湖北省武汉外国语学校2020学年高一数学下学期期末考试试题(无答案)

武汉外国语学校2020学年度下学期期末考试
高一数学试题
考试时间：2020年6月 日 满分：150
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列3，5， 9，17，33，…的通项公式n a 可以为（ ） A ．n
2
B ．12+n
C ．12-n
D ．1
2
+n
2. 已知直线1260l ax y ++=：与2
2(1)10l x a y a +-+-=：，若21//l l ，则a = （ ）
A ．2
B ．21-或
C ．1-
D ．2-
3. 给出下列命题：
①平行于同一条直线的两直线互相平行；②平行于同一平面的两条直线互相平行； ③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④垂直于同一平面的两条直线互相平行． 其中真命题的个数是 （ ）
A ． 1
B ．2
C ．3
D ．4
4. 已知,,,a b c d 均为实数，有下列命题①若0ab >，0bc ad ->，则
a c －b
d
＞0；②若0a b <<，c ＜d ＜0，则ac bd > ；③若0bc ad ->，0bd >则a b c d b
d
++<.其中真命
题的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5. 变量,x y 满足约束条件22
2441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩
，则目标函数 z = 3x +y －3的取值范围是（ ）
A. 3[,9]2
B. 3
[,6]2- C. [2,3]- D. [1,6]
6. 点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x ．轴上．．
的截距是（ ） A. 56- B. 56 C. 16 D. 1
6-
7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足65S S <且876S S S >=，下列结论错误．．的( ) A ．6S 和7S 均为n S 的最大值.
B ．07=a
C ．公差0d <
D ．59S S >
8. 过点()2,1P 的直线l 与坐标轴分别交,A B 两点，如果三角形OAB 的面积为4，则满足条
件的直线l 最多有（ ）条
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 9. 已知数列{n a }的前n 项和),,2,1]()2
1
)(1(2[])
2
1(2[11
Λ=+---=--n n b a S n n n 其中,a b
是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得（ ） A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列 B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列
C ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{n y }都为等比数列
D ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{n y }都为等比数列
10. 已知点)3,2(-A 、)2,3(--B ，直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是（ ）
A. 34k ≥或4k ≤-
B. 34k ≥或1
4k ≤-
C. 434≤
≤-k D. 443
≤≤k
11. 下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是( )
① ② ③ ④
A ．①、②
B ．①、③
C ． ②、③
D ．②、④
12. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）
A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3
A M
B N
P A M B
N P
P A M B N A M N P
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 设R y x ∈,，1,1>>b a ，若3==y x b a ，32=+b a ，则
y
x 1
1+的最大值是 14. 所有棱长均为2的三棱柱111C B A ABC -中，0
1160=∠=∠AC A AB A ，则三棱柱
111C B A ABC -的表面积．．．
为________________
15. 已知,x y 满足0
5030x y x y y -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，若不等式22a x y x y +≤+恒成立，则a 的最大值为
16. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为
三、解答题：本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分11分）
已知函数b
ax x x f +=2
)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）设k>1，解关于x 的不等式：x
k
x k x f --+<2)1()(
18. （本小题满分11分）
某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨，二级籽棉2吨.每1吨甲种棉纱的利润为900元，每1吨乙种棉纱的利润为600元.工厂在生产这两种棉纱的计划中，要求消耗一级籽棉不超过250吨，二级籽棉不超过300吨.问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大？并求出利润总额的最大值.
19. （本小题满分11分）
如图，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC ＝２，BC
E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：PA ∥平面EDB ；
（Ⅱ）求异面直线AD 与BE 所成角的余弦．
20. （本小题满分11分）
已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数. (1) 证明：2n n a a λ+-=；
(2) 是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.
21. （本小题满分12分）
已知ABC ∆中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=，A ∠ 的角平分线所在的直线方程为0y =，点C 的坐标为(1,2)．
（1）求点A 和点B 的坐标；
（2）又过点C 作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点,M N ，求MON ∆的面积最小值及此时直线l 的方程.
22. （本小题满分14分）
已知数列{}n a 中，12a =，对任意的,p q N *
∈，有p q p q a a a +=+.
(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 数列{}n b 满足()()1
312423412121212121
n n n n
b b b b b a n N -*=-+-++-∈+++++L ,求数列{}n b 的通项公式；
(3) 设()3n
n n C b n N λ*
=+∈，是否存在实数λ，当n N
*
∈时，1n n C C +>恒成立，若
存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由。

