安徽省皖南八校高三数学第三次联考试题 文

安徽省皖南八校2014届高三第三次联考
数学文
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

）
1．设集合M ＝{(x,y )|y ＝lgx }，N ＝{x|y ＝lgx }，则在下列结论中正确的是( ) A.M ∩N ≠∅ B.M ∩N ＝∅ C.M ∪N ＝N D.M ∪N ＝M
2.在空间直角体系Oxyz 中，点A （－1,2,3）关于平面Oxy 的对称点是B ，则|AB |＝( )
A.2
B.4
C.6
D.2 5 3.已知命题p:∃x ∈(0,＋∞)，x －1≤lnx ,则⌝p 为( )
A .∃x ∈(0,＋∞),x －1＞lnx
B . ∃x ∈(0,＋∞),x －1≥lnx
C .∀x ∈(0,＋∞),x －1＞lnx
D . ∀x ∈(0,＋∞),x －1≥lnx
4.若tan θ＝3，则sin 2θ
1＋cos 2θ ( )
A. 3
B.－ 3
C.
33 D.－ 3 3
5.用m,n 表示不同的直线，α,β表示不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）
A.若m ⊥α，n ∥α则m ⊥n
B.若m ⊥n ，m ⊥α,n ⊥β则α⊥β
C.若m ∥α，m ⊂β,α∩β＝n,则m ∥n
D.若m ∥n ，m ⊂α,,则m ∥α 6.设复数z ＝2＋ai （a ∈R,i 是虚数单位），则-
z
z
（-
z 是的共轭复数）
是纯虚数的一个充分不必要条件是（ ）
A. a ＝2
B. a ＝±2
C. a ＝2
D. a ＝± 2
7.设抛物线x 2
＝4y 的准线与双曲线C: x 2a 2 - y 2b
2 (a>0,b>0)的
渐近线相交于A,B 两点，若|AB |=1，则双曲线的离心率是（ ） A. 5 B .
52 C .17 D.17
2
8.定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (1+x )=f (1-x )，
则函数y =f (x )在[0,10]内零点个数至少有（ ）个 A.3 B.4 C.5 D.6
9.如图所示是用模拟数方法估计椭圆x 24
+y 2
=1
面积S 近似值的程序框图，则图中空白框内应填入（ ） A.S=
N 500 B.M 500 C.4N 500 D.4M 500
10.设Sn 是等差数列{a n }的前n 项和，S 6≥21且S 15≤120， 则a 10的最大值是（）
A.12
B.10
C.8
D.7
2
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.已知函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)＋2 x ＜3
2x x ≥3,则f （log 23）=_________
12.假设要考察某公司生产的500克袋装奶粉的质量是否达标，现从800袋奶粉中随机抽取
10袋进行检测。

利用随机数表法抽取样本时，先将800袋奶粉按001，002，003，…，800进行编号，如果从随机数表第8行第8列的数开始往右读，请你写出最先抽到的5袋奶粉的编号依次是：___________________________________（注：下表为随机数表的第8行） 6301637859 1695556719 9810507175 1286735807 4439523879 13.在递减的等比数列{a n }中，a 1＝27，若a 1,a 2,-3+a 3成等差数列，则a 5_______ 14.由若干个棱长为1的正方体搭成的几何体，主视图与侧视图相同，（如图所示），则搭成
该几何体体积的最大值和最小值的和等于________________
15.过直线x =4上的动点P 作圆O:x 2+y 2
=4的两条切线PA ，PB
其中A ，B 是切点，则下列结论中正确的是_____（填上正确结论的序号） ①|OP |的最小值为4 ②→OP ·→AB =0 ③→OP ·→OA =4
④存在点P ，使△OAP 的面积等于11 ⑤任意点P ，直线AB 恒过定点。

三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16.（本小题满分12分）设函数f(x)=23sinxcosx -2sin 2
x. （1）求f(x)的值域和f(x)图像的对称轴方程
（2）在△ABC 中，A,B,C 表示三个内角，若f (C)＝1，求sin 2
A +sin 2
B -3sinAsinB 的值。

