苏科版八年级下册数学期中试卷(含答案)

苏科版八年级下册数学期中试卷(含答案)
一、选择题
1．下列图案中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．将下列分式中x，y(xy≠0)的值都扩大为原来的2倍后，分式的值一定不变的是()
A．31
2
x
y
+
B．2
3
2
x
y
C．
2
3
2
x
xy
D．
3
2
3
2
x
y
3．如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A’，若∠C＝120°，∠A＝26°，则∠A′DB的度数是（）
A．120°B．112°C．110°D．100°
4．一个事件的概率不可能是（）
A．3
2
B．1 C．
2
3
D．0
5．如果把分式
a
a b
-
中的a、b都扩大2倍，那么分式的值一定（）
A．是原来的2倍B．是原来的4倍
C．是原来的1
2
D．不变
6．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）
A．24
5
B．
12
5
C．5 D．4
7．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．
C．D．
8．若分式
5
x
x
的值为0，则（）
A．x＝0 B．x＝5 C．x≠0 D．x≠5
9．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是（）
A．对角线相等，对边平行且相等B．一组对边平行，一组对角相等
C．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直 D．一组邻边相等，对角线互相平分
10．下列判断正确的是（）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．两组邻边相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形二、填空题
11．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2m 的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是__m2．
12．在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____．
13．如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点．若COD是由AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣5的图象经过正方形OABC的顶点A和C，则正方形OABC的面积为_____．
15．为估算湖里有多少条鱼，先捕上100条做了标记，然后再放回湖里，过一段时间（鱼群完全混合）后，再捕上200条鱼，发现其中带标记的鱼有20条，那么湖里大约有______条鱼.
16．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF，BF，若AB＝16，EF＝1，∠AFB＝90°，则BC的长为_____．
17．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝_____°时，GC＝GB．
18．326_____．
19．空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，宜选用_____统计图．
20．若关于x的分式方程
2
33
x a
x x
+
--
＝2a无解，则a的值为_____．
三、解答题
21．某文化用品商店用120元从某厂家购进一批套尺，很快销售一空；第二次购买时，该厂家回馈老客户，给予8折优惠，商店用100元购进第二批该款套尺，所购到的数量比第一批还多1套．
（1）求第一批套尺购进时的单价；
（2）若商店以每套5.5元的价格将第二批套尺全部售出，可以盈利多少元？
22．某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组．学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，请你过计算估计选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人．
23．已知：如图，在 ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且∠ABE ＝∠CDF ． 求证：四边形BFDE 是平行四边形．
24．如图，在▱ABCD 中，BE=DF ．求证：AE=CF ．
25．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表:调查结果统计表 组别
A B
C
D E
分组（元） 030x ≤＜ 3060x ≤＜
频数
调查结果频数分布直方图 调查结果扇形统计图
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次调查的样本容量是 ，a = ,m = ； （2）补全频数分布直方图；（3）求扇形统计图中扇形B 的圆心角度数； （4）该校共有1000人，请估计每月零花钱的数额x 在3090x ≤＜范围的人数. 26．已知：如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 上，且BE ＝DF 求证：AC 、EF 互相平分．
27．先化简，再求代数式（1﹣32x +）÷21
2
x x -+的值，其中x ＝4．
28．（发现）
（1）如图1，在▱ABCD 中，点O 是对角线的交点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ．求证：△AOE ≌△COF ；
（探究）
（2）如图2，在菱形ABCD 中，点O 是对角线的交点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，若AC ＝4，BD ＝8，求四边形ABFE 的面积． （应用）
（3）如图3，边长都为1的5个正方形如图摆放，试利用无刻度的直尺，画一条直线平分这5个正方形组成的图形的面积．（要求：保留画图痕迹）
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
本题根据中心对称图形的概念求解． 【详解】
A 选项是中心对称图形，故本选项符合题意；
B 选项是轴对称图形，故本选项不合题意；
C 选项是轴对称图形，故本选项不合题意；
D 选项是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A ． 【点睛】
本题考查中心对称图形的识别，按照其定义求解即可，注意与轴对称图形的区别．
2．C
解析：C 【分析】
根据分式的基本性质解答． 【详解】
解：∵分式中x ，y （xy ≠0）的值都扩大为原来的2倍， ∴A. 23161
224x x y y
⨯++=⨯，分式的值发生改变；
B.
