湖北省襄阳市育才中学高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

2016-2017学年湖北省襄阳市育才中学高二（上）期末数学试卷
（文科）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．已知两点A（1，2）．B（2，1）在直线mx﹣y+1=0的异侧，则实数m的取值范围为（）
A．（﹣∞，0）B．（1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）2．在图中的程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（）
A．B．C．D．
3．有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则b∥a”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误
4．下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（）
A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本
B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本
C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本
5．点A（1，3）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣2，1），则直线y=kx+b在x 轴上的截距是（）
A．﹣ B．C．﹣ D．
6．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（）
A．20 B．25 C．22.5 D．22.75
7．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，8），
其回归直线方程是=x+a且x1+x2+…+x8=6，y1+y2+…+y8=3，则实数a的值是（）
A．B．C．D．
8．两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+c的值为（）
A．﹣1 B．2 C．3 D．0
9．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=（）A．﹣7或﹣1 B．﹣7 C．7或1 D．﹣1
10．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是（）
A．[1﹣，1+] B．[1﹣，3] C．[1﹣2，3]D．[﹣1，1+] 11．已知A（3，1），B（﹣1，2）若∠ACB的平分线方程为y=x+1，则AC所在的直线方程为（）
A．y=2x+4 B．y=﹣3 C．x﹣2y﹣1=0 D．3x+y+1=0
12．已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，
可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）
A．2n B．3n C．n2D．n n
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．设i为虚数单位，复数z=（3+4i）（cosθ+isinθ），若，则tanθ的值为．
14．过点A（3，1）的直线l与圆C：x2+y2﹣4y﹣1=0相切于点B，则•=．15．若直线x+y+m=0上存在点P可作圆O：x2+y2=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，且∠APB=60°，则实数m的取值范围为．
16．已知f（x）=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，当x=2时用秦九韶算法求v2=．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知动圆P：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）被y轴所截的弦长为2，被x 轴分成两段弧，且弧长之比等于（其中P（a，b）为圆心，O为坐标原点）．
（1）求a，b所满足的关系式；
（2）点P在直线x﹣2y=0上的投影为A，求事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率的最大值．
18．已知圆心C（1，2），且经过点（0，1）
（Ⅰ）写出圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P（2，﹣1）作圆C的切线，求切线的方程及切线的长．
19．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．
（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为=，求此时直线l的方程．
20．某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列．
（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；
（Ⅱ）若B大学决定在成绩高的第4，5组中用
分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人
进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率．
21．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S2，S4，S3成等差数列．
（1）求数列{a n}的公比q；
（2）若a1﹣a3=3，问是数列{a n}的前多少项和．
22．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．
（1）求a的值；
（2）求三棱锥B1﹣A1BC的体积．
2016-2017学年湖北省襄阳市育才中学高二（上）期末数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．已知两点A（1，2）．B（2，1）在直线mx﹣y+1=0的异侧，则实数m的取值范围为（）
A．（﹣∞，0）B．（1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】根据题意，分析可得（1×m﹣2+1）（2×m﹣1+1）＜0，化简并解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，两点A（1，2）．B（2，1）在直线mx﹣y+1=0的异侧，必有（1×m﹣2+1）（2×m﹣1+1）＜0，
即（m﹣1）（2m）＜0，
解可得0＜m＜1；即m的取值范围是（0，1）；
故选：C．
2．在图中的程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】程序框图．
【分析】据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用三角形面积公式求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．
