(优辅资源)四川省成都高三12月月考数学(理)试题 Word版含答案

成都经开区实验中学2014级高三上期12月月考试题
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)
注意事项：
1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2
{|160}A x x =-<，{5,0,1}B =-，则 （ ） A.A
B =∅ B ．B A ⊆
C ． {0,1}A B =
D ．A B ⊆
2.设复数z 为纯虚数，a R ∈，且10
13x a i
+=
-，则a 的值为（ ） A ． 3 B ． 1 C ．-3 D ．-1 3.命题“,x R x x ∀∈=”的否定是（ ） A.“,x R x x ∀∈≠”
B.“,x R x x ∃∈=”
C.“,x R x x ∃∈≠”
D.“,x R x x ∃∈=-”
4. 已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，则
23
1
a a a +等
于
（
）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
5．已知定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()4(x f x f =+，且在区间]2,0[上是增函数,那么0)0(<f 是函数)(x f 在区间]6,0[上有3个零点的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．必要不充分条件 6.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3
C π
=
，326,a c ==则b 的值为（ ）
A.3
B. 2
C. 16-
D. 16+
7.如图所示的五边形是由一个矩形截去一个角而得，且1BC =，2DE =，3AE =，
4AB =，则CD 等于（ ）
A ．
1223AB AE + B ．12
23AB AE - C. 1223AB AE -+ D ．12
23
AB AE --
8.已知函数()x x x f ωωcos sin 3+=（其中0>ω）的图像与直线2-=y 的2个相邻公共点之间的距离等于π，则()x f 的单调递减区间是（ ）
A. ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
++32,6ππππk k Z k ∈, B. ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
-
6,3
πππ
πk k Z k ∈,
C. 42,233k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣
⎦Z k ∈, D. ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-1252,122ππππk k Z k ∈, 9.已知抛物线2
:2(04)C y px p =<<的焦点为F ，点P 为C 上一动点，(4,0)A ，
()B p ,且||PA ||BF 等于（ ）
A ． 4
B ．
92 C. 5 D ．11
2
10. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为( )
A ．31
B ．13
C ．41
D ．32
11．已知椭圆：22
21(02)4x y b b
+=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于
,A B 两点，若22||||BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ）
A ．1 B
C ．
3
2
D
12.已知函数3,1
()2,1
x x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩，若关于x 的方程(())f f x a =存在2个实数根，则a 的
取值范围为（ ）
A ．[24,0)-
B ．(,24)
[0,2)-∞-
C.(24,3)- D ．(,24][0,2]-∞- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设x y ，满足约束条件802020x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪-≥⎩
，则2z x y =-的最小值为_________.
14．已知偶函数f(x)，当 [)0,2x ∈时， ()2sin f x x =，当 [)2,x ∈+∞时， 2()log f x x = 则 ()(4)3
f f π
-
+= .
15.设3234
0123455(12)2481632x a a x a x a x a x a x -=+++++，则
12345a a a a a ++++=_____________.
16.已知实数,a b 满足0a b ≥>，则2
214131⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++b b a a 的最小值为 .
三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（本小题满分12分） 已知函数
2
()sin()2sin .6
2
x
f x x π
=+
+ （1）求函数
()f x 的单调递增区间；
（2）记ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若3
(),2
f A ABC =
∆的面
积,2
S a =
=，求b c +的值。

18.已知函数23()2cos cos(
)1)2
f x x x x π
=++- （1）求)(x f 的最大值； （2）若3
12
π
π
<
<x ，且2
1
)(=
x f ，求x 2cos 的值.
19.如下图所示，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面
ABCD 所成的角为60°.
(1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F －BE －D 的余弦值；
(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．
20. （本小题满分12分）
如图，已知椭圆2
221(1)x y a a
+=>的长轴长是短轴长的2倍，右焦点为F ，点,B C 分别是
该椭圆的上、下顶点，点P 是直线:2l y =-上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ，记直线BM ，BP 的斜率分别为12k k ，.
（1）当直线PM 过点F 时，求PB PM 的值；
（2）求12||||k k +的最小值，并确定此时直线PM 的方程.
21．（本小题满分14分）
设函数()(1)ln(1),(1,0)f x x a x x x a =-++>-≥． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当1a =时，若方程()f x t =在1
[,1]2
-
上有两个实数解，求实数t 的取值范围； （Ⅲ）证明：当0m n >>时，(1)(1)n
m
m n +<+．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22． (本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以O 为原点，以x 轴正半轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程
为ρ2
﹣4ρsin θ+3=0，直线l
的参数方程为13x y ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
，（t 为参数）． （Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点A ，B 是曲线C 上的两动点，点P 是直线l 上一动点，求∠APB 的最大值．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知()|2||21|f x x x =+--，M 为不等式()0f x >的解集. （1）求M ；
（2）求证：当,x y M ∈时，||15x y xy ++<.
成都经开区实验中学2014级高三上期12月月考试题
数学（理工类）参考答案
1—5 CBCCD 6—10 DCABB 11—12 AB
2+ 15. 1- 16.
13
121
18.
