ()()
6g x a g x +≤-，再根据()g x 在[)0,+∞是增函数，转化为[]
1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立求解. 【详解】
（1）当0a =时，()4
3f x x =+是偶函数，
当0a ≠时，a a ≠-，而()()()4
20f a f a a --=≠，()f x 不可能是偶函数，
所以当0a =时，()f x 是偶函数；
（2）由()g x 是偶函数知()()
g x a g x a +=+，()()
66g x g x -=-，且x a +，
60x -≥，
因为()g x 在[)0,+∞是增函数，及()()6g x a g x +≤-，
所以当[]
1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立，
即当[]1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立，
即当[]1,2x ∈时，66x x a x -≤+≤-恒成立， 即当[]1,2x ∈时，662a x -≤≤-恒成立，
所以62a -≤≤. 【点睛】
方法点睛：函数奇偶性与单调性求参数问题，当涉及到偶函数时，要利用
()()()f x f
x f x -==转化为求解.
23．（1）答案见解析；（2）存在0a =或1． 【分析】
（1）直接作出图象即可；
（2）利用分离常数的方法结合反比例函数的单调性得出a 的范围，化简4y ≤将恒成立问题转化为求最值得出a 的范围，再由a 是整数求值即可． 【详解】
（1）当1a =时，1233
=1222
x x y x x x +-+=
=+---
（2）存在0a =或1符合题意．
()212112=222
a x a ax a
y a x x x -++++=
=+
--- 函数在[4,)+∞上是严格减函数，则120a +>，解得1
2
a >- 当4x ≥时，都有1
2
4ax y x =-≤+，等价于49ax x ≤-，即min 94a x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭
又94y x =-
在[)4,+∞上单调递增，则97
444
a ≤-= 故a 的取值范围是17
24
a -<≤，a 为整数，则符合条件的a 有0,1． 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的图象，考查函数单调性的应用，以及函数的恒成立问题，解决本题的关键是将当4x ≥时，都有4y ≤进行去分母化简，并分离参变量，将不等式恒成立转化为函数的最值问题，结合反比例函数的单调性求出参数的范围，考查了学生逻辑思
维能力和计算能力，属于中档题．
24．（1）(a ∈；（2）2；（3）()g a 2
62,2
6,2
a a a a ->⎧=⎨-⎩． 【分析】
（1）利用二次函数的性质列出关系式求解即可．
（2）根据二次函数定义域和值域之间的关系进行判断即可． （3）对对称轴分类讨论，得到最大值． 【详解】
解：（1）a R ∈，函数2()25f x x ax =-+．开口向上，不等式()0f x >对任意的
x ∈R 恒成立，
可得：24200a -<，解得(a ∈．
（2）函数2
()25f x x ax =-+的对称轴为x a =，则函数在[1,]a 上为减函数，
函数的值域为[1,]a ，∴()1f a =，即22251a a -+=，即24a =， 解得2a =-（舍)或2a =．
（3）函数2
()25f x x ax =-+的对称轴为x a =，开口向上，
①当12
a a +
，即2a 时，()f x 在区间[1，1]a +上的最大值为2
(1)6f a a +=-； ②2a >时，()f x 在区间[1，1]a +上的最大值为(1)f 62a =-．
所以()g a 2
62,26,2a a a a ->⎧=⎨-⎩
． 【点睛】
方法点睛：求二次函数的最值或值域时，关键在于确定二次函数的对称轴与所求的区间的关系，也即是二次函数在所求区间上的单调性，利用单调性求得值域． 25．（1）()2
12
f x x x =-+；（2）存在，4,0m n =-=. 【分析】
（1）由()20f =得到,a b 的关系，根据()f x x =有两个相等实根求b ，即可写出()f x 的解析式；
（2）将()f x 函数式化为顶点式知1
6
n ≤，进而有[],m n 在1x =的左边，结合二次函数单调性列方程组求解即可知是否存在,m n 值. 【详解】
（1）由()20f =得：420a b +=①；
由()f x x =有等根得：()2
10ax b x +-=有等根，
∴()2
10b ∆=-=，得1b =，
将1b =代入①得：12
a =-， ∴()2
12
f x x x =-
+； （2）()()2
21111222
f x x x x =-+=--+， ∴132n ≤
，即1
6
n ≤，而()f x 对称轴为1x =，即[],m n 在1x =的左边， ∴由二次函数的性质知：()2
12
f x x x =-
+在区间[],m n 上单调递增， 则有()3()3m n f m m f n n <⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，解得4,0m n =-=，
故存在实数4,0m n =-=，使()f x 的定义域是[],m n ，值域是[]3,3m n . 【点睛】
关键点点睛：由有相等实根结合判别式求参数值，根据二次函数的性质：最值判断参数范围，在结合区间相对于对称轴的位置，并由其单调性列方程组求参数值确定存在性.
26．（1）141,06
1
163,6a a a a ⎧
-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩
；（2）14．
【分析】
（1）根据对称轴的位置讨论两种情况：11
3,322-≤-->-a a
，分别根据二次函数的单调性求出最大值即可得结果； （2）设
11221,,1010⎡⎤
==∈⎢⎥⎣⎦
x x t t x x ，由韦达定理可得 211(1)2=
=
+++t a t t t
，利用函数的单调性可得实数a 的最大值．
【详解】
（1）对称轴1
2x a =-，[4,2],0∈-->x a 二次函数开口向上，
①当132-≤-a
，即1
06a <≤时：()(2)41=-=-M a f a ，
②当132-
>-a
，即1
6a >时：()(4)163=-=-M a f a ，
综上所述，141,06()1163,6a a M a a a ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩
． （2）由题知：方程210ax x ++=的两个根分别为1x x =、2x x =， 由韦达定理知：121x x a ⋅=
①，121x x a +=-②， 又已知121,1010⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
x t x ，③ 联立1212
1x x a x tx ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，得121,(1)(1)--==++t x x t a t a ， 带入121x x a
⋅=知：221(1)=+⋅t t a a ， 即211(1)2==+++t a t t t ，其中1,1010⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ． 当1t =时，分母1
2t t
++取得最小值4，
所以a 得最大值为14
． 【点睛】 本题考查二次函数图像、对称轴、最值的基本关系，清楚一元二次方程根与系数的关系的处理，对“对勾函数”的单调性、最值的理解是解题的关键.。