【解答】解：本题是几何概型，
所有的基本事件Ω={（x，y）|}
设能输出数对（x，y）为事件A，则A={（x，y）|}
结合右图易得S（Ω）=1，S（A）==．
∴所求概率为，
故选A．
3．有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则b∥a”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误
【考点】演绎推理的意义．
【分析】分析该演绎推理的三段论，即可得出错误的原因是什么．
【解答】解：该演绎推理的大前提是：若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；
小前提是：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；
结论是：直线b∥直线a；
该结论是错误的，因为大前提是错误的，
正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”．
故选：A．
4．下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（）
A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本
B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本
C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本
【考点】收集数据的方法．
【分析】根据系统抽样的特点，样本是在总体个数比较多的情况下，遵循一定的规则，具有相同的间隔，得到的一系列样本．
【解答】解：系统抽样的特点是从比较多比较均衡的个体中抽取一定的样本，并且抽取的样本具有一定的规律性，
在所给的四个抽样中，
从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本或从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本，
它们都是一个简单随机抽样；
对于某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本，由于个体是由差别明显的几部分组成，故采用分层抽样，只有在从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本，
这是一个最适宜用系统抽样法的．
故选C．
5．点A（1，3）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣2，1），则直线y=kx+b在x 轴上的截距是（）
A．﹣ B．C．﹣ D．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【分析】点关于直线对称，可以根据对称点的坐标，利用两点连线的斜率与直线垂直．然后两点中点在直线上．联立两个一元两次方程即可求解出直线方程，最后令y=0求出在x轴上的截距．
【解答】解：由题意知，
解得k=﹣，b=，
∴直线方程为y=﹣x+，
其在x轴上的截距为﹣×（﹣）=．
故选D．
6．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（）
A．20 B．25 C．22.5 D．22.75
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．
【解答】解：根据频率分布直方图，得；
∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，
0.3+0.08×5=0.7＞0.5；
∴中位数应在20～25内，
设中位数为x，则
0.3+（x﹣20）×0.08=0.5，
解得x=22.5；
∴这批产品的中位数是22.5．
故选：C．
7．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，8），
其回归直线方程是=x+a且x1+x2+…+x8=6，y1+y2+…+y8=3，则实数a的值是（）
A．B．C．D．
【考点】线性回归方程．
【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：∵x1+x2+…+x8=6，y1+y2+…+y8=3，
∴==，=，
∴这组数据的样本中心点是（，），
把样本中心点代入回归直线方程得：=×+a，
解得a=，
故选B．
8．两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+c的值为（）
A．﹣1 B．2 C．3 D．0
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】根据题意可知，x﹣y+c=0是线段AB的垂直平分线，由垂直得到斜率乘积为﹣1，而直线x﹣y+c=0的斜率为1，所以得到过A和B的直线斜率为1，利用A和B的坐标表示出直线AB的斜率等于1，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，然后利用中点公式和m的值求出线段AB的中点坐标，把中点坐标代入x﹣y+c=0中即可求出c的值，利用m和c的值求出m+c的值即可．【解答】解：由题意可知：直线x﹣y+c=0是线段AB的垂直平分线，又直线x﹣
y+c=0 的斜率为1，
则=﹣1①，且﹣+c=0②，
由①解得m=5，把m=5代入②解得c=﹣2，则m+c=5﹣2=3．
故选C
9．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=（）A．﹣7或﹣1 B．﹣7 C．7或1 D．﹣1
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【分析】利用直线平行的充要条件：斜率相等、截距不等即可得出．
【解答】解：∵直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，
∴，
解得a=﹣7．
故选：B．
10．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是（）
A．[1﹣，1+] B．[1﹣，3] C．[1﹣2，3]D．[﹣1，1+]
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】曲线即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，
以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得b=1+2，
b=1﹣2．结合图象可得b的范围．
【解答】解：如图所示：曲线y=3﹣，
即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3，0≤x≤4），
表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．
由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，
可得=2，
