8由开环频率特性分析闭环系统

全线性坐标
0
r

27
闭环幅频特性的特点
单位反馈系统
1 如果开环传递函数中含有串联积分环节， 则 A(0) 1 ， 如果开环传递函数中不含有串联积分环节， 则 A(0) K ； 1 K
2 在低频段，闭环幅频特性变化缓慢，比较平滑；
28
3 随着 的增大，闭环幅频特性出现谐振峰值，
对应的角频率为谐振频率 r ，
22
如果高阶闭环系统的极点中，没有闭环主导极点， 仍然可以定性地认为：
开环频率特性的相角裕度 越大，系统单位阶跃
响应的超调量越小。
在保证足够大相角裕度的前提下，剪切频率 c 越大，tp 和 ts 就越小，系统的快速性越好。
23
分析高阶系统动态性能的最好办法是通过MATLAB 软件进行仿真。
20
10
0.02
0
20 0
40 0
600
17
结论
由开环频域指标 c 和 ， 可以求得闭环系统的
时域指标 tp、ts 和 p。
ctp

2 tan

2
1 M 2 1 1
cts

2
tan
ln

2 M 2 1 2 M 2 1 1

P e 2 M 2 11 100%
2
M 1 tan2
19
在相角裕度 一定的前提下，c 与 tp 成反比。
为什么？
ctp

2 tan

1 2 M 2 1 1
其中
M 1 2
tan2
20
在 c 一定的前提下，相角裕度 越大，超调量
p 越小。
为什么？

p e 2 M 2 11 100%
49
本次课内容总结
二阶系统开环频率特性和动态性能指标的关系 高阶系统开环频率特性和动态性能指标的关系 典型的闭环频率特性 二阶系统的闭环幅频特性与时域指标的关系 高阶系统的闭环幅频特性与时域指标的关系
50
n2
s2 2ns n2
(0 1)
32
闭环频率特性为
(
j)


j
2

n2 2n
j

n2
(0 1)
闭环幅频特性为
A()
n2
n2 2 2 2n 2
(0 1)
33
为了求得闭环谐振频率 r 及谐振峰值 Amax ，令
剪切频率 c n 1 4 4 2 2
时域指标
4
ts n
3
ts n
0.02 0.05
c与 ts 成什么
关系？
知识回顾
标准单位反馈二阶系统
时域指标 超调量
p

e
1 2
100%
递减关系
与 P成什么
频域指标 相角裕度
关系？
arctan
这两条结论也可以用来定性的估算高阶系统的 动态过程时域指标。
47
5.9.3 高阶系统的闭环幅频特性 与时域指标的关系
高阶系统的闭环幅频特性与时域性能指标的关系 十分复杂，计算也十分困难。
如果高阶系统有一对共轭虚数的闭环主导极点， 则可以用二阶系统的计算公式近似求解。
分析高阶系统的最好方法是运用MATLAB软件， 画出单位阶跃响应曲线，在此基础上进行分析。
谐振峰值为：Amax A(r )
定义相对谐振峰值为： M r

Amax A(0)
29
4 当角频率 r 以后， A() 迅速下降，当 A()
下降至 0.707A(0) 时，对应的角频率 b 称为
截止频率 。
A( )
Amax A(0) 0.707 A(0)
0
r b
30
定义 0 b 为系统的 通频带 ， 或称为闭环系统
14
定量关系之二
ctp

2 tan

2
1 M 2 1 1
cts

2
tan
ln

2 M 2 1 2 M 2 1 1
其中
M
1
2 tan 2

15
二阶系统相角裕度与峰值时间的关系
ctp
3
2 1
0
20 0
40 0
600
16
二阶系统相角裕度与过渡过程时间的关系
cts
90 0
600

300
00
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0

P
60%
40%
20%
0 00
20 0
40 0
60 0
小结 二阶系统的相角裕度越大， 则阻尼比越大， 超调量越小。
当 300 ～ 600 时，近似有 0.3 ～ 0.6 ，
进而有近似关系： 100 ， (0.3 0.6)
2
递增关系
1 4 4 2 2
5
定量关系之一

p e 1 2 100%
时域关系

频域关系
e 2 M 2 11 100%
其中
M
1
2 tan 2

根据这一关系，可以由相角裕度 推算
二阶闭环系统单位阶跃响应的超调量 p ，
但计算较为复杂。 也可用图解法，如下图所示。


d
d
A()

d
d

n2

2
n2
2

2n
2


0
得闭环谐振频率为
r 1 2 2n
34
闭环谐振峰值为
Amax

A() r


n2
n2 2 2 2n 2 r n2
n2 r2
其中
M
1
2
tan2
21
5.8.2 高阶系统开环频率特性和动态性能指标 的关系
高阶系统的频域指标和时域指标的关系不像二阶 系统那样简单。
如果高阶闭环系统的极点中， 有一对复数主导 极点， 则可以用二阶系统的计算公式，
由开环频域指标 c 和 ，求得闭环系统的时域指标
tp ，ts 和 p 。
45
2 在 M r 一定的情况下， 调整时间 ts 和闭环带宽
b 成反比。
2
M
2 r
1