22
2332(2)4x x
y y ⨯=⨯，分式的值发生改变；
C. 22
3(2)32222x x x y xy ⨯=⨯⨯，分式的值一定不变；
D. 33
2
23(2)32(2)x x y y
⨯=⨯，分式的值发生改变； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的数（或式子），分式的值不变．
3．B
解析：B 【分析】
根据轴对称和平行线的性质，可得∠A 'DE ＝∠B ，又根据∠C ＝120°，∠A ＝26°可求出∠B 的值，继而求出答案． 【详解】
解：由题意得：DE ∥BC ，
∴∠A 'DE ＝∠B ＝180°﹣120°﹣26°＝34°， ∴∠BDE ＝180°﹣∠B ＝146°，
故∠A 'DB ＝∠BDE ﹣∠A 'DE ＝146°﹣34°＝112°． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了轴对称以及三角形中位线的性质，解题的关键是熟知三角形的中位线平行于第三边．
4．A
解析：A
【分析】
根据概率的意义知，一件事件的发生概率最大是1，所以只有A 项是错误的，即找到正确选项． 【详解】
∵必然事件的概率是1，不可能事件的概率为0， ∴B、C 、D 选项的概率都有可能， ∵
3
2
＞1， ∴A 不成立． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了概率的定义，正确把握各事件的概率是解题的关键.
5．D
解析：D 【分析】
把2a 、2b 代入分式，然后进行分式的化简计算，从而与原式进行比较得出结论． 【详解】
解：把2a 、2b 代入分式可得
22222()a a a
a b a b a b
==---，
由此可知分式的值没有改变， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时扩大或者缩小相同的倍数，分式的值不变.
6．A
解析：A 【分析】
根据菱形性质求出AO ＝4，OB ＝3，∠AOB ＝90°，根据勾股定理求出AB ，再根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，设AB,CD 交于O 点， ∴AO ＝OC ，BO ＝OD ，AC ⊥BD ， ∵AC ＝8，DB ＝6，
∴AO ＝4，OB ＝3，∠AOB ＝90°，
由勾股定理得：AB 5， ∵S 菱形ABCD ＝
1
2
×AC×BD ＝AB×DH ，
∴1
2
×8×6＝5×DH，
∴DH＝24
5
，
故选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝1
2
×AC×BD＝
AB×DH是解此题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解即可．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解答本题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不等于0，进而得出答案．
【详解】
解：∵分式
5
x
x
的值为0，
∴x﹣5＝0且x≠0，解得：x＝5.
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式，掌握“分式值为0”时的做题方法及分式有意义的条件是解题关键．9．C
解析：C
【分析】
根据所给条件逐一进行判断即可得．
【详解】
A选项中，根据“对边平行且相等和对角线相等”只能判定该四边形是矩形；
B选项中，根据“一组对边平行，一组对角相等”只能判定该四边形是平行四边形；
C选项中，根据“对角线互相平分且相等，对角线互相垂直”可判定该四边形是正方形；D选项中，根据“一组邻边相等，对角线互相平分”只能判定该四边形是菱形；
故选C．
10．A
解析：A
【分析】
利用特殊四边形的判定定理逐项判断即可.
【详解】
A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此项正确
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此项错误
C、对角线相等的平行四边形是矩形，此项错误
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此项错误
故选：A.
【点睛】
本题考查了特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）的判定定理，掌握理解各判定定理是解题关键.
二、填空题
11．1
【详解】
解：由题意可知，正方形的面积为4平方米，
因为小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，
所以不规则区域的面积约是4×0.25=1平方米.
故答案为：1
解析：1
【详解】
解：由题意可知，正方形的面积为4平方米，
因为小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，
所以不规则区域的面积约是4×0.25=1平方米.
故答案为：1
12．20
【分析】
利用频率估计概率，设原来红球个数为x个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x的方程，解方程即可得.
【详解】
设原来红球个数为x个，
则有=，
解得，x=20，
解析：20
【分析】
利用频率估计概率，设原来红球个数为x个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x的方程，解方程即可得.
【详解】
设原来红球个数为x个，
则有
10
10
x
=
10
30
，
解得，x=20，
经检验x=20是原方程的根.
故答案为20.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键.
