江苏省江阴市四校2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析).doc

江苏省江阴市四校2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡相应位置.） 1.已知{}A 3,4=，B {1,=3，5}，则A B (⋃= ) A. {}3
B. {1,4，5}
C. {1,2，3，4，5}
D. {1,3，4，
5}
【答案】D 【解析】 【分析】
利用并集概念与运算直接得到结果. 【详解】
{}A 3,4=，B {1,=3，5}，
A B {1,∴⋃=3，4，5}，
故选：D ．
【点睛】本题考查并集的定义与运算，属于基础题.
2.函数1
()2f x x
=-的定义域为（ ） A. (1,2)
(2,)-+∞
B.
[)1,2(2,)-⋃+∞
C. (1,2)(2,)⋃+∞
D.
[)1,2(2,)⋃+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的解析式有意义，得到不等式组10
20x x +≥⎧⎨-≠⎩
，即可求解.
【详解】由题意，函数1
()2f x x =-满足1020x x +≥⎧⎨-≠⎩
，解得12x -≤<或2x >， 所以函数()f x 的定义域为[)1,2(2,)-⋃+∞.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的概念，以及根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
3.下列图象中，表示函数关系()y f x =的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的概念，对于每一个自变量x 有唯一的函数值y 与之相对应，即可求解.
【详解】由题意，根据的函数的概念，对于每一个自变量x 有唯一的函数值y 与之相对应， 对于A 、B 、C 中，出现了一个自变量x 有两个的函数值y 与之相对应，所以不能表示函数， 只有选项D 满足函数的概念. 故选：D .
【点睛】本题主要考查了函数的概念及其应用，其中解答中熟记函数的概念是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
4.已知()()()()23? 01? 0? 4?0x x f x x x x ⎧+>⎪
==⎨⎪+<⎩
则()()()
4f f f -= ( )
A. －4
B. 4
C. 3
D. －3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据自变量范围代入对应解析式，再根据()4f -范围代入对应解析式，最后根据()()
4f f -范围代入对应解析式得结果.
【详解】()()404440f <∴-=-+=－，
. ()()()401f f f ∴-==.于是()()()
()241134f f f f -==+=
故选B.
【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力.
5.设11,1,,32
α⎧⎫∈-⎨⎬⎩
⎭
，则使函数y x α
=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为
A. 1,3
B. 1,1-
C. 1,3-
D. 1,1,3-
【答案】A 【解析】
【详解】1
1,2
αα=-=
时，函数定义域不是R,不合题意； 1,3αα==时，函数y x α=的定义域为R 且为奇函数，合题意，
故选：A.
6.已知20.3a =，0.32b =，12
log 2c =，则,,a b c 的大小为（ ）
A. c b a >>
B. c a b >>
C. b a c >>
D. a b c >>
【答案】C 【解析】 【分析】
由指数函数的性质求得 (0,1)a ∈，(1,)b ∈+∞，再由对数函数的性质求得1c =-，即可得到答案.
【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得2
0.3(0,1)a =∈，0.3
2(1,)b ∈+∞=，
由对数函数的性质，可得12
log 21c ==-，
所以b a c >>. 故选：C.
【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数
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的图象与性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
7.函数y=log 12
(2x 2
-3x+1)的递减区间为（ ）
A .
（1，+∞）
B. （-∞，
3
4
］ C. （
1
2
，+∞） D. （-∞，
12
］ 【答案】A 【解析】
212log ,2310y u u x x ==-+> ，所以当12
x <时，()
,()()
u x y u y x ⇒
当1x >时，()
,()()
u x y u y x ⇒，即递减区间为（1，+∞），选A.
点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性. 8.设3
1
()5f x ax bx -=+-，其中,a b 为常数，若(7)7f =，则(7)f -=（ ）
A. -17
B. -7
C. 7
D. 17
【答案】A 【解析】 【分析】
设31
()g x ax bx -=+，得到函数()g x 为奇函数，再由(7)7f =，求得()712g -=-，进而由
()(7)75f g -=--，即可求解.
