江苏省2018-2019年高二上学期期中考试联考数学理科试题

第一学期期中联考
高二年级数学（理科）试卷
本试卷分第I和第II卷，共150分.考试时间：120分钟
第I卷(选择题共60分)
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 设直线若,则（）
A. B. 1 C. D. 0
【答案】D
【解析】，解得：，故选A.
2. 总体由编号为01,02,…,29,30的30个个体组成。

利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )
A. 08
B. 07
C. 02
D. 01
【答案】D
【解析】试题分析：选取的数据依次为08,02,14,07,01，所以选出来的第5个个体的编号为01
考点：随机数表
3. 已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆锥和一个三棱柱组合而成，
其体积为，故选B.
点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
4. 在中，角所对边长分别为若则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
则的最小值为.选A.
5. 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（）
A. 5
B. 7
C. 11
D. 13
【答案】B
【解析】试题分析：设第一小组抽到的数是m，则，解得，答案选B．
考点：系统抽样
6. 若样本的平均数是，方差是，则对样本
，下列结论正确的是 ( )
A. 平均数为10，方差为2
B. 平均数为11，方差为3
C. 平均数为11，方差为2
D. 平均数为12，方差为4
【答案】C
【解析】样本的平均数是，则对样本
的平均数为，样本与样本
的方差相等，均为2；选C.
7. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为20，则判断框中可以填（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，运行程序框图可知，
此程序框图表示求和，
要使得输出时，此时应填写，故选D。

8. 已知，为单位向量，且，则在上的投影为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，为单位向量，又，则，可得，则
，．又．则在上的投影为
．故本题答案选．
9. 若圆关于直线对称，则由点向圆所作切线长的最小值是（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
【答案】C
【解析】试题分析：圆化为标准方程为，半径。

圆关于直线对称，所以圆心（-1,2）在直线上，所以，即。

点到圆心的距离最小时切线取最小值。

点到圆心的距离为
，当时，取最小值。

所以切线长的最小值是。

故选C。

【点睛】分析图可知半径、切线长、点到圆心的距离构成勾股数，可先求点到圆心的距离的最小值。

10. 下列命题中正确的个数有 ( )
①.
②.
③两个不重合的平面，两条异面直线，若.
④若平面与平行四边形相交于,则.
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
【答案】C
【解析】①.，错误，因为当直线可能在平面内；②若为异面直线，则过不在上的定点A作的直线不一定和直线都相交，错误；③两个不重合的平面，两条异面直线，若正确，④若平面与平行四边形相交于，根据线面平行的判定定理可知.正确；正确的命题个数有2个，选C.
11. 设等差数列的前n项和为，已知，
，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，
，
，设
，则
，化为，
，
，
，又
说明 一正一
负 ， ， ，说明 ，
，选D.
12. 已知满足则的最小值是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】
，
令 ，则
，先利用线性规划求出的 范围；画出二元一次不等式组表示可行
域，
表示可行域内任意一点
与点
连线的斜率.得出最优解
和
得出的最大值7和最小值，的取值范围是，当
时，取得最小值为
，选A. 第II 卷（非选择题共90分）
二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，请将答案填在答题纸上）
13.
________．
【答案】
【解析】根据等比数列的性质，
，又
，解得：
或
，
则，因此公比，，.
14. __________．
【答案】
【解析】取中点，连接，，由于平面，
，，.
15. ,底面为等边三角形，且,求三棱锥外接球的表面积______________.
【答案】
【解析】取的中点，连接，取的三等分点为，使得，则为等边三角形的中心，由于，且平面平面，，则平面
平面，由于，为直角三角形，为的外心，则，又，为三棱锥外接球的球心，球的半径，三棱锥外接球的表面积为.
【点睛】求多面体的外接球的面积或体积问题是高考常见问题，属于高频考点，有一定的难度.如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.
16. ，分别为的中点，设以为圆心，为半径的圆弧上的动点为(如图所示)，则的取值范围是 ______________. 【答案】
【解析】
以A 为原点，以AB为x轴，以AD 为y轴建立平面直角坐标系，设，则
，，，，
，（其中
），当时，取得最大值，当在点位置时，
取最小值，则的取值范围.
【点睛】平面向量的数量积运算有两种途径，一是利用两向量的模与夹角的余弦的积去求，另一种是利用坐标运算，而本题建立直角坐标系方便，所以采用坐标运算乃是上策，涉及到圆上的动点利用圆的参数方程形式去设点的坐标，化为三角函数求最值更方便一些，但要注意角的范围.
解答题（17题10分，其它题12分，共70分，写出必要的文字说明）
17.。

