高考数学命题的新视角——类比推理题

高考数学命题的新视角——类比推理题
类比是常见而重要的一种数学思想方法，它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，从而解决新问题。

类比不仅是一种富有创造性的方法，而且更能体现数学的美感。

（一）不同知识点之间的类比
数学中的不同知识点在教材中是相对分散的，知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计展示给学生，从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。

它不仅可以在知识复习中使用，也可以在新知识的学习中进行。

1、立体几何中的类比推理
【例1】若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比为：
.2
12
12
2
1
1ON
ON OM
OM S S N OM
N OM ⋅
=
∆∆若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线
OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2与点Q 1、Q 2和R 1、R 2，则类似的结论为： 。

【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想
.2
12
12
12
22
1
11
OR
OR OQ
OQ OP OP V V R Q
P O R Q
P O ⋅
⋅
=
--（证明略）
评注 本题主要考查由平面到空间的类比。

要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论。

【例2】在D E F ∆中有余弦定理：.cos 22
2
2
DFE EF DF EF
DF
DE
∠⋅-+=拓展
到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱111C B A ABC -的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。

【分析】根据类比猜想得出.cos 21
11
11
11
11
1
2
2
2θB BCC
A ABB
B BCC
A ABB
C C AA S S S S S ⋅-+=其中θ
为侧面为11A ABB 与11B BCC 所成的二面角的平面角。

证明：作斜三棱柱111C B A ABC -的直截面DEF ，则DF E ∠为面11A ABB 与面
11
B BCC
所成角，在DEF ∆中有余弦定理：θ∠⋅-+=cos 22
2
2
EF DF EF
DF
DE
，同
乘以2
1AA ，得 θ
∠⋅⋅⋅-⋅+⋅=⋅cos 2112
12
212
212
AA EF AA DF AA EF
AA DF
AA DE
即.cos 21
11
11
11
11
1
2
2
2θB BCC
A ABB
B BCC
A ABB
C
C AA S S S S S ⋅-+=
评注 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三角柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。

【例
3】 在平面几何中有“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”，那么在立
体几何中有什么结论呢？
解析 “正三角形”类比到空间“正四面体”，“任一点到三边距离之和”类比到空间为“任一点到四个面的距离之和”，于是猜想的结论为：正四面体内任一点到其各面距离之和为定值。

如图1，设边长为a 的正三角形A B C 内任一点
P 到其三边的距离分别为1d 、2d 、3d ，
将A B C ∆分割成三个小三角形
,,A P B B P C A P C ∆∆∆，
则有
123()2
a d d d ++A B C S ∆=4
=
2
a ，
即距离之和为正三形的高（定值）。

类似地，如图2,设棱长为a 的正四面体
A B C D -内任一点P 到四个面的距离分别为 1d 、2d 、3d 、4d ，将正四面体分割成以P 以四个面为底面的小三棱锥，则有
B
C
A B C D P A B C P B C D P A B D P A D C V V V V V -----=+++，
于是
2
2
123411()3
4
3
4
a h a d d d d ⨯⨯=
⨯
+++。

所以1234d d d d h +++=为定值。

【例
4】 在平面几何中，有勾股定理：设A B C ∆的两边A B 、A C
互相垂直，则
2
2
2
A B A C
B C +=。

拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与
底面面积间的关系，可得出的正确结论是：“设三棱锥A B C D -的三个侧面A B C 、A C D 、A D B 两两互相垂直，则 。

” 答案为2222
A B C A C D A D B B C D S S S S ∆∆∆∆++=。

类比不仅可以提供探求新背景下结论的思路，而且也为寻求结论的证明提供方法上的指导。

将平面图形中的三角形与立体图形中的多面体进行类比，使不同数学分支之间的知识得到了巧妙的沟通，也使解题过程得到美化，让人有意犹未尽却又顺理成章的感觉。

2、解析几何中的类比推理
【例5】已知两个圆：12
2
=+y x ①
与1)3(2
2=-+y x ②，则由①式减去②式
可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，既要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 。

【分析】将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况：
设圆的方程为2
2
2
)()(r b y a x =-+-③与2
2
2
)()(r d y c x =-+-④，其中c a ≠或
d b ≠，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程。

评注 本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。

3、数列中的类比推理
【例
6】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一
个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列}{n a ，是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为 ，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为 。

【分析】由等和数列的定义，易知),,2,1(3,2212 ===-n a a n n 故.318=a 当n 为偶数时，n S n 2
5=
；当n 为奇数时，.2125-
=
n S n
评注 本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。

4、函数中的类比推理
【例
7】设函数2
2
1
)(+
=
x
x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，
可求得)6()5()0()4()5(f f f f f +++++-+- 的值 。

【分析】此题得用类比课本中推导等差数列前n 项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算:)1()(x f x f -+
∵,2
22
21
2
222
2
2
1)1(,2
2
1
)(1x
x
x
x
x
x
x f x f +⋅=
⋅+
=+=-+=
-
∴,2
22
22
211)1()(=
+⋅+=
-+x
x
x f x f
发现)1()(x f x f -+正好是一个定值，∴122
22⨯=
S ，∴.23=S
评注 此题依据大纲和课本，在常见中求新意，在平凡中见奇巧，将分析和解决问题的能力的老本放在了突出的位置。

