北师版高考总复习一轮理科数精品课件 选修4—4 坐标系与参数方程 第1课时 极坐标方程与参数方程

反思感悟直角坐标方程化为参数方程或极坐标方程的方法
(1)将直角坐标方程化为参数方程时,首先确定一个适当的参数,然后用该
参数表示出直角坐标方程中的x,y;
= cos,
(2)直角坐标方程化为极坐标方程的方法是直接将互化公式
代
= sin
入直角坐标方程化简整理.
对点训练1在直角坐标系xOy中,过点P
ρ>0,θ∈[0,2π),那么平面内的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)是一一对应的.
2.由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ=ρ(θ)的图形的对称性:若
π
ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称;若ρ(θ)=ρ(π-θ),则图形关于射线θ= 2
所在的直线对称;若ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关于极点O对称.
为
=
=
2 2
,
2
+1
(t
2
-1
2 +1
为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极
坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρcos +
π
4
=
2
.
2
(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;
(2)已知点 A 在曲线 C 上,且点 A 到直线 l
2
的距离为 ,求点
典例突破
例1.(2021全国乙,理22)在直角坐标系xOy中,☉C的圆心为C(2,1),半径为1.
(1)写出☉C的一个参数方程;
(2)过点F(4,1)作☉C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立
极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
= 2 + cos,
解:(1)☉C 的参数方程为
(θ 为参数).
= 1 + sin
(2)☉C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
①当直线斜率不存在时,直线方程为x=4,此时圆心到直线的距离d=2,有
d>r(r为圆C的半径),不合题意,舍去;
②当直线斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-4),化简得kx-y-4k+1=0,
|2-1-4+1|
5.曲线的参数方程的
应用
6.极坐标方程的应用
强基础 增分策略
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
' = ·, > 0,
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ: ' = ·, > 0 的作
用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,
ρ0sin(θ0-α)
=
.
(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程:
①直线过极点:θ=θ0(ρ∈R)或 θ=π+θ0
②直线过点M(a,0),且垂直于极轴:
③直线过点 M
π
,
2
,且平行于极轴:
(ρ∈R);
ρcos θ=a ;
ρsin θ=b
.
5.圆的极坐标方程
2 2
2
ρ
-2ρ
ρcos(θ-θ
)+
0
0
此时圆心 C(2,1)到直线的距离 d=
由 d=r=1,得 2|k|=
2
2 +1
=
|2|
,
2 +1
+ 1,两边平方得 4k =k +1,解得
2
2
3
k=± 3 .
代入直线方程并化简得 x- 3y+ 3-4=0 或 x+ 3y- 3-4=0,
化为极坐标方程为 ρcos θ- 3sin θ=4- 3或 ρcos θ+ 3sin θ=4+ 3.
3 3
,
2 2
作倾斜角为α的直线l与曲线
C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N.
(1)若以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,写出C的极
坐标方程和直线l的参数方程;
1
(2)求||
1
+ ||的取值范围.
解:(1)由曲线 C:x2+y2=1,可得 C 的极坐标方程为 ρ=1.
直线 l 的参数方程为
= -1 + 2sin (α为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标
互化公式
x = ρθ,
①
y = ρθ,
ρ2 = x 2 + y 2 ,
②
y
θ = x ( ≠ 0)
(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数
倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).
4.直线的极坐标方程
(1)若直线过点M(ρ0,θ0),且从极轴到此直线的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)
要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致.
2.普通方程化为参数方程需要引入参数,选择的参数不同,所得的参数方程
也不一样.一般地,常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的
横坐标(或纵坐标).
增素能 精准突破
考点一
曲线方程的三种形式间的转化(多考向探究)
考向1.直角坐标方程化为参数方程或极坐标方程
2
A 的直角坐标.
解:(1)将
=
=
∵ρcos +
π
4
2 2
,
2
+1
的参数
2
-1
2 +1
=
t 消去得到 C
2
的普通方程为 +y2=1(y≠1).
2
2
,
2
= cos,
∴ρcos θ-ρsin θ-1=0,由
得直线 l 的直角坐标方程为 x-y-1=0.
= sin
乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.
(2)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法
有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变
形,为消去参数创造条件.
对点训练 2 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
=
=
1θ 为参数)
= + sin.
= cos,
2
2
(3)椭圆方程 2 + 2 =1(a>b>0)的参数方程为
(θ 为参数)


