选修4-5 绝对不等式的解法

x 2或x 5
原不等式的解集为{x | x 2或x 5}.
解题思路：整体换元
归纳：型如| f(x)|<a, |f(x)|>a
(a>0)
不等式的解法:
f ( x) a a f ( x) a
f ( x) a f ( x) a或f(x) a
x 2 5 x 6 2 2 解: x 5 x 6 6 x 5 x 6 2 x 5x 6 2
|x|<-2的解
|x|>a (a>0) |x|>-2的解 X>a 或 x<-a
如果 a ＞0，则
x a x a x a
x a x x a或x a
想一想:如果 a ≤ 0 ,以上不等式的解集是什么？
引例： 解下列不等式 （1）2|x|<5
5 5 {x | x } 2 2 5 5 { x | x 或x } 2 2
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法 练习：解下列不等式
(1) x 2 x 3 4 x R
（2）|2x-4|-|3x+9|<1
（2）、|2x-4|-|3x+9|<1 解：１０当x>2时，原不等式同解于 X>2 X>2 (2X-4)-(3X+9)<1 2０当-3≤x≤2时，原不等式同解于 6 -3 ≤ x ≤ 2 5 < x ≤ 2 -(2X-4)-(3X+9)<1 3０当x<-3时，原不等式同解于 X<-3 X<-13 -(2X-4)+(3X+9)<1 6 综合上述知不等式的解为 x > 或x < -13
思路:利用绝对值的定义去掉绝对值符号, 需要分类讨论
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析：对 6 – x 符号讨论
6 x 0 6 x 0 解： 1 或 2 6 x 5 x 6 6 x x
解1 得0 x 2, 解 2 得x
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
例3. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解:原不等式化为 | x 1| | x 2 | 5 0, 令 y | x 1| | x 2 | 5, 化简得
(1 x) ( x 2)，x 2 y 方法三：通过构造函数，利用了函数的 y (1 x) ( x 2)， 2 x 1 图象，体现了函数与方程的思想． ( x 1) ( x 2)，x 1
x 5x 6 0 x 2或x 3 2 x 5x 6 0 1 x 6
例2.解不等式 | x2 5x | 6．
1 x 2或3 x 6,
原不等式的解集为(1, 2) (3,6). 练习：解下列不等式 2 . x 2 5 x 6 1 . 4x 1
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
2 x 6, x 2 即 y 2， 2 x 1 2 x 4， x 1
-2 -3
1
-2 2 x
归纳
x a x b c和 x a x b c 型不等式的解法
例3. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
A B 0 1
解: (1)当x 2时,
-2
x 2 x 2 x 3. 原不等式 方法二：利用|x-1|=0，|x+2|=0的解，将数 (1 x) ( x 2) 5 x 3 (2)当 2 x 1时, 轴分为三个区间，然后在这三个区间上将
5
课堂小结:
1.解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。
2.主要方法有： ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化 （整体思想） ； ⑵分类讨论去绝对值符号； ⑶数形结合(运用绝对值的几何意义); ⑷利用函数图象来分析.
作业 : 课本P20第6. 4 , 7 2 ,8. 1 , 第9题
如图数轴上21对应的点分别为ab原不等式的解集为xx331之间的任何一点到点ab的距离之和都小于5的右边的任何一点到点ab的距离之和都大于5这种方法体现了数形结合的思想方法二
绝对值不等式的解法
祁东二中高二数学组 谭雪峰
复习 1.绝对值的定义： |a|= a ,a>0 0 ,a=0 －a ,a<0
2.绝对值的几何意义： |a| 0
A a |a－b| B b
|a|表示数轴上坐标为a 的点到原点的距离.
A a
|a-b|表示它们在数轴上 对应的A,B之间的距离.
引入 方程│x│＝2的解集？ 为{x│x=2或x=-2}
-2 0 2
观察、思考： 不等式│x│<2的解集? 为{x│-2 < x < 2 }
-2 0 -a a2 不等式│x│> 2解集? 为{x│x > 2或x<-2 } -2 0 2 -a a 类比：|x|<3的解 |x|>3 的解 -a<x<a 归纳：|x|<a（a>0)
R
3.3 | 2x 1| 5
（-3，-2）∪（1，2）
思考：
若 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中 “a” 用代数式替换，如何解？
例3:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x 如何去不等式中的绝对值号？
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析：对绝对值里面的代数式符号讨论
取1 2的并集得:x 0， 2
结论： x g( x ) g( x ) f x g( x ) f 思考:解题过程能否进一步简化，可否
f x 不对x6-x 的符号进行讨论？ g( x ) g( ) f x-------
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1) 4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}. 5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}. 6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
5 x 6 0 5 x 6 0 解： 1 或 2 － 5 x 6 6 x 5 x 6 6 x
取1 2的并集得:x 0， 2
6 6 解 1 得 x 2, 解 2 得0 x , 5 5
x x 4、 x2 x2
5、| 2x+1 |> | x+2 |
例3. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解:如图,数轴上-2,1对应的点分别为A,B，
-3,2对应的点分别为A1,B1，
A1 A B B1 方法一：利用绝对值的几何意义，体现了 数型结合的思想． 1 2 -3 -2 -1 0 ∵|A1A|+|A1B|=5, |B1A|+|B1B|=5, ∴数轴上,点A1和B1之间的任何一点,到点A,B 的距离之和都小于5, 而A1的左边或B1的右边的任何一点,到点A,B 的距离之和都大于5, ∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
(4) f x g( x ) g ( x ) f x g ( x )
(5) f x g x f x g x
2
2
练习：把下列绝对值不等式转 化为同解的非绝对值不等式。
1、|2x-3|<5x 2、|x2-3x-4|>4 3、| x-1 | > 2( x-3)
1 若不等式 ax 2 6的解集为(-1,2)， 则实数等于 （2）已知不等式 x 2 a a 0 的解集
为 x R 1 x c，求a+c的值 （3）解不等式 x a a.
课后练习
1.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，则k的取值范围是 （ B） (A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D)k≤-3 2.若不等式|x-1|+|x-3|＜a的解集为空集,则a的
归纳：
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
(1) f x a (a 0) f x a或f x a
(2) f x a(a 0) a f x a
(3) f x g( x ) f x g( x )或f x g( x )
（2）|2x|>5
（3）|x-1|<5
{ x | 4 x 6}
（4）|2x-1|<5
1 5 | x | 2 2
－4
1
6
{ x | 2 x 3}
－2
1 2
3
例1.解不等式 | 3 2 x | 7.
解: 3－2x 7 2x 3 7
2 x 3 7或2 x 3 7
2 x 1 原不等式化为不含绝对值符号的不等式求 2 x 1 x . 原不等式 解．现了分类讨论的思想．3 5 (1 x) ( x 2) 5
(3)当x 1时, x 1 x 1 原不等式 x2 ( x 1) ( x 2) 5 x 2