∴b=1+2，或b=1﹣2．
结合图象可得1﹣2≤b≤3，
故选C．
11．已知A（3，1），B（﹣1，2）若∠ACB的平分线方程为y=x+1，则AC所在的直线方程为（）
A．y=2x+4 B．y=﹣3 C．x﹣2y﹣1=0 D．3x+y+1=0
【考点】两直线的夹角与到角问题．
【分析】设点A关于直线y=x+1对称的点A′（x0，y0），则由题条件可求出A′（0，4）．所以直线A′B的方程为2x﹣y+4=0．由此知C（﹣3，﹣2）．从而得到直线AC的方程．
【解答】解：设点A关于直线y=x+1对称的点A′（x0，y0），
则，解得，即A′（0，4）．
∴直线A′B的方程为2x﹣y+4=0．
由得，
解得C（﹣3，﹣2）．
∴直线AC的方程为x﹣2y﹣1=0．
故选：C．
12．已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）
A．2n B．3n C．n2D．n n
【考点】归纳推理．
【分析】根据题意，分析给出的等式，类比对x+变形，先将其变形为x+=
++…++，再结合不等式的性质，可得××…××为定值，解可得答案．
【解答】解：根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简．消去根号，得到右式；
对于给出的等式，x+≥n+1，
要先将左式x+变形为x+=++…++，
在++…++中，前n个分式分母都是n，
要用基本不等式，必有××…××为定值，可得a=n n，
故选D．
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．设i为虚数单位，复数z=（3+4i）（cosθ+isinθ），若，则
tanθ的值为．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部为0求得tanθ的值．【解答】解：∵z=（3+4i）（cosθ+isinθ）=（3cosθ﹣4sinθ）+（3sinθ+4cosθ）i∈R，∴3sinθ+4cosθ=0，
又，
∴tanθ=．
故答案为：．
14．过点A（3，1）的直线l与圆C：x2+y2﹣4y﹣1=0相切于点B，则•=5．【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】过点A（3，1）的直线l与圆C：x2+y2﹣4y﹣1=0相切于点B，可得
=0．因此•==，即可得出．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣4y﹣1=0配方为x2+（y﹣2）2=5．∴C（0，2），半
径r=．
∵过点A（3，1）的直线l与圆C：x2+y2﹣4y﹣1=0相切于点B，
∴=0．
∴•=
=+
=
=5．
故答案为：5．
15．若直线x+y+m=0上存在点P可作圆O：x2+y2=1的两条切线PA、PB，切点为
A、B，且∠APB=60°，则实数m的取值范围为．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】当PO和直线x+y+m=0垂直时，∠APB的最大值为60°，此时∠APO=30°，PO=2r=2，从而圆心O到直线x+y+m=0的距离小于等于2，再利用点到直线的距离公式求得实数m的取值范围．
【解答】解：由题意可得，当PO和直线x+y+m=0垂直时，∠APB的最大值为60°，此时∠APO=30°，PO=2r=2，
则圆心O到直线x+y+m=0的距离小于等于2，即≤2，解得m∈，
故答案为．
16．已知f（x）=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，当x=2时用秦九韶算法求v2=24．【考点】秦九韶算法．
【分析】由秦九韶算法可得f（x）=（（（（x+5）x+10）x+10）x+5）x+1，即可得出．
【解答】解：f（x）=（（（（x+5）x+10）x+10）x+5）x+1，
v0=1，v1=2+5=7，v2=7×2+10=24．
故答案为：24．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知动圆P：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）被y轴所截的弦长为2，被x 轴分成两段弧，且弧长之比等于（其中P（a，b）为圆心，O为坐标原点）．
（1）求a，b所满足的关系式；
（2）点P在直线x﹣2y=0上的投影为A，求事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率的最大值．
【考点】几何概型；直线与圆相交的性质．
【分析】（1）利用垂径定理，勾股定理、等腰直角三角形的性质即可得出；（2）利用点到直线的距离公式、两点间的距离公式先计算出三角形的面积，利用几何概率的计算公式得出概率，进而利用导数求得其最大值．
【解答】解：（1）如图所示，设圆P被y轴所截的弦为EF，与x轴相较于C，D 两点，
过点P作PM⊥EF，垂足为M，连接PE，由垂径定理可得|EM|=1，在Rt△EMP 中，r2=1+a2．①
∵被x轴分成两段弧，且弧长之比等于，设为劣弧，∴∠CPD=90°，
过点P作PN⊥x轴，垂足无N，连接PD，PC，则Rt△PND为等腰直角三角形，∴r2=2b2．②
联立①②消去r可得：2b2=1+a2，即为a，b所满足的关系式．
（2）点P到直线x﹣2y=0的距离|PA|==d，
∵PA⊥OA，∴|OA|==，
==，
∴S
△OAP
∴事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率P=
=
=，当且仅当d2=r2﹣d2，即，解得
∴P的最大值为．
18．已知圆心C（1，2），且经过点（0，1）
（Ⅰ）写出圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P（2，﹣1）作圆C的切线，求切线的方程及切线的长．
【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出圆的半径，即可写出圆C的标准方程；
（Ⅱ）利用点斜式设出过点P（2，﹣1）作圆C的切线方程，通过圆心到切线的距离等于半径，求出切线的斜率，然后求出方程，通过切线的长、半径以及圆心与P点的距离满足勾股定理，求出切线长．
【解答】解（Ⅰ）∵圆心C（1，2），且经过点（0，1）
圆C的半径，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴圆C的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）设过点P（2，﹣1）的切线方程为y+1=k（x﹣2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
即kx﹣y﹣2k﹣1=0，有：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴k2﹣6k﹣7=0，解得k=7或k=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴所求切线的方程为7x﹣y﹣15=0或x+y﹣1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由圆的性质可知：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．