13．90
【分析】
由△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案
【详解】
解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而
解析：90
【分析】
由△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案
【详解】
解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，
∴OB=OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD=90°，
∴旋转的角度为90°，
故答案为： 90．
【点睛】
本题考查了旋转的性质．解题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．
14．10
【分析】
过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，易得△OCM≌△OAN；由CM＝ON，OM＝ON；设点C坐标（a，b），可求得A（2a﹣5，﹣a），则a＝3，可求OC＝，所以正方
解析：10
【分析】
过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，易得△OCM≌△OAN；由CM＝ON，OM＝ON；设点C坐标（a，b），可求得A（2a﹣5，﹣a），则a＝3，可求OC＝
，所以正方形面积是10．
【详解】
解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，
∵∠COM+∠MOA＝∠MOA+∠NOA＝90°，
∴∠NOA＝∠COM，
又因为OA＝OC，
∴Rt△OCM≌Rt△OAN（ASA），
∴OM＝ON，CM＝AN，
设点C（a，b），
∵点A在函数y＝2x﹣5的图象上，
∴b＝2a﹣5，
∴CM＝AN＝2a﹣5，OM＝ON＝a，
∴A（2a﹣5，﹣a），
∴﹣a＝2（2a﹣5）﹣5，
∴a＝3，
∴A（1，﹣3），
在直角三角形OCM中，由勾股定理可求得OA
∴正方形OABC的面积是10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了一次函数与正方形的综合，涉及全等三角形的证明，勾股定理的应用，函数的相关计算等，熟知以上知识是解题的关键．
15．1000
【解析】
【分析】
根据通过样本去估计总体的统计思想．捕上200条鱼，发现其中带有标记的鱼为20条，说明有标记的占到，而有标记的共有100条，从而可求得总数．
【详解】
可估计湖里大约有鱼
解析：1000
【解析】
【分析】
根据通过样本去估计总体的统计思想．捕上200条鱼，发现其中带有标记的鱼为20条，说
明有标记的占到
1
10
，而有标记的共有100条，从而可求得总数．
【详解】
可估计湖里大约有鱼100÷20
200
=1000条．
故答案为1000．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体，体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．
16．18
【分析】
根据直角三角形的性质得到DF＝8，根据EF＝1，得到DE＝9，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，
∴DF＝AB＝8，
∵EF＝1，
解析：18
【分析】
根据直角三角形的性质得到DF＝8，根据EF＝1，得到DE＝9，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，
∴DF＝1
2
AB＝8，
∵EF＝1，
∴DE＝9，
∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝18，
故答案为：18
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
17．60或300
【分析】
当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角θ的度数．
【详解】
解：当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况
解析：60或300
【分析】
当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角θ的度数．
【详解】
解：当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝1
2
AD＝
1
2
AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°．
故答案为60或300
【点睛】
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．18．【分析】
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】
＝2
＝2×3
＝6．
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
解析：
【分析】
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
19．扇形
【分析】
反映各个部分占整体的百分比，因此选择扇形统计图比较合适．
【详解】
解：要反映空气中各成分所占的百分比，因此用扇形统计图比较合适，
故答案为：扇形．
【点睛】
本题考查统计图的选择，
解析：扇形
【分析】
反映各个部分占整体的百分比，因此选择扇形统计图比较合适．
【详解】
解：要反映空气中各成分所占的百分比，因此用扇形统计图比较合适，
故答案为：扇形．
【点睛】
本题考查统计图的选择，扇形统计图可以反映各个部分占整体的百分比．
20．5或1.5
【分析】
先直接解分式方程，整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，再分类讨论①当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；②当1﹣2a≠0时，x＝＝3时，分式方程无解，则a＝1.5 .
【详解】
解析：5或1.5
【分析】
先直接解分式方程，整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，再分类讨论①当1﹣2a＝0时，方程无
解，故a＝0.5；②当1﹣2a≠0时，x＝
4
21
a
a-
＝3时，分式方程无解，则a＝1.5 .
【详解】
解：
2
2
33
x a
a
x x
+=
--
，
去分母得：x﹣2a＝2a（x﹣3），
整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，
当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；
当1﹣2a≠0时，x＝
4
21
a
a-
＝3时，分式方程无解，则a＝1.5，
则a的值为0.5或1.5．
故答案为：0.5或1.5．
【点睛】
本题主要考查了当分式方程无意义时，求字母的值.值得引起注意的是，当分式方程化为整式方程（1﹣2a）x＝﹣4a时，一定要分1-2a=0和1-2a≠0两种情况，来分别求m的值.三、解答题
