(完整word版)勾股定理习题(附答案)
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勾股定理评估试卷（1）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).
（A）30（B）28（C）56（D）不能确定
2. 直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长
（A）4cm（B）8cm（C）10cm（D）12cm
20.如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.
21.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
所以x=3，所以AB=AC=5，BC=6
21.作A点关于CD的对称点A′，连结B A′，与CD交于点E，则E点即为所求.总费用150万元.
22.116m2；
23.0.8米；
四、综合探索
24.4小时，2.5小时.
25. 解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2<c2
12、如图1，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c；如图2是以c为直角变的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
画出拼成的这个图形的示意图，写出它的名称；
用这个图形证明勾股定理；
设图1中的直角三角形由若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成后的示意图。（无需证明）
A 6cm2B 8cm2C 10cm2D 12cm2
4、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_________
A 25海里B 30海里C 35海里D 40海里
填空题（每题6分）
5、在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________
16. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于______________.
17.如图，四边形 是正方形， 垂直于 ，且 =3， =4，阴影部分的面积是______.
18.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.
设CD为x，则有DB2=a2－x2
根据勾股定理得(b＋x)2＋a2―x2＝c2
即b2＋2bx＋x2＋a2―x2＝c2
∴
∴2bx>0
∴a2+b2<c2.
探索勾股定理测试卷姓名_________
（满分：100分 时间：45分钟） 成绩_______________
当△ABC是锐角三角形时，
证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x
根据勾股定理得b2－x2＝c2―(a―x)2
即b2－x2＝c2―a2＋2ax―x2
∴a2＋b2＝c2＋2ax
∵a>0，x>0
∴2ax>0
∴a2+b2>c2
当△ABC是钝角三角形时，
证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D.
8．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n >1），那么它的斜边长是（ ）
A、2nB、n+1C、n2－1D、n2+1
9.在△ABC中, 若 △ABC的面积等于6，则边长c=
10.如图△ABC中， 则MN=
11.一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为10
12.若△ABC是直角三角形，两直角边都是6，在三角形斜边上有一点P，到两直角边的距离相等，则这个距离等于六根二
10.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（ ）.
（A）12 （B）7 （C）5 （D）13
（第10题） （第11题） （第14题）
二、填空题（每小题3分，24分）
11.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.
3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
（A）25（B）14（C）7（D）7或25
4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )
（A）13 （B）8 （C）25 （D）64
5.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
三、解答题（每小题8分，共40分）
19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：
“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？
探索勾股定理（二）
1．填空题
（1）某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米．
（2）有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里．
（3）如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50m，CB=40m，那么A、B两点间的距离是_________．
3.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ）
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
4.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（ 取3）是（）.
（A）20cm （B）10cm （C）14cm （D）无法确定
6、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
7、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为___________。
10、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且
∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
11、太阳刚刚从地平线升起，巴河姆就在草原上大步朝东方走去，他走了足足有10俄里才左拐弯，接着又走了许久许久，再向左拐弯，这样又走了2俄里，这时，他发现天色不早了，而自己离出发点还足足有17俄里，于是改变方向，拼命朝出发点跑去，在日落前赶回了出发点。这是俄罗斯大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多土地吗》中写的故事的一部分。你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？
2．已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm，求这个三角形的面积．
3．在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm
（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长．
（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长．
4．如图2，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m，棚宽a=2.4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
12.在直角三角形 中，斜边 =2，则 =______.
13.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为.
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.
（第15题） （第16题） （第17题）
15.如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
选择题（每题6分）
1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为______________
A 56B 48C 40D 321
2、如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是____________
A 2nB n+1C n2－1D n2+1
3、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为________
25.（14分）△ABC中，BC ，AC ，AB ，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则 ，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想 与 的关系，并证明你的结论.
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（D）；2.（C）；3.（D）；4.（B）；5.（C）；
8、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。
三、解答题（每题13分）
9、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？
22.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
23. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
四、综合探索（共26分）
24.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.
7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )
（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.5
8.三角形的三边长为 ,则这个三角形是( )
5．如图3，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．
勾股定理练习题：练习一：（基础）
等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿＿.
一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.
（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形
（C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.
9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮 元计算，那么共需要资金（ ）.
（A）50 元 （B）600 元 （C）1200 元 （D）1500 元
6.（C）；7.（B）；8.（C）；9.（B）；10.（D）；
二、填空题（每小题3分，24分）
11.7；12.8；13.24；14. ；15. 13；
16.4；17.19；18.49；
三、解答题
19.20；
20.设BD=x，则AB=8-x
由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2，也就是(8-x)2=x2+42.
在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2＋BC2＋AC2=_____．
6．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（ ）
A、121B、120C、132D、不能确定
7．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).
