最新人教A版高中数学必修5同步培优训练1.2 第1课时 距离和高度问题

第一章解三角形
1.2应用举例
第1课时距离和高度问题
课后篇巩固提升
1.如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是()
A.角A,B和边b
B.角A,B和边a
C.边a,b和角C
D.边a,b和角A
,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.
2.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD=200米,点C位于BD上,则山高AB等于()
A.100√2米
B.50(√3+1)米
C.100(√3+1)米
D.200米
AB=h,在Rt△ACB中,∠ACB=45°,
所以BC=AB=h.
在Rt△ABD中,∠D=30°,
所以BD=√3h.
又因为BD-BC=CD,即√3h-h=200,
=100(√3+1).
解得h=
√3-1
3.如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12 m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为()
A.6(3+√3)m
B.6(3-√3)m
C.6(3+2√3)m
D.6(3-2√3)m
{CD
sin60°=BD
sin(90°-60°)
,
CD sin45°=AD
sin(90°-45°)
⇒{BD=
√3
3
CD,
AD=CD
⇒AB=AD+BD=(1+√3
3
)CD=12⇒CD=6(3-√3)m,故
选B.
4.
如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°,北偏东45°方向,再往正东方向行驶20海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为()
A.20√6海里
B.10√6海里
C.10(1+√3)海里
D.20海里
AB,如图所示,
由题意可知CD=20,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°,∴∠CAD=45°,∠ADB=60°.
在△ACD中,由正弦定理,得AD
sin30°=20
sin45°
,
∴AD=10√2.
在Rt△BCD中,∵∠BDC=45°,∠BCD=90°,
∴BD=√2CD=20√2.
在△ABD中,由余弦定理,得AB=√200+800-2×10√2×20√2×cos60°=10√6(海里).故选B.
5.如图,地平面上有一根旗杆OP ,为了测得它的高度h ,在地面上取一基线AB ,AB=20 m,在A 处测得点P 的仰角∠OAP=30°,在B 处测得点P 的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高度为
( )
A .20(√3−√2)m .√4-√2
m
C .
√4-√3
m D .10(√3+√2)m
,得AO=√3h ,BO=h ,则在△ABO 中,由余弦定理,得AB 2=AO 2+BO 2-2AO ·BO ·cos 60°,即400=3h 2+h 2-√3h 2,解得h=√4-√3
(m).
6.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,且两条船与炮台底部的连线成30°角,则两条船之间的距离为 m .
A ,两条船分别为
B ,
C ,炮台底部为
D (如图),
则∠BAD=45°,∠CAD=30°,∠BDC=30°,AD=30 m . 在Rt △ABD 与Rt △ACD 中,tan 45°=DB AD ,tan 30°=DC
AD
, 则DB=30 m,DC=10√3 m .
在△DBC 中,由余弦定理,得BC 2=DB 2+DC 2-2DB ·DC cos 30°,即BC 2=302+(10√3)2-2×30×10√3×√3
,解得BC=10√3(m).
√3
7.台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动,离台风中心30 km 内的地区为危险区,城市B 在A 的正东40 km 处,B 城市处于危险区内的持续时间为 小时.
t 小时时,B 城市恰好处于危险区,则由余弦定理,得(20t )2+402-2×20t×40cos 45°=302,即4t 2-8√2t+7=0,∴t 1+t 2=2√2,t 1·t 2=7
4.故|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=√(2√2)2-4×7
4=1.
8.如图,某炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面C处和D处,已知CD=6 000 m,∠
ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面B处,测得∠BCD=30°,∠BDC=15°,求炮兵阵地与目标的距离.
∠ACD=45°,∠ADC=75°,得∠CAD=60°.
在△ACD中,由正弦定理,得CD
sin60°=AD
sin45°
,则AD=√6
3
CD.在△BCD中,可得∠CBD=135°,
由正弦定理,得BD=CDsin30°
sin135°=√2
2
CD.又∠ADB=∠ADC+∠BDC=75°+15°=90°,连接AB,则
在△ABD中,AB=√AD2+BD2=√42
6CD=√42
6
×6 000=1 000√42(m).
故炮兵阵地与目标的距离为1 000√42 m.
9.
如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A 处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1 km,求点B,D间的距离.
△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°.由正弦定理,得AD=ACsin120°
sin30°
=√3.
在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°,
由正弦定理,得AB=ACsin60°=3√2+√6.在△ADB中,∠BAD=180°-75°-30°=75°,由余弦定理,得BD=√AB2+AD2-2AB·ADcos75°
=√(3√2+√62
)2
+3-2×3√2+√62
×√3cos75°=3√2+√62
.即点B ,D 间的距离为3√2+√62
km .
,过点D 作DH 垂直于水平线于点H ,过点B 作BE 垂直于水平线于点E ,记AD 与BC 的交点为M.由已知,得∠CDA=∠DCH-∠DAC=60°-30°=30°,
所以∠DAC=∠CDA=30°, 所以AC=DC.
又易知∠MCD=∠MCA=60°,所以△AMC ≌△DMC , 所以M 为AD 的中点,所以BA=BD. 又在△ABC 中,∠ABC=75°-60°=15°, 所以AB=ACsin60°
sin15°=3√2+√62
, 所以BD=
3√2+√6
2
. 所以点B ,D 间的距离为
3√2+√6
2
km .。