21．（1）第一批套尺购进时单价为5元；（2）可以盈利37.5元．
【分析】
（1）设第一批套尺购进时单价为x元，则第二批套尺购进时单价为0.8x元，根据数量＝总价÷单价结合第二次购进的数量比第一批多1套，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用单价＝总价÷数量可求出第二批套尺购进时的单价，再利用总利润＝单套利润×销售数量（购进数量），即可求出结论．
【详解】
解：（1）设第一批套尺购进时单价为x元，则第二批套尺购进时单价为0.8x元，
依题意，得：100120
1 0.8x x
-=，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．
答：第一批套尺购进时单价为5元．
（2）第二批套尺购进时单价为5×0.8＝4（元）．
全部售出后的利润为（5.5﹣4）×[100÷4]＝37.5（元）．答：可以盈利37.5元．
【点睛】
本题考查的是分式方程的应用，掌握寻找相等关系列分式方程是解题的关键．22．（1）150人；（2）见解析；（3）192人
【分析】
（1）根据书法小组的人数及其对应百分比可得总人数；
（2）根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形；
（3）总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比即可．
【详解】
（1）参加这次问卷调查的学生人数为：30÷20%=150（人）；
（2）航模的人数为150﹣(30+54+24)=42（人），补全条形统计图如下：
（3）该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有：1200×
24
150
×100%=192（人）．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．见解析
【分析】
先根据平行四边形的性质，得出ED∥BF，再结合已知条件∠ABE＝∠CDF推断出EB∥DF，即可证明．
【详解】
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADF＝∠DFC，ED∥BF，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠ABC－∠ABE＝∠ADC－∠CDF，即∠EBC＝∠ADF，
∴∠EBC＝∠DFC，
∴EB∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和平行四边形的判定定理，掌握知识点是解题关键．24．证明见解析．
【解析】
试题分析：由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，证出∠ADE=∠CBF ，再由BE=DF ，得出DE=BF ，证明△ADE ≌△CBF ，即可得出结论．
试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD=BC ，
∴∠ADE=∠CBF ，
∵BE=DF ，
∴DE=BF ，
在△ADE 和△CBF 中，
{AD CB
ADE CBF DE BF
=∠=∠=，
∴△ADE ≌△CBF （SAS ），
∴AE=CF ．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
25．（1）50，16，8；（2）补全图形见解析；（3）扇形统计图中扇形B 的圆心角度数为115.2°；（4）每月零花钱的数额x 在30≤x ＜90范围的人数大约为720人．
【解析】
分析：（1）根据C 组的频数是20，对应的百分比是40%，据此求得调查的总人数，然后求得a 的值，m 的值；
（2）根据a 的值补全频数分布直方图；
（3）利用360°乘以对应的比例即可求解；
（4）利用总人数1000乘以对应的比例即可求解．
详解：（1）调查的总人数是20÷40%=50（人），则a =50﹣4﹣20﹣8﹣2=16，A 组所占的百分比是
450
=8%，则m =8． 故答案为50，16，8； （2）补全频数分布直方图如图：
（3）扇形统计图中扇形B 的圆心角度数是360°×1650
=115.2°； （4）每月零花钱的数额x 在30≤x ＜90范围的人数是1000×
162050+=720（人）． 答：每月零花钱的数额x 在30≤x ＜90范围的人数大约为720人．
点睛：本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题的关键，扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
26．证明见解析
【分析】
连接AE 、CF ，证明四边形AECF 为平行四边形即可得到AC 、EF 互相平分．
【详解】
解：连接AE 、CF ，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ﹦BC ，
又∵DF ﹦BE ，
∴AF ﹦CE ，
又∵AF ∥CE ，
∴四边形AECF 为平行四边形，
∴AC 、EF 互相平分．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题关键．
27．11x +；15
【分析】
首先把括号内的分式进行通分、相减，把除法转化为乘法，即可化简，最后代入数值计算即可．
【详解】 解：原式＝()()
232211x x x x x +-+⋅++- ()()12211x x x x x -+=
⋅++- 11
x =+ 当x ＝4时，原式＝
15
． 【点睛】 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
28．（1）见解析 （2）8 （3）见解析
【分析】
（1）根据ASA 证明三角形全等即可．
（2）证明S 四边形ABFE ＝S △ABC 可得结论．
（3）利用中心对称图形的性质以及数形结合的思想解决问题即可（答案不唯一）．
【详解】
（1）【发现】证明：如图1中，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AO ＝OC ，AD ∥BC ，
∴∠EAO ＝∠FCO ，
在△AOE 和△COF 中，
EAO FCO AO CO
AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOE ≌△COF （ASA ）．
（2）【探究】解：如图2中，由（1）可知△AOE ≌△COF ，
∴S △AOE ＝S △COF ，
∴S 四边形ABFE ＝S △ABC ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴S △ABC ＝12S
菱形ABCD ， ∵S 菱形ABCD ＝12•AC •BD ＝12
×4×8＝16， ∴S 四边形ABFE ＝
12×16＝8． （3）【应用】
①找出上面小正方形的对角线交点，以及下面四个小正方形组成的矩形的对角线交点，连接即可；
②连接下面左边数第二个小正方形右上角和左下角的顶点；
③分别找出第二列两个小正方形的对角线交点，并连接，与最上面的小正方形最上面的边交于一点，把这个点与图形底边中点连接即可．
如图3中，直线l 即为所求（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定、菱形的性质以及中心对称图形的性质，掌握数形结合的思想是解决本题的关键．。