= sin.
2

=
2
,
2
(4)抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为
(t 为参数)
= 2.
2
2
2
微点拨1.参数方程通过代入消元法或加减消元法消去参数化为普通方程,
简称伸缩变换.
2.极坐标系与极坐标
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 定点
O,
叫作极点;从O点引一条 射线
Ox,叫作极轴;选定
一个单位长度和角的正方向(通常取 逆时针 方
向),这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标:对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM
的长,θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度,ρ叫作点M的 极径 ,θ叫作
选修4—4 第1课时 极坐标方程与参数方程
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.了解在直角坐标系伸缩变换作用下
平面图形的变化情况.
2.能用极坐标表示点的位置,理解在两
个坐标系中表示点的位置的区别,能进
行极坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形的方
程,通过比较这些图形在两个坐标系中
| 1 |
2
= 3 sin +
π
6
=
>
6
,t
1+t2=-(
3
| 1 + 2 |
| 1 2 |
∈( 2, 3].
=
3cos α+3sin α),t1t2=2>0.
| 3cos +3sin |
2
考向2.参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程
典例突破
例2.(2021山西太原二模,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程
2
2
2
=
1- 2
1+ 2
2
+
4 2
(1+ 2 )2
=1,
2
+ =1(x≠-1).
4
l 的直角坐标方程为 2x+ 3y+11=0.
= cos,
(2)由(1)可设 C 的参数方程为 = 2sin (α 为参数,-π<α<π).
C 上的点到 l
当
|2cos +2 3sin +11|
=
=
3
+ cos,
2
(t
3
+ sin
2
为参数).
(2)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程可得 t2+( 3cos α+3sin
α)t+2=0,由 t 的几何意义知|PM|=|t1|,|PN|=|t2|.
由 Δ>0,可得 sin +
1
∴||
+
1
||
=
π
6
1
1
+ | |
的方程,理解用方程表示平面图形时选
择适当坐标系的意义.
4.了解参数方程及参数的意义.
5.能选择适当的参数写出直线、圆和
圆锥曲线的参数方程.
衍生考点
核心素养
1.曲线方程的三种形
式间的转化
2.求曲线或轨迹的极
坐标方程
3.求曲线或轨迹的参 1.直观想象
数方程
2.逻辑推理
4.直线的参数方程的 3.数学运算
应用
π
= 2cos,
(2)由(1)得曲线 C 的参数方程为
为参数, 且 ≠
2
= sin
∴点 A( 2cos θ,sin θ)到直线 l 的距离
| 2cos -sin -1|
d=
2
=
,
2
,
2
整理得 2cos θ=sin θ 或 2cos θ-sin θ= 3cos(θ+α)=2 其中 tan =
的距离为
7
2π
α=- 3 时,4cos
π
- 3
=
+11 取得最小值 7,
故 C 上的点到 l 距离的最小值为 7.
π
3
4cos -
7
+11
.
考向3.参数方程与极坐标方程间的互化
典例突破
= cos,
例3.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 = 1 + sin (t为参数,
径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,
得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
2 -2sin + 1-2 = 0,
(2)曲线 C1,C2 的公共点的极坐标满足方程组
= 4cos.
若ρ≠0,由方程组得
16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,
0
参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的数量,即|t|=|0 |,t 可正,
可负.使用该式时直线上任意两点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则|P1P2|=
1
|t1-t2|,P1P2 的中点对应的参数为2(t1+t2).
= + cos,
(2)圆的方程(x-a) +(y-b) =r 的参数方程为
由已知tan θ=2,可得
16cos2θ-8sin θcos θ=0,
从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.
a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.
突破方法参数方程与极坐标方程间的互化方法
对点训练3(2021四川高考诊断)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:
= 3 + 2cos,
2
2
(显然不成立,舍去),
所以 cos θ=±
3
.当
3
cos
3
6 6
θ= 时,A
,
3
3 3
;当 cos θ=-
3
时,A
3
−
6
6
,−
3
3
.
反思感悟参数方程或极坐标方程化为直角坐标方程的方法
= cos,
(1)极坐标方程化为直角坐标方程一般是互化公式
的逆用,有
= sin
时需要构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同
(1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为
0 -r =0 .
(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程:
①圆心位于极点,半径为r:ρ= r ;
②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos θ;
③圆心位于 M
π
,
2
,半径为 a:ρ= 2asin θ .
微点拨1.由极坐标的定义可知平面上点的极坐标不是唯一的,如果规定
6.曲线的参数方程
定义:在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的
= (),
函数
并且对于t的每一个允许值,由上式所确定的点M(x,y)都在
= (),
这条曲线上,则称上式为该曲线的 参数方程 ,其中变数t称为 参数 .
= 0 + cos,
(1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为 = + sin (t 为
a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=
4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共
点都在C3上,求a.
解:(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半
点M的 极角 ,有序实数对(ρ,θ)叫作点M的 极坐标 ,记作M(ρ,θ).
当点M在极点时,它的极径ρ=0,极角θ可以取任意值.
3.极坐标与直角坐标的互化
(1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ).
互化的前提条件
(1)极点与原点重合;
(2)极轴与 x 轴的正半轴重合;
(3)取相同的长度单位
4
1+ 2
为参
数).以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极
坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11=0.
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
1- 2
解:(1)因为-1<1+ 2
≤1,且 x2+
所以 C 的普通方程为 x