解：23()2cos cos(
)1)2
π
=++-f x x x
x 2cos sin 2=x x x
sin 22=x x 2sin(2)3
π
=+x
（Ⅰ）因为x R ∈ ，最大值为2；
（Ⅱ）因为
3
12
π
π
<
<x ，故),2(32πππ
∈+
x ，由21)(=x f 得4
1)32sin(=+πx ， 则415
)3
2(sin 1)3
2cos(2-
=+
--=+
π
π
x x ，则 8
1532
341214153
sin
)3
2sin(3
cos
)3
2cos()332cos(2cos -=
+-=+
++
=-
+
=π
π
π
π
π
π
x x x x
19.(1)∵DE ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，又DE ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDE .-------------------------4分
(2)∵DE ⊥平面ABCD ，∴∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD ＝60°. ∴
＝
.由AD ＝3，得DE ＝3
，AF ＝
.
如图所示，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，
∴＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)．
设平面BEF的法向量为＝(x，y，z)，则
即.
令z＝，则＝(4,2，)．
∵AC⊥平面BDE，
∴＝(3，－3,0)为平面BDE的一个法向量，
∴cos〈，〉＝＝＝.
又二面角F－BE－D为锐角，故二面角F－BE－D的余弦值为.------8分
(3)依题意，设M(t，t,0)(0≤t≤3)，则＝(t－3，t,0)，
∴AM∥平面BEF，∴·＝0，
即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2.
∴点M的坐标为(2,2,0)，此时＝，
∴点M是线段BD上靠近B点的三等分点．--------12分
20.解：（1）由椭圆
2
2
2
1(1)
x
y a
a
+=>的长轴长是短轴长的2倍得2
a= (1)
分
由题意(0,1)B ，(0,1)C -
，焦点F ，当直线PM 过点F 时，则直线PM
的方程为
11y +=-
，即1y x =-，令2y =-
得x =
(2)P -.………………3分
联立22
141
3x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
解得717x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01x y =⎧⎨=-⎩
（舍），即1(,)77M .………………4分
因为(3,3)PB =
，15
)7
PM =，………………5分 所以454590
777
PB PM =
+=.………………6分 （2）设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)1
0k m m
---==--，
则直线PM 的方程为1
1y x m
=-
-，………………7分 联立22111
4y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得
2
2284(,)44
m m M m m --++，………………8分
所以2
2212
4121
4
8844
m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--
，………………10分
则1231||||||||4k k m m +=-+≥=，当且仅当31|
|||4m m -=，即m =±号.
所以12
||||k k +
此时直线PM 的方程为16
y x =±-.………………12分 21．（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）/
()1ln(1)f x a x a =-+-．
①0a =时，/()0f x >，∴()f x 在(1,)-+∞上是增函数．-----------------1分 ②当0a >时，由1()011a a
f x x e -'>⇒-<<-，由1()01a a
f x x e
-'<⇒>-，
∴()f x 在1(1,1]a a
e
---上单调递增，在1[1,)a a
e
--+∞上单调递减. ------2分
（Ⅱ）当1a =时，由（Ⅰ）知，()f x 在1
[,0]2
-
上单调递增，在[0,1]上单调递减， 又111
(0)0,(1)1ln 4,()ln 2222
f f f ==--=-+， ---------4分
∴135
(1)()ln 20222f f --=-<．
∴当11
[,ln 2,0)22
t ∈-+时，方程()f x t =有两解． -----------6分
（Ⅲ）∵0m n >>.∴要证：(1)(1)n
m
m n +<+只需证ln(1)ln(1),n m m n +<+
只需证：
ln(1)ln(1)
m n m n ++<． 设ln(1)
(),(0)x g x x x
+=
>， -----------8分 则22ln(1)
(1)ln(1)1()(1)
x
x x x x x g x x x x -+-+++'==
+． 由（Ⅰ）知(1)ln(1) x x x -++在(0,)+∞单调递减， -----------10分 ∴(1)ln(1)0x x x -++<，即()g x 是减函数，而m n >．
∴()()g m g n <，故原不等式成立． ------------12分
22【解答】解：（1）∵ρ2﹣4ρsin θ+3=0，∴曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣4y+3=0，即x 2
+（y ﹣2）2
=1．
∵直线l 的参数方程为，∴x ﹣1+y ﹣3=0，即x+y ﹣4=0．
（2）曲线C 的圆心C （0，2）到直线l 的距离d=＞1．
∴直线l 与圆C 相离．
过点P 作圆C 的切线，则当A ，B 为切点时，∠APB 最大．
全优好卷
全优好卷 连结OP ，OA ，则∠OPA=∠APB ，sin ∠OPA==． ∴当OP 取得最小值时，sin ∠OPA 取得最大值
，即∠OPA 的最大值为， ∴∠APB 的最大值为2∠OPA=
． 23.解：（1）3,2,1()31,2,213,2
x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩， 当2x <-时，由30x ->得，3x >，舍去； 当122x -≤≤
时，由310x +>得，13x >-，即1132
x -<≤； 当12x >时，由30x -+>得，3x <，即132
x <<. 综上，1(,3)3M =-.………………6分 （2）∵,x y M ∈，∴||3x <，||3y <，
∴
||||||||||||||||||||333315x y xy x y xy x y xy x y x y ++≤++≤++=++<++⨯=.………………10分。