【
详
解
】
由
题
意
，
设
31
()g x ax bx -=+，则
3131()())()()(g x a x b x ax bx g x --=-=--=-+-+，
所以函数()g x 为奇函数，则()(7)7g g -=-
又由(7)7f =，可得()757g -=，即()712g =，所以()712g -=-， 所以()(7)7512517f g -=--=--=-. 故选：A.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中合理应用函数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9.函数()2x
f x x e =--+的零点所在区间为（ ） A. （-1,0） B. （0,1） C. （1,2） D. （2,3）
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的解析式，求得()()010f f ⋅<，根据函数的零点的存在定理，即可求解. 【详解】由题意，函数()2x
f x x e =--+，
可得0
1
0,(0)02()2011f e f e =--+=--+<>，所以()()010f f ⋅<，
根据函数的零点的存在定理，可得函数()f x 在区间(0,1)内有零点. 故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定，其中解答中熟记函数的零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
10.已知函数2
()()f x ax b a x b =+--为偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，则()0f x <的解
集为（ ） A. (,1)(0,1)-∞-
B. (,1)
(1,)-∞-+∞ C. (1,1)-
D.
(1,0)(1,
)
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，求得b a =，且0a <，得到函数的解析式
2()f x ax a =-，进而可求解不等式()0f x <的解集.
【详解】由题意，函数2
()()f x ax b a x b =+--为偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，
则()()f x f x -=，即22
()()()()a x b a x b ax b a x b -+---=+--，解得b a =，且0a <， 所以函数()f x 的解析式为2
()f x ax a =-，
又由()0f x <，即2
(1)(1)0ax a a x x -=+-<，解得1x <-或1x >，
所以不等式()0f x <的解集为(,1)(1,)-∞-+∞.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与函数的奇偶性的应用，其中解答中利用函数的性质，求得b a =且0a <，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11.设奇函数()f x 在(0)+∞，
上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()
f x f x x
--<的
解集为
（ ）
A. (1
0)(1)-⋃+∞，， B. (1)(01)-∞-⋃，， C. (1)(1)-∞-⋃+∞，
， D. (1
0)(01)-⋃，， 【答案】D 【解析】
由f (x )为奇函数可知，
()()
f x f x x
--＝
()2f x x
<0.
而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内
12. 若直角坐标平面内的亮点P ，Q 满足条件： P ，Q 都在函数y=f(x)的图像上， P ，Q 关于原点对称，则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”)。

已知函数22log ,0
(){4,0
x x f x x x x >=--≤，则此函数的“友好点对”有( )
A. 0对
B. 1对
C. 2对
D. 3对
【答案】C 【解析】
因为根据新定义可知，作图可知函数22log (0)
(){4(0)
x x f x x x x >=--≤，则此函数的“友好点对”有2
对，选C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应位置.） 13.函数()1
3x f x a -=+,(01)a a >≠且的图象必过定点______________
【答案】()1,4 【解析】
分析】
根据01a =确定函数图象定点.
【详解】因为01a =，所以当=1x 时，3+1=4y =，即过定点()1,4. 【点睛】本题考查指数函数性质，考查基本化简应用能力.
14.若函数f(x)R ，则a 的取值范围为________． 【答案】[－1,0] 【解析】 【分析】
函数()f x 的定义域为R 可以转化为2
2210x ax a
+--≥恒成立，即2
20x ax a +-≥恒成立，根
据判别式即可求出结果
【详解】因为函数()f x 的定义域为R ， 所以2
2210x
ax a
+--≥对x R ∈恒成立，
即220x ax a +-≥恒成立 因此有
2440a a =+≤
解得10a ≤≤－
则a 的取值范围为[]
10-， 故答案为[]
1
0-， 【点睛】本题主要考查了求复合函数的定义域问题，结合题意中定义域为R ，将其转换为一元二次函数问题，计算出判别式得到结果。

15.设()f x 为定义在R 上的偶函数，在[)0,+∞上为增函数，若(2)(21)f f x <+，则实数x 的取值范围是_______. 【答案】{3
|2
x x <-或12x ⎫>⎬⎭
【解析】 【分析】
由题意，函数()f x 的图象关于y 轴对称，且在[)0,+∞上为增函数，在(,0]-∞上为减函数， 可得(2)(21)f f x <+，即为212x +>，即可求解.