17.（本小题满分12分）已知函数f (x )=e x
x
（1）求函数f (x )的单调区间
（2）设g (x )=xf (x )-ax +1，若在(0,+∞)上存在极值点，求实数的取值范围。

18.（本小题满分12分）为了研究男羽毛球运动员的身高（x 单位：cm ）与体重y （单位：
kg ）的关系，通过随机抽样的方法，抽取5名运动员测得他们的身高与体重的关系如下表：
身高（x ） 172 174 176 178 180 体重（y ） 74 73 76 75 77
（1）从这5个人中随机抽取2个人，求这2个人体重之差的绝对值不小于2kg 的概率； （2）求回归直线方程y ^
=bx+a
19.（本小题满分13分）如图，已知ABCD 是圆锥SO 底面圆O 的内接矩形。

（1）当AB ＝AD 时，判断直线SA 与直线BD 的位置关系（不要证明） （2）设E 为SA 的中点，G 为△AOD 的重心，求证EG ∥平面SDC ；
（3）若圆锥SO 侧面展开图是半径为3，面积为3π的扇形，求圆锥SO 的体积。

20.（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221x y a b
+=（a >0,b >0）的离心率为1
2，F 1,F 2是其左
右焦点，过F 2的直线l 交于椭圆于A,B 两点，且△AF 1F 2的周长是6 2
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设N 点的坐标是（42,0）若→NA ·→
NB ＝18，求直线的l 方程。

A
D
21.（本小题满分13分）已知数列{a n }的前项和为S n ，且S n ＝n +23
a n （n ∈N ﹡）a 1=13
（1）求证：数列{
a n
n(n+1)
}为常数列，并求出数列{ a n }的通项公式； （2）设T n =1a 1 +1a 2 +1a 3
+…+1
a n
，若对任意的n ∈N ﹡，不等式T n <x -2lnx +m 恒成立，
求实数m 的取值范围。

参 考 答 案
一、选择题
2.选C 。

解析： B 为(1,2,3)--，||6AB =。

3.选C 。

解析：由全称命题与特称命题的关系知。

4.选A 。

解析：2
sin 22sin cos tan 1cos212cos 1
θθθ
θθθ===++- 5.选D 。

解析：m 可能在平面α内。

6.选A 。

解析：22
24424z ai a ai
z ai a ---==
++为纯虚数，则2a =±。

7.选A 。

解析： 1
y b y x a =-⎧⎪
⎨=±⎪⎩
故2||1a AB b =
=，225c a b e a +===。

8.选D 。

解析：()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，()(2)()f x f x f x ∴=-=--，
()(2)f x f x ∴=-+，故(0)(2)(4)(6)(8)(10)0f f f f f f ======。

9.选D 。

解析：从0到2产生的2000个随机数中，落入椭圆内部或边界的有M 个，则
420004S M =，故4500
M
S =。

10.选B 。

解析：法一：611511161521,151********,78S a d S a d a d a d =+≥=+≤∴+≥+≤。

又1011119(25)(7)(2)(57)a a d x a d y a d x y a x y d =+=+++=+++，得2
13,99
x y =-=。

1011213
(25)(7)99a a d a d ∴=-+++
213
781099≤-⨯+⨯=。

法二：设1,a x d y ==，25778
x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，
目标函数109a z x y ==+ 交点(1,1)处取到最小值10。

二、填空题
11.14 。

解析：2log 3222(log 3)(log 32)22214f f +=++=+=。

12.169,555,671,,105,071 。

第8行第8列的数为8，往后读每次读三位数，
859,169,555,671,998,105,071,751,在不超过800的前五个数。

13.
163。

解析：2213122423,5424270,,33
a a a q q q q =-+∴--===， 由{}n a 为递减等比数列，故2
3
q =
，5163a =。

14.14。

解析：最少的个数为4，最多的个数为10。

15.①②③⑤ 。

解析：①由点O 到直线4x =的距离为4，故①正确；
由平面几何知识知，OP AB ⊥，故②正确； 2||4OA OP OA u u u r u u u r g ==，故③正确；
257
x y +=78
x y +=
因为1||2||2
OAP S AP AP ∆=⨯⨯=
设0(4,)P y ，直线AB 的方程为044x y y +=，则直线AB 恒过定点(1,0)，故⑤正确； 三、解答题
16.
解：①2()cos 2sin f x x x x =-
2cos212sin(2)16
x x x π
+-=+- ………………………2分
∴()f x 的值域为[3,1]-。