（A）30（B）28（C）56（D）不能确定
2. 直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长
（A）4cm（B）8cm（C）10cm（D）12cm
20.如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.
21.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
所以x=3，所以AB=AC=5，BC=6
21.作A点关于CD的对称点A′，连结B A′，与CD交于点E，则E点即为所求.总费用150万元.
22.116m2；
23.0.8米；
四、综合探索
24.4小时，2.5小时.
25. 解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2<c2
12、如图1，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c；如图2是以c为直角变的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
画出拼成的这个图形的示意图，写出它的名称；
用这个图形证明勾股定理；
设图1中的直角三角形由若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成后的示意图。（无需证明）
A 6cm2B 8cm2C 10cm2D 12cm2
4、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_________
A 25海里B 30海里C 35海里D 40海里
填空题（每题6分）
5、在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________
16. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于______________.
17.如图，四边形 是正方形， 垂直于 ，且 =3， =4，阴影部分的面积是______.
18.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.
设CD为x，则有DB2=a2－x2
根据勾股定理得(b＋x)2＋a2―x2＝c2
即b2＋2bx＋x2＋a2―x2＝c2
∴
∴2bx>0
∴a2+b2<c2.
探索勾股定理测试卷姓名_________
（满分：100分 时间：45分钟） 成绩_______________
当△ABC是锐角三角形时，
证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x
根据勾股定理得b2－x2＝c2―(a―x)2
即b2－x2＝c2―a2＋2ax―x2
∴a2＋b2＝c2＋2ax
∵a>0，x>0
∴2ax>0
∴a2+b2>c2
当△ABC是钝角三角形时，
证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D.
8．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n >1），那么它的斜边长是（ ）
A、2nB、n+1C、n2－1D、n2+1
9.在△ABC中, 若 △ABC的面积等于6，则边长c=
10.如图△ABC中， 则MN=
11.一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为10
12.若△ABC是直角三角形，两直角边都是6，在三角形斜边上有一点P，到两直角边的距离相等，则这个距离等于六根二
10.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（ ）.
（A）12 （B）7 （C）5 （D）13
（第10题） （第11题） （第14题）
二、填空题（每小题3分，24分）
11.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.
3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
（A）25（B）14（C）7（D）7或25
4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )
（A）13 （B）8 （C）25 （D）64
5.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
三、解答题（每小题8分，共40分）
19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：
“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？
探索勾股定理（二）
1．填空题
（1）某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米．
（2）有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里．
（3）如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50m，CB=40m，那么A、B两点间的距离是_________．
3.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ）
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
4.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（ 取3）是（）.
（A）20cm （B）10cm （C）14cm （D）无法确定
6、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
7、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为___________。
10、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且
∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
11、太阳刚刚从地平线升起，巴河姆就在草原上大步朝东方走去，他走了足足有10俄里才左拐弯，接着又走了许久许久，再向左拐弯，这样又走了2俄里，这时，他发现天色不早了，而自己离出发点还足足有17俄里，于是改变方向，拼命朝出发点跑去，在日落前赶回了出发点。这是俄罗斯大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多土地吗》中写的故事的一部分。你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？
2．已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm，求这个三角形的面积．
3．在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm
（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长．
（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长．
4．如图2，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m，棚宽a=2.4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
12.在直角三角形 中，斜边 =2，则 =______.
13.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为.
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.
（第15题） （第16题） （第17题）
15.如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
选择题（每题6分）
1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为______________
A 56B 48C 40D 321
2、如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是____________
A 2nB n+1C n2－1D n2+1
3、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为________
25.（14分）△ABC中，BC ，AC ，AB ，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则 ，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想 与 的关系，并证明你的结论.
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（D）；2.（C）；3.（D）；4.（B）；5.（C）；
8、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。
三、解答题（每题13分）
9、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？
22.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
23. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
四、综合探索（共26分）
24.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.
7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )
（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.5
8.三角形的三边长为 ,则这个三角形是( )
5．如图3，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．
勾股定理练习题：练习一：（基础）
等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿＿.
一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.
（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形
（C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.
9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮 元计算，那么共需要资金（ ）.
（A）50 元 （B）600 元 （C）1200 元 （D）1500 元
6.（C）；7.（B）；8.（C）；9.（B）；10.（D）；
二、填空题（每小题3分，24分）
11.7；12.8；13.24；14. ；15. 13；
16.4；17.19；18.49；
三、解答题
19.20；
20.设BD=x，则AB=8-x
由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2，也就是(8-x)2=x2+42.
在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2＋BC2＋AC2=_____．
6．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（ ）
A、121B、120C、132D、不能确定
7．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对