【详解】由题意，函数()f x 为定义在R 上的偶函数，在[)0,+∞上为增函数， 则函数()f x 的图象关于y 轴对称，且在[)0,+∞上为增函数，在(,0]-∞上为减函数， 又由(2)(21)f f x <+，所以212x +>，即212x +<-或212x +>， 解得32x <-
或12
x >，即实数x 的取值范围是{3
|2x x <-或12x ⎫
>⎬⎭
. 故答案为：{3
|2
x x <-
或12x ⎫>⎬⎭.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中合理利用函数的单调性
和奇偶性，把不等式(2)(21)f f x <+转化为212x +>是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16.已知()()314,1log ,1
a a x a x f x x x ⎧-+≤=⎨
>⎩
是R 上的减函数，则a 的取值范围是______．
【答案】11[,)73
【解析】
因为数()f x =()()314,(1)log ,? 1a a x a x x x ⎧-+<⎪⎨≥⎪⎩在R 上是减函数,所以310
01710
a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩
,求解可得
1173a ≤<,故答案为11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.
三、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内）
17.计算：（1
）113
322710(2))(2)0.25927
π----+；
（2）22log 4
log 132
3lg 3log 2lg 5+-⋅-.
【答案】(1) 95
12
；(2)4 【解析】 【分析】
（1）由实数指数幂的运算性质，准确计算，即可求解，得到答案； （2）根据对数的运算性质，准确计算，即可求解，得到答案. 【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：
原式111313
2323322222564154()1()()()]1[5395()][(2)]927433[183412
-----=--+-=--+=-+=.
（2）根据对数的运算性质，可得： 原式0
lg 2
43lg 3lg 541(lg 2lg 5)4lg 3
=+-⋅
-=+-+=. 【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简求值问题，其中解答中熟记指数幂和度数的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
18.已知集合A={x|x 2
-5x-6≤0}，B={x|m+1≤x≤3m -1}． （1）当m=3时，求A∩B．
（2）若B ⊆A ，求实数m 的取值集合C ． 【答案】（1）{x|4≤x≤6}； （2）{m|m 7
3
≤}. 【解析】 【分析】
（1）由题意，先求得集合,A B ，再根据集合的交集的运算，即可得到答案； （2）根据B A ⊆，分,B B φφ=≠两种情况分类讨论，即可求解． 【详解】（1）集合A={x|x 2
-5x-6≤0}={x|-1≤x≤6}， 当m=3时，B={x|4≤x≤8}． ∴A∩B={x|4≤x≤6}．
（2）当B=∅时，m+1＞3m-1，解得m ＜1，满足题意；
当B≠∅时，由题意13111316
m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，解得17
m 3≤≤．
综上知：实数m 的取集合C={m|m 7
3
≤
}． 【点睛】本题主要考查了交集的求法，以及根据集合的包含关系求解实数的取值范围问题，其中解答中熟记集合的运算的方法，以及合理分类讨论是解答本题的挂念，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用．
19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2
()42f x x x =-+-.
（1）当0x <时，求函数()f x 的解析式；
（2）设[](]
2(),4,1()log (2)1,1,6f x x g x x x ⎧∈--⎪=⎨+-∈-⎪⎩，作出()g x 的图象，并由图指出()g x 的单调区间和值域.
【答案】（1）2
()42,0f x x x x =++<； （2）图象见解析，增区间为()2,6-，减区间为(4,2)--，值域为[]22-,
. 【解析】
【分析】
（1）当0x <时，则0x ->，求得2
()42f x x x -=---，再利用函数为奇函数，即可求得函数的解析式；
（2）作出函数()g x 的图象，结合图象，即可求得函数的单调区间和值域.
【详解】（1）由题意，当0x <时，则0x ->，
因为当0x >时，2()42f x x x =-+-，则2()42f x x x -=---，
又由()f x 为奇函数，所以2()42()f x x x f x -=---=-， 所以2
()42,0f x x x x =++<.