（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为=，求此时直线l的方程．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（Ⅰ）圆C：x2+（y﹣1）2=5，可得圆心C（0，1），半径为．求出圆心C到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d；利用基本不等式的性质、比较d与半径的关系即可得出．
（Ⅱ）当M与P不重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，利用勾股定理与两点之间的距离公式即可得出；
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由=，得=，直线与圆的方程联立消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，再利用根与系数的关系即可得出．
【解答】（Ⅰ）证明：圆C：x2+（y﹣1）2=5，可得圆心C（0，1），半径为．
∴圆心C到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d=≤=．
∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）解：当M与P不重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，
∴|CM|2+|MP|2=|CP|2，
设M（x，y）（x≠1），则x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
化简得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0（x≠1），
当M与P重合时，x=y=1也满足上式．
故弦AB中点的轨迹方程是x2+y2﹣x﹣2y+1=0．
（Ⅲ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由=，得=，
∴，化简的x2=3﹣2x1…①
又消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0…（*）
∴…②
由①②解得，带入（*）式解得m=±1，
∴直线l的方程为x﹣y=0或x+y﹣2=0．
20．某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列．
（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；
（Ⅱ）若B大学决定在成绩高的第4，5组中用
分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人
进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率．
【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出第五组的数据，再根据题意求出第一组、第四组、第二组、第三组的数据来，由此绘制频率分布直方图；
（Ⅱ）根据分层抽样求出从第四、五组中抽取人数，组成样本，用列举法列出这六人分成两组的基本事件数，求出第五组中的2人被分在一组的概率即可．（另解：用排列与组合的方法求出两人被分在一组的概率也可）．
【解答】
解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，
第五组为：0.02×5×300=30人，
第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是一个以30为首项，总和为300的等差数列，
∴第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是30人，45人，60人，75人，90人．
∴绘制的频率分布直方图如右图所示；…
（Ⅱ）第四组中抽取人数：人，
第五组中抽取人数：人，
∴两组共6人；
设第四组抽取的四人为A1，A2，A3，A4，第五组抽取的2人为B1，B2，
这六人分成两组有两种情况，
情况一：B1，B2在同一小组：（A1，A2，A3），（A4，B1，B2）；（A1，A2，A4），（A3，
B1，B2）；
（A1，A3，A4），（A2，B1，B2）；（A2，A3，A4），（A1，B1，B2），共有4种可能结果；
情况二：B1，B2不在同一小组：（B1，A1，A2），（B2，A3，A4）；（B1，A1，A3），（B2，A2，A4）；
（B1，A1，A4），（B2，A2，A3）；（B1，A2，A3），（B2，A1，A4）；
（B1，A2，A4），（B2，A1，A3）；（B1，A3，A4），（B2，A1，A2），共有6种可能结果；
两种情况总共10种可能结果，
∴两人被分在一组的概率为．…
（另解：两人被分在一组的概率为）．（此法亦可相应给分）
21．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S2，S4，S3成等差数列．
（1）求数列{a n}的公比q；
（2）若a1﹣a3=3，问是数列{a n}的前多少项和．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）由题意知2S4=S2+S3，当q=1时，8a1≠2a1+3a1，舍去．当q≠1时，
，由此能求出数列{a n}的公比．
（2）由a1﹣a3=3，解得a1=4，所以S n=，由此能求出是数列{a n}的前6项和．
【解答】解：（1）∵S2，S4，S3成等差数列，
∴2S4=S2+S3，
当q=1时，8a1≠2a1+3a1，舍去．
当q≠1时，，
整理，得2q2﹣q﹣1=0，解得q=1（舍），或q=﹣，
∴数列{a n}的公比q=﹣．
（2）∵a1﹣a3=3，∴=3，解得a1=4，
∴S n==，
∵，解得n=6，
∴是数列{a n}的前6项和．
22．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．
（1）求a的值；
（2）求三棱锥B1﹣A1BC的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．
【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出a．
（2）由AC⊥平面A1B1B，利用等体积法能求出三棱锥B1﹣A1BC的体积．
【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间
直角坐标系，
则A 1（0，0，a ），B （1，0，0），B 1（1，0，1），C 1（0，1，a ），
=（1，0，﹣a ），=（﹣1，1，a ﹣1）， ∴异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角等于60°，
∴cos60°=
==， 由AA 1=a ＞0，解得a=1．
（2）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AC=1，∠BAC=90° ∴AC ⊥平面A 1B 1B ，
∵AC=1， =
=，
∴三棱锥B 1﹣A 1BC 的体积
===．
2017年3月5日。