P
A
D
C
E
解：（1）解法一：
由2
21n n a S -=得，
当1n =时，211a S =，解得1110a a ==或（舍去）…………（1分） 当2n =时，223a S =，解得21d d ==-或，
因为0n a ≠，所以1d =-舍去………………（3分） 所以11,2,21,*n a d a n n N ==∴=-∈………………（4分）
解法二：
因为221n n a S -=且121
21(21)(21)2
n n n a a S n n a --+=
⨯-=-，……………（2分） 所以2(21)n n a n a =-，即21,*n a n n N =-∈………………（4分） （2）（ⅰ）由（1）得211
(21)(21)2121
n b n n n n =
=--+-+
所以1111112(1)()...[]133521212121
n n
T n n n n =-+-++-=-=
-+++……（7分）
（ⅱ）由（ⅰ）得28(1)21
n n
n n λ⋅<+⋅-+恒成立， 可知
2021n n >+，所以21
[8(1)]2n n n n
λ+<+⋅-⋅恒成立，……（9分） 令21
()[8(1)]2n
n f n n n
+=+⋅-⋅
，则min ()f n λ< 当n 为偶数时，214171725
()(8)42222
n f n n n n n +=+⋅=++≥+=
当且仅当4n n =
，即2n =时，min 25
()2
f n =，所以252λ<；……（11分） 当n 为奇数时，21415
()(8)22
n f n n n n n +=-⋅
=-- 可知()f n 随n 的增大而增大，所以min 21()(1)2
f n f ==-，所以21
2λ<-；…（13
分）
综上所诉，λ的取值范围是21
(,)2
-∞-
……（14分）
解答： 设生产甲、乙两种棉纱分别为x 、y 吨，利润总额为z ，
则z ＝900x ＋600y
且225023000,0x y x y x y +≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥≥⎩
作出以上不等式组所表示的平面区域（如图）， 即可行域.
作直线l ：900x ＋600y ＝0，即3x ＋2y ＝0， 把直线l 向右上方平移至过直线2x ＋y ＝250与 直线x ＋2y ＝300的交点位置M （
3200，3
350
）， 此时所求利润总额z ＝900x ＋600y 取最大值130000元
19．解：（Ⅰ）因为点A 在BC 边上的高210x y -+=上，又在A ∠ 的角平分线0y =上，所
以解方程组210,
0,
x y y -+=⎧⎨
=⎩ 得(1,0)A -.……………2分
BC Q 边上的高所在的直线方程为210x y -+=，2BC k ∴=-，
Q 点C 的坐标为(1,2)，所以直线BC 的方程为240x y +-=，
1AC k =-Q ， 1AB AC k k ∴=-=，所以直线AB 的方程为10x y ++=，
解方程组10
240
x y x y ++=⎧⎨
+-=⎩ 得(5,6)B -,
故点A 和点B 的坐标分别为(1,0)-，(5,6)-． ……………6分
（Ⅱ）依题意直线的斜率存在，设直线l 的方程为：2(1)(0)y k x k -=-<，则
2(
,0),(0,2)k M N k k --，所以1214
(2)(4)22MON k S k k k k
∆-=⋅⋅-=--
1[442≥+=，当且仅当2k =-时取等号，所以min ()4AOB S ∆=， 此时直线l 的方程是240x y +-=． (12)
解：（1）将0124,32
21=+-+==x b
ax x x x 分别代入方程
得
).2(2)(,218
416939
2≠-=⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+-=+x x x x f b a b
a b
a 所以解得 （2）不等式即为
02)1(,2)1(222<-++---+<-x
k
x k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x
①当).,2(),1(,21+∞⋃∈<<k x k 解集为
②当);,2()2,1(0)1()2(,22
+∞⋃∈>--=x x x k 解集为不等式为时 ③),()2,1(,2+∞⋃∈>k x k 解集为时当
17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.
(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由. (Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减
()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分
（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+ 假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知
数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则1
2
n m +=
，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2
n
m =
，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*
n N ∈），12n n a a +-=
因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列. ………12分
证明：因为PD⊥平面ABCD ，所以PD⊥BC，
又∠BCD=900
，CD⊥BC，所以BC⊥平面PCD ，故PC⊥BC。

（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE∥CB，DE∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等。

又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍。

由（1）知：BC⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC 于F 。

易知DF=
2
2
，故点A 到平面PBC 的距离等于2。

（方法二）体积法：A PBC P ABC V V --=，PBC ABC S h S PD ⋅=⋅V V ，
11
12211222
h h ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⇒=，
故点A 到平面PBC 的距离等于2。