（2）由题意，[](]2242,4,1()log (2)1,1,6x x x g x x x ⎧++∈--⎪=⎨+-∈-⎪⎩， 画出函数()g x 的图象，如图所示，
结合函数()g x 的图象，
可得函数()g x 的单调增区间为()2,6-，单调减区间为(4,2)--，值域为[]22-,
. 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的图象的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性的应用，以及准确作出分段函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
20.已知f(x)＝
24+x x ，x∈(－2，2)． (1) 判断f(x)的奇偶性并说明理由；
(2) 求证：函数f(x)在(－2，2)上是增函数；
(3) 若f(2＋a)＋f(1－2a)>0，求实数a 的取值范围．
【答案】(1) 见解析：(2) 见解析：(3)1,02a ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭
【解析】
【详解】试题分析：（1）定义域 关于原点对称，同时满足f(x)=-f(-x)，所以是奇函数。

（2）由定义法证明函数的单调性，按假设，作差，变形，判断，下结论过程完成。

（3）由奇函数，原不等式变形为f(2＋a)>－f(1－2a)＝f(2a －1)，再由函数单调性及定义域可知
，解不等式组可解。

试题解析：(1) 解：∵ f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴ f(x)是奇函数．
(2) 证明：设x1，x2为区间(－2，2)上的任意两个值，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－ ＝，
因为－2<x1<x2<2，所以x2－x1>0，x1x2－4<0，所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在(－2，2)上是增函数． (3) 解：因为f(x)为奇函数，所以由f(2＋a)＋f(1－2a)>0得，f(2＋a)>－f(1－2a)＝f(2a －1)， 因为函数f(x)在(－2，2)上是增函数， 所以即
故a∈.
21.某企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关
系如图（1）；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
（1）分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）1()(0)4f x x x =≥，5()(0)4
g x x x =≥.（2）A 产品投入3.75万元，则B 产品投入6.25万元，最大利润为
6516万元 【解析】
试题分析：（1）A 产品的利润与投资成正比，可设一次函数解析式1()f x k x =；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，可设幂函数形式：()g x k x =，根据图形找已知点代入求参数即得114k =，254
k =，最后写解析式时注意交代定义域（2）利润为,A B 两种产品利润之和，根据题意宜设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10x -万元，即得函数解析式15()(10)(10)(010)44y g x f x x x x =+-=
-+≤≤x 52
x =与定义区间10]位置关系得最值 试题解析：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元 由题设1()f x k x =，()g x k x =， 由图知1(1)4
f =，故114k =，又5(4)2
g =，∴254k =. 从而1()(0)4f x x x =≥，5()(0)4
g x x x =≥. （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10x -万元，设企业利润为y 万元
15()(10)10(010)44y f x g x x x x =+-=+-≤≤ 令10t x =-，则221051565()(010)444216
t y t t t -=+=--+≤≤ 当52t =时，max 6516
y =，此时 3.75x =. 考点：二次函数最值
22.已知0x =和1x =是函数32()2g x ax ax x b =-++的两个零点，
（1）求实数,a b 的值；
（2）设2
()()g x f x x = ①若不等式(ln )?ln 0f x k x -≥在2[,]x e e ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；
②若2(21)?3021
x x f k k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）1,0a b ==；（2）(],0-∞；（3）
【解析】
试题分析：（1）代入函数关系式，解方程可得实数,a b 的值；（2）①恒成立问题一般利用参变分离法转化为对应函数最值问题，再根据二次函数最值求法求得对应函数最小值，即得实数k 的取值范围；②化简不等式，通过换元可得关于一元二次不等式，结合二次函数图像确定满足三个解的条件，最后根据实根分布列不等式组，解不等式可得实数k 的取值范围. 试题解析：（1），由已知()()00,10g g ==，∴ 1,0a b ==
（2）由已知可得，
所以()ln ln 0f x k x -⋅≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立可化为1ln 2ln ln x k x x
+-≥⋅， 化为21112ln ln k x x ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭
，令1ln t x =，则， 因2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，故1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 记，因为1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，故()min 0h t =，
所以的取值范围是(],0-∞． 原方程可化为
， 令21x t -=则()0,t ∈+∞ ()()232210t k t k ∴-+++=有两个不等实根12,t t 且
1201,1t t <<=或1201,1t t <
记()h t = ()()2
3221t k t k -+++则 ()2101032012k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩
或()21010k h k +>⎧⎨=-<⎩ 两不等式组解集分别为ϕ与()0,+∞
k ∴的取值范围是()0,+∞
点睛：不等式有解，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即()f x a <恒成立⇔max ()a f x >，()f x a >恒成立⇔min ()a f x <.。