湖南省长沙市高二数学 暑假作业7 函数性质综合 理 湘

作业7：
函数性质综合
参考时量：
60分钟
完成时间：
月
日
一、选择题
1、设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ C ）
A ．)()(x g x f 是偶函数
B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C.．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数
2、设函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则xf (x )<0的解集是(D )
A ．{x |－3<x <0或x >3}
B ．{x |x <－3或0<x <3}
C ．{x |x <－3或x >3}
D ．{x |－3<x <0或0<x <3}
解析：由xf (x )<0得⎩⎪⎨
⎪⎧
x <0
f x 或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x >0，
f x ，而f (－3)＝0，f (3)＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x <0
f x f －
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x >0
f x f
，因为函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内
是增函数， 所以函数在(－∞，0)内也是增函数， 故得－3<x <0或0<x <3.
答案：D
3、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“)(x f 为]1,0[上的增函数”是“()f x 为]4,3[上的减函数”的（ D ）
（A ）既不充分也不必要的条件 （B ）充分而不必要的条件 （C ）必要而不充分的条件 （D ）充要条件
4、若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于 ( B )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2 解：∵y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)
∴f (x )＝x 2
＋(1－a )x －a,1－a ＝0
∴a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1) (－3≤x ≤3) f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1. 5、函数()21=f x x ax x ++
在1,+2⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
是增函数,则a 的取值范围是（ ） (A)[-1,0] (B)[1,)-+∞ (C)[0,3] (D)[3,)+∞ 【答案】D
6、设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3
.又函
数g (x )=|x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13
[,]22
-上的零点个数为（ ） (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 【答案】B
【解析】因为当[0,1x ∈时，f (x )=x 3
. 所以当[1,2]-)[0,1]x x ∈∈时，(2，
f (x )=f (2-x )=(2-x )3，
当1
[0,]2x ∈时，g (x )=x cos ()x π；当13[,]22
x ∈时，g (x )= -x cos ()x π，注意到函数f (x )、
g (x )都是偶函数，且f (0)= g (0)， f (1)= g (1)，13()()022
g g ==，作出函数f (x )、 g (x )
的大致图象，函数h (x )除了0、1这两个零点之外，分别在区间1113[,0][][][1]2222
-、0,、,1、,上各有一个零点，共有6个零点，故选B
二、填空题
7、函数2
()log )f x x =的最小值为
8、已知()f x 是定义在R 上且周期为的函数，当[)0,3x ∈时，2
1
()22
f x x x =-+
，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有
个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是
9、已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1，x ≥0
1，x <0，则满足不等式f (1－x 2
)>f (2x )的x 的范围是________．
解析：f (x )＝
⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
＋1，x ≥01，x <0
的图象如图所示
不等式f (1－x 2
)>f (2x )等价于⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x 2
>0，
2x ≤0，或⎩⎪⎨⎪
⎧
1－x 2
>0，2x >0，1－x 2>2x ，
解得－1<x <2－1 答案：(－1，2－1)
10、设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当
x ∈[0,1]时f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则 ①2是函数f (x )的周期；
②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；
④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －3
.
其中所有正确命题的序号是________．
解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x ) 则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数 ①正确
当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1 f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121＋x
，函数y ＝f (x )的图象
如图所示：
当3<x <4时，－1<x －4<0
f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
x －3，因此②④正确．③不正确．
答案：①②④ 三、解答题
11、已知函数y ＝f (x )在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数． (1)求证：对任意x 1、x 2∈[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0； (2)若f (1－a )＋f (1－a 2
)＜0，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立． 若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1，
∵f (x )在[－1,1]上是减函数且为奇函数， ∴f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＞0. ∴[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)<0成立． 若x 1＋x 2＞0，则1≥x 1＞－x 2≥－1，
同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0， ∴[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)≤0成立． (2)∵f (1－a )＋f (1－a 2)＜0 ⇔f (1－a 2
)＜－f (1－a )＝f (a －1)，
∴由f (x )在定义域[－1,1]上是减函数得 ⎩⎪⎨⎪
⎧
－1≤1－a 2
≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤a 2
≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0.
解得0≤a ＜1.故所求a 的取值范围是[0,1)．
12、已知函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)
(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
f
x x >0，－f x
x <0.
求F (2)＋F (－2)的值；
(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b
2a
＝－1. 解得a ＝1，b ＝2，
∴f (x )＝(x ＋1)2
，∴F (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2
， x －x ＋2， x
，
∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2
＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2
＋bx ≤1在(0,1]恒成立即b ≤1x －x 且b ≥－1x
－
x 在(0,1]恒成立，1
x
－x 的最小值为0，
－1
x
－x 的最大值为－2.
所以－2≤b ≤0.
13、已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”.
(1)将函数3
2
()3g x x x =-的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标; (2)求函数2
2()log 4x
h x x
=- 图像对称中心的坐标; (3)已知命题:“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b,使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).
【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为3
2
(1)3(1)2y x x =+-++, 整理得3
3y x x =-,
由于函数33y x x =-是奇函数,
由题设真命题知,函数()g x 图像对称中心的坐标是(1 2)-，.
(2)设2
2()log 4x
h x x
=-的对称中心为( )P a b ，,由题设知函数()h x a b +-是奇函数. 设()(),f x h x a b =+-则22()()log 4()
x a f x b x a +=--+,即222()log 4x a
f x b a x +=---.
由不等式
2204x a
a x
+>--的解集关于原点对称,得2a =.
此时22(2)
()log (2 2)2x f x b x x
+=-∈--，，.
任取(2,2)x ∈-,由()()0f x f x -+=,得1b =, 所以函数2
2()log 4x
h x x
=-图像对称中心的坐标是(2 1)，. (3)此命题是假命题.
举反例说明:函数()f x x =的图像关于直线y x =-成轴对称图像,但是对任意实数a 和b ,函数()y f x a b =+-,即y x a b =+-总不是偶函数. 修改后的真命题:
“函数()y f x =的图像关于直线x a =成轴对称图像”的充要条件是“函数()y f x a =+是偶函数”.。