2020届高考数学一轮复习 导数的概念及运算课时作业13 理 北师大版

2020届高考（理科）数学一轮复习课时作业13导数的概念及运
算
一、选择题
1．（2020年山东高考）曲线y ＝x 3
＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15
解析： 因为y ′＝3x 2
，所以k ＝y ′|x ＝1＝3，所以过点P (1,12)的切线方程为y －12＝3(x －1)，即y ＝3x ＋9，所以与y 轴交点的纵坐标为9.
答案：C
2．(2020年全国Ⅱ)若曲线y ＝x －12在点(a ，a －1
2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形
的面积为18，则a 等于( )
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
解析：∵y ＝x －12，y ′＝－12x －32，∴k 切＝－12a －32，切线方程为y －a －12＝－12a －3
2
(x －
a )．令y ＝0，得x ＝3a .令x ＝0，得y ＝32a －12，∴12·3a ·32a －12
＝18，故a ＝64.
A
3．(2020年辽宁高考)已知点P 在曲线y ＝4
e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，
则α的取值范围是( )
A ．(0，π
4)
B ．(π4，π2)
C ．(π2，3π4)
D ．[3π
4
，π)
解析：y ′＝－4e x
e x
＋12＝－4e x
e 2x ＋2e x
＋1.设t ＝e x
∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1
＝－
4
t ＋1
t
＋2
， ∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π
4，π)．
答案：D
4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2
)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.94e 2
B ．2e 2
C ．e 2
D.e 2
2
解析：∵点(2，e 2
)在曲线上， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝e x
|x ＝2＝e 2
，
∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)．即e 2x －y －e 2
＝0. 与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2
)，(1,0)， ∴S △＝12×1×e 2
＝e 2
2.
答案：D
5．(2020年浙江台州一模)阅读右图所示的程序框图，其中f ′(x )是 f (x )的导数．已知输入 f (x )＝sin x ，运行相应的程序，输出的结果是( )
A ．sin x
B ．－sin x
C ．cos x
D ．－cos x
解析：f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，
f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，
f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，它以4为周期进行变换，
故f 2020(x )＝f 2(x )＝－sin x . 答案：B
6．(2020年江西高考)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图象大致为( )
解析：五角星露出水面的面积的增长速度与其导函数的单调性相关，增长速度越快，导函数单调递增．否则导函数单调递减．
五角星露出水面面积的增长速度先快又慢接着又快最后又慢．
答案：A
二、填空题
7．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．解析：∵f′(x)＝4x3－1，由题意4x3－1＝3，
∴x＝1.故切点P(1,0)．
答案：(1,0)
8．已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是________．
解析：在曲线C：y＝2x2上取一点D(x0,2x02)(x0>0)，
∵y＝2x2，∴y′＝4x，y′|x＝x0＝4x0.
令2x02＋2
x0
＝4x0，得x0＝1，此时，D(1,2)，k AD＝
2－－2
1－0
＝4，
直线AD的方程为y＝4x－2.
要视线不被曲线C挡住，则实数a<4×3－2＝10，即实数a的取值范围是(－∞，10)．答案：(－∞，10)
9．(2020年广东省阳江市高三统一考试)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①f(x)＝a x·g(x)(a>0，a≠1)；②g(x)≠0；
③f(x)·g′(x)> f′(x)·g(x)，
若
f1
g1
＋
f－1
g－1
＝
5
2
，则log a x>1成立的x的取值范围是__________ .
解析：由①②，
f x
g x
＝a x，由③，[
f x
g x
]′
＝f′x·g x－f x·g′x
[g x]2
<0，
即a x ln a<0,0<a<1.又
f1
g1
＋
f－1
g－1
＝
5
2
，即a＋
1
a
＝
5
2
，a＝
1
2
或a＝2(舍)，从而
log a x >1＝log a a,0<x <a ，故0<x <1
2
.
答案：(0，1
2)
三、解答题
10．求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－43x 3＋3x 2
＋2；
(2)y ＝(3x 3
－4x )(2x ＋1)； (3)y ＝
x
1－x ＋x
2.
解：(1)y ′＝(15x 5)′－(43x 3)′＋(3x 2
)′＋(2)′
＝x 4
－4x 2
＋6x .
(2)解法一：∵y ＝(3x 3
－4x )(2x ＋1)＝6x 4
＋3x 3
－8x 2
－4x ， ∴y ′＝24x 3
＋9x 2
－16x －4.
解法二：y ′＝(3x 3
－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3
－4x )(2x ＋1)′ ＝(9x 2
－4)(2x ＋1)＋(3x 3
－4x )·2 ＝24x 3
＋9x 2
－16x －4.
(3)y ′＝x ′1－x ＋x 2－x 1－x ＋x 2′
1－x ＋x
22
＝
1－x ＋x 2
－x －1＋2x 1－x ＋x 22＝1－x
2
1－x ＋x
2
2
.
11．已知曲线y ＝16x 2－1与y ＝1＋x 3
在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值．
解：对于y ＝16x 2－1，有y ′＝13x ，k 1＝y ′|x ＝x 0＝1
3x 0；
对于y ＝1＋x 3
，有y ′＝3x 2
，k 2＝y ′|x ＝x 0＝3x 02
. 又k 1k 2＝－1，则x 03
＝－1，x 0＝－1.
12．设有抛物线C ：y ＝－x 2
＋92x －4，通过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象
限．
(1)求k 的值；
(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1.①
y 1＝－x 12＋92
x 1－4.②
①代入②得x 12
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫k －92x 1＋4＝0.
∵P 为切点，∴Δ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫k －922
－16＝0，
得k ＝172或k ＝12
.
当k ＝17
2时，x 1＝－2，y 1＝－17.
当k ＝1
2
时，x 1＝2，y 1＝1.
∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝1
2
.
(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得x 2
－
13
2
x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， ∴x 2＝9
2
，y 2＝－4.
∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫92，－4.。