.
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
........................
试题解析：
（1）∵在中，、分别是、的中点，
∴是的中位线，∴，
∵平面，面,-
∴面.
（2）∵平面，平面，∴，
∵底面是菱形，∴，
∵面，面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
【点睛】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；证明面面垂直，只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线面垂直,本题证明直线BD垂直平面PAC,然后证明面面垂直.
18. .
.
【答案】（1）最大值为；（2）；
试题解析：
(1)∵a+b=5，
∴ab≤．
∴S△ABC=sinC=≤．
(2)∵2sin2A+sinAsinC=sin2C，
∴2a2+ac=c2．即8+2c=c2，
解得c=4．
由正弦定理得，即，
解得sinA=．∴cosA=．
由余弦定理得cosA=．即．
．
【点睛】利用正弦定理和余弦定理及面积公式解斜三角形问题，已知两边及其夹角求第三边，或已知三边求任意一角，使用余弦定理；已知两角及任意一边或已知两边及一边所对的角解三角形使用正弦定理.在解题时有时求最值，可以借助基本不等式解决，也可以化为角的问题利用三角函数去解决.
19. 东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限
（单位：年，）和所支出的维护费用（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：
使用年限
维护费用
请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用关于的线性回归方程；
若规定当维护费用超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值.
参考公式：最小二乘估计线性回归方程中系数计算公式：
，，
【答案】（1）；（2）年限的最大值为11年
【解析】试题分析：首先根据表格里的数据计算、、、，或计算
和，求出，再利用公式，求出，得到维护费用关于的线性回归方程，规定当维护费用超过13.1万元时，该批空调必须报废，只需小于或等于13.1 万元，解不等式求出空调使用年限的最大值.
试题解析：
，，
，
，
，，
则维护费关于的线性回归方程为；
（2），；
该批空调使用年限的最大值为11年.
20. 已知数列的前项和为，且满足.
.
【答案】（1）（2）；
【解析】试题分析：当已知数列的递推关系是和的关系时，一般采用两步去处理，第一步n=1时，求出，第二步对与作差，化为与的关系，分析与的关系，找出求通项公式的方法，进而求出通过写出，利用错位相减法求出数列的和，
注意运算的准确性.
试题解析：
(1)当;
当可得即
因此.
(2)-
①，
②,--
由①—②得：
-
【点睛】数列求和方法主要有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等，当有提供递推公式时，一般化为特殊数列（等差或等比）后再求和，当已知数列的递推关系是和
的关系时，一般采用两步去处理，第一步n=1时，求出，第二步对与作差，化为
与的关系，找出求通项公式的方法，进而求出
21.
.
.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：传统方法求二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出二面角的平面角，本题利用底面为正方形，三角形AEC为等腰三角形的特点做出二面角，进而求出，求线面角既可作出后再求，还可直接求出点B到平面的距离，再利用直角三角形的边角关系求出正弦值.
试题解析：
(1)连接与交于点，易得，
即二面角的平面角为,-
在中，,
(2)在交,
取，
-
因此-
.
【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.
22. 已知圆关于直线对称的圆为.
（1）求圆的方程；
（2）过点作直线与圆交于两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形中？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）圆的方程为；（2）存在直线和，它们与圆
交两点，且四边形对角线相等
【解析】试题分析：（1）将圆的一般方程转化为标准方程，将圆关于直线对称问题转化为点关于直线对称问题，进而求出圆的方程；（2）先由条件判定四边形为矩形，将问题转化为判定两直线垂直，利用平面向量是数量积为0进行求解.
试题解析：（1）圆化为标准为，
设圆的圆心关于直线的对称点为，则，
且的中点在直线上，
所以有，
解得：，
所以圆的方程为.
（2）由，所以四边形为矩形，所以.
要使，必须使，即：.
①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，与圆
交于两点，.
因为，所以，所以当直线的斜率不存在时，直线满足条件.
②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为.
设
由得：.由于点在圆内部，所以恒成立，
，
，，
要使，必须使，即，
也就是：
整理得：
解得：，所以直线的方程为
存在直线和，它们与圆交两点，且四边形对角线相等.
点睛：在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，如本题中当斜率不存在时也符合题意.。