本题通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题。

这样，通过从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有效于发展学生创新的思维。

5、排列组合中的类比推理
【例8】已知数列}{n a （n 为正整数）的首项为1a ，公比为的q 等比数列。

（1）求和： ()()0120123
122232132333431;2.a C a C a C a C a C a C a C -+-+- （2）由（1）的结果，归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明。

【分析】本题由（1）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论：
（1）,)1(22
12111223122021q a q a q a a C a C a C a -=+-=+-
.)1(333
13
12
111334233132031q a q
a q
a q a a C a C a C a C a -=-+-=-+-
（2）归纳概括的结论为：若数列}{n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列，则
1
2
3
123411(1)(1).n n n
n n n n n n a C a C a C a C a C a q +-+-+
+-=-（证明略）
评注 本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力，突出了创新能力的考查；通过抓住问题的实质，探讨具有共同的属性，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。

6、新定义、新运算中的类比
【例
9】若记号“*”表示两个实数a 与b 的算术平均的运算，即2
*b a b a +=
，则
两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a ，b ，c 都能成立的一个等式可以是 。

【分析】由于本题是探索性和开放性问题，问题的解决需要经过一定的探索过程，并且答案不惟一。

这题要把握住2
*b a b a +=
，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个
数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“+”，则可容易得到).(*)()*(c a b a c b a ++=+ 正确的结论还有：c a b c b a c b c a c b a +=++=+)*()*(),*()*()*(等。

【例
10】对于直角坐标平面内的任意两点),(),(2211
y x B y x
A 、，定义它们之间的一
种“距离”：.||||2121y y x x AB -+-= 给下列三个命题：
①若点C 线段AB 上，则AB CB AC =+; ②在ABC ∆中，若90=∠C °，则2
2
2
AB
CB
AC =+;
③在ABC ∆中，.AB CB AC >+ 其中真命题的个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【分析】对于直角坐标平面内的任意两点),(),(2211y x B y x A 、定义它们之间的一种
“距离”： ||||1212y y x x AB -+-=①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为),(00y x ，0x 在
1
x 、
2
x 之间，
y 在
1
y 、
2
y 之间，则
+-=-+-+-+-=+=1202021010x x y y x x y y x x CB AC -2y
.1AB y =
③
在
ABC
∆中，
+->-+-+-+-=+)(1002021010x x y y x x y y x x CB
AC -2(x
)0x AB y y x x y y y y =-+-=-+-+12120210)()(
∴命题①成立，命题③错误。

而命题②在在ABC ∆中，若则2
2
2
AB
CB
AC
=+明
显不成立，选B 。

【例
11】设
P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意P b a ∈、，都有
、b a +、b a -、
ab P b
a ∈（除数0≠
b ）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，数集
}|2{Q b a b
a F ∈+=，也是数域。

有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集M Q ⊆,则数集M 必为数域；
③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域。

其中正确的命题的序号是 。

（把你认为正确的命题的序号都填上） 【分析】①错。

4,5是整数，但
8.0,8.05
4=不是整数。

②错。

设M 由有理数集合Q 和
元素π组成，则1,M ∈π，但是π+1不属于M 。

③正确。

设P b a ∈、，其中一个必定不等于零，设0≠a ，则0=-a a ，所以1,
0=∈a
a P 所以P
∈1，所以
.,312,211,110 -=---=---=-所有负整数都属于P ，而负整数有无穷多个，所以③
正确。

④正确。

把数域}|2{Q b a b a F ∈+=，中的2改为 ,7,5,3，仍是数域，有无穷多个。

故应填③④。

（二）数学知识与实际生活问题的类比
学生在处理常规数学问题时较易上手，而对有生活背景的问题则“怵”。

数学知识与
生活问题本身存在这样那样的联系，如果注意挖掘，那么对于培养学生的应用意识是十分有利的。

【例
12】从1楼到2楼总共有20级台阶，如果规定每步只能跨上一级或二级，问从
1楼爬上2楼共有几种不同的走法？
解析 这是生活中常见的一个问题，直接思考觉得走法太多，所以思考这个问题能否在数学中找到相应的模型，记上第i 级台阶共有i f 种方法，若想上第20级台阶，则可从第18级跨两级或从第19级跨一级而到达，所以201819f f f =+，类似地191718f f f =+，…
312f f f =+.注意到121,2f f ==，运用以上递推关系（斐波那契数列），逐项计算得2010946f =，那上2楼共有10946种方法。

生活中的不少问题往往可以找到其数学根源，通过思考将这种联系（数学模型）挖掘出来，就把生活中的问题与数学知识、方法进行了类比，有意识在引导或发现这种思考方法，有利于增加学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。

（三）结束语
讲解双曲线的性质时常用椭圆的性质来类比，讲解等比数列的时候用等差数列来类比。

不仅数学知识如此，实际上惠更斯提出的波动说，就是与水波、声波类比而受到的启发。

英国医生詹纳发现的种牛痘可以预防天花，就是从挤奶女工感染了牛痘而不患天花中得到启发，从树叶的锯齿形状发明了锯，从雄鹰的飞起到制造飞机上天等，总之，类比思想方法博大精深，能够收到严格逻辑推理所不能达到的效果，它能提高人们的数学素质，改善思维品质，既富有创造性，又让人产生柳暗花明又一村的美感。