2M
2 r
1
bts 3
Mr
M
2 r
1
0.05
2
M
2 r
1

2M
2 r
1
bts 4
Mr
M
2 r
1
0.02
46
为了提高系统的快速性，在保证超调量满足 设计指标的前提下， 应当尽量增大截止频率， 即尽量增大闭环系统的带宽。
2
M 1 tan2
18
反过来，由时域指标 tp 、ts 和 p ，也可以求得
开环频域指标 c 和 。
ctp

2 tan

1 2 M 2 1 1
cts

2
tan
ln

2 M 2 1 2 M 2 1 1

P e 2 M 2 11 100%
25
5.9 闭环频率特性与动态性能指标 的关系
5.9.1 典型的闭环频率特性
闭环传递函数： (s) Y (s) R(s)
闭环频率特性： ( j) Y ( j) (s)
R( j)
s j
A()e j ()
26
A( )
()
A( )
Amax A(0)
闭环幅频特性 闭环相频特性
剪切频率 c
与闭环时域指标：超调量 p、
峰值时间 tp 、
调整时间 ts
的关系。
2
知识回顾
标准单位反馈二阶系统
时域指标

p e 1 2 100%

tp

d

n
1 2
ts

4
n
ts

3
n
0.02 0.05
3
知识回顾
标准单位反馈二阶系统
频域指标
20% 9.5%
00
200 300 400
600
对于闭环系统中具有一对复数主导极点的高阶
系统， 可以由开环频域指标 —— 相角裕度 计算
计算时域指标 —— 超调量 p 。
13
对于闭环极点中具有一对离虚轴最近的极点， 但不构成主导极点的高阶系统， 仍然可以定性地 认为：为了使闭环系统具有较小的超调量，系统的 开环频率特性应有较大的相角裕度。
在工程实践中，常用如下的 经验公式 ：
1
p

0.16

0.4
1
sin
1
适用条件： 340 900
24
2
ts

c
2

1.5

1 sin

1

2.5

1 sin

2


1

适用条件： 340 900
40
0.05 的情况
bts
1 2 2
2

4
2

4
4n3Fra bibliotekn 3 1 2 2 2 4 2 4 4
41
0.02 的情况
bts
1 2 2
2

4
2

4
4
n

4
n
4 1 2 2 2 4 2 4 4
的 带宽 。
A( )
闭环幅 频特性
A(0) 0.707 A(0)
0
通频带
截止频率 b

5.9.2 二阶系统的闭环幅频特性 与时域指标的关系
1 闭环谐振频率 r与阻尼比 和超调量 p的关系
标准单位反馈二阶系统的开环传递函数为
G(s)
n2
s(s 2n )
闭环传递函数为
(s)
9

二阶系统开环频率特性的相角裕度 与阻尼比的局部近似关系图示
0.6
0.3
0
00
300
600
当 300 ～ 600 时， 相应的超调量为
p 37% ～ 9.5%
在这之间可以按照直线关系近似计算。
11
P
二阶系统开环频率特 性的相角裕度与单位
40% 37%
阶跃响应超调量的局 部近似关系图示
1 2
(0 2 )
2
或：

1
1
1
M
2 r
2
(M r 1)

p e 1 2 100%
上述公式的含义

1
1
1
M
2 r
2
系统的平稳性指标
Mr
频域指标
(M r 1)

p e 1 2 100%

p
时域指标
38
2 闭环带宽 b 与调整时间 ts 的关系
5.8 由开环频率特性分析闭环系统 的动态过程
5.8.1 二阶系统开环频率特性和动态性能指标 的关系
标准二阶系统的开环传递函数为
G(s)
n2
s(s 2n )
1
标准单位反馈二阶系统的闭环传递函数为
(s)

s2

n2 2n s
n2
(0 1)
这一节主要讨论开环频域指标：相角裕度 、
42
小结
b 1 2 2 2 4 2 4 4 n
0.05 的情况
bts

3

1 2 2
2 4 2 4 4
或：
2
M
2 r
1

2M
2 r
1
bts 3
Mr
M
2 r
1
43
0.02 的情况
2
M
2 r
1

2M
2 r
求取二阶系统的截止频率 b ，令：
A(b )
解得：
n2
0.707
n2 2 2 2n 2 b
b 1 2 2 2 4 2 4 4 n
39
二阶系统单位阶跃响应的调整时间为：
ts

3
n
ts

4
n
0.05 0.02
2

2nr2
2
r 1 2 2n
1
2 1 2
35
相对闭环谐振峰值为
1
Mr

Amax A(0)

2
1 2

1
2
1
1 2
36
最终求得闭环谐振频率 r 与阻尼比 的关系：
r 1 2 2n
(0 2 )
2
相对闭环谐振峰值为：
Mr 2
1
还有一些经验公式：
p

100 M r 1 %
50 M r 1 %
1 Mr 1.25 1.25 M r 2
ts

c
2 1.5M r
1

2.5M r

12

(1 M r 1.8)
c
开环剪切频率
Mr

1
sin
1
bts 4
Mr
M
2 r
1
44
结论
1 二阶系统的超调量 p 取决于闭环幅频特性的
相对谐振峰值 M r 。
当 M r 1.2 时， p 20% 当 M r 2 时， p 50%

1
1

1
M
2 r
2
(M r 1)

p e 1 2 100%