………………………3分
当262x k ππ
π+
=+
时26
k x ππ
=
+（k Z ∈）
； …………………………4分 ()f x 的对称轴方程为26
k x ππ
=+（k Z ∈）。

…………………………6分 ②()2sin(2)116
f C C π
=+
-=，
sin(2)16C π
∴+=。

226
2
C k π
π
π∴+
=+
（k Z ∈）；
6
C k π
π∴=+
（k Z ∈）；
又(0,)C π∈6
C π
∴=
，即222222cos
6
c a b ab a b π
=+-=+。

…………………10分
故：22sin sin sin A B A B +21
sin 4
C ==。

……… …… ……12分
17.解：①(),(,0)(0,)x
e f x x x
=∈-∞⋃+∞
2
(1)
()x e x f x x -'∴=
…………………………2分 当()0f x '=时，1x =。

故：()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(,0)-∞和(0,1)。

…………………………6分 ②由()1,(0,)x y g x x e ax x =-=-+∈+∞
()x g x e a '=-
1）当1a ≤时()0x g x e a '=->，即()g x 在(0,)+∞上递增，此时()g x 在(0,)+∞上无极值
点。

…………………………9分 2）当1a >时()0x g x e a '=-=，ln x a =。

()0x g x e a '=->得(ln ,)x a ∈+∞；()0x g x e a '=-<得(0,ln )x a ∈。

故()g x 在(0,ln )a 上递减，在(ln ,)a +∞上递增，()g x 在(0,)+∞有极小值无极大值，极小值点为ln a 。

…………………………11分 故：a 的取值范围为(1,)a ∈+∞。

…………………………12分 18.解：①抽取的2个人的体重为： （74，73），（74，76），（74，75），（74，77）； （73，76），（73，75），（73，77）； （76，75），（76，77）； （75，77）。

满足条件的有6种情况， …………………………4分 故：2个人体重之差的绝对值不小于2kg 的概率
63
105
=。

…………………………6分 ② 176,75x y == …………………………8分
5
1
5
2
1
()()
()i
i i i
i x
x y y b x
x ==--=
-∑∑22222
4(1)(2)(2)012042
0.4
(4)(2)024-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=
=-+-+++4.6
a y bx =-=
ˆ0.4 4.6y
x ∴=+。

…………………………12分
19.解：①SA BD ⊥。

…………………………3分 注：若写“异面”给一分。

（证明：由四边形ABCD 是矩形且AB AD =，则四边形ABCD 为正方形，BD AC ⊥。

又圆锥SO ⊥底面圆O ，BD ⊂底面圆O ，所以BD SO ⊥。

又SO AC O ⋂=，SO ⊂平面SAC ，AC ⊂平面SAC ，故BD ⊥平面SAC 。

SA ⊂平面SAC ，即得SA BD ⊥。

）
证明：②延长OG 交AD 于点H ，则H 为AD 中点。

连接EH ，在SAD ∆中，,E H 分别为,SA AD 的中点，
则//EH SD 。

又EH ⊄平面SDC ，SD ⊂平面SDC ， //EH ∴平面SDC 。

……………………7分 同理在矩形ABCD 中，
,O H 分别为,AC AD 中点得//GH 平面SDC 。

EH ⊂平面EGH ，GH ⊂平面EGH ，EH GH H ⋂= ∴平面//EGH 平面SDC 由EG ⊂平面EGH
∴//EG 平面SDC 。

... (9)
分
解：③设圆锥的底面半径长为r ，母线长为l 。

则3,3l rl ππ==，故1r =。

…………………………11分
∴
圆锥的体积为21133r h r ππ==。

…………………………13分
20.
解：①由题意知，
1
,222c a c a =+=
，a c b ∴=== 故：椭圆E 的方程为22
186
x y +=。

…………………………6分
②由条件知直线l 的斜率不为0，设l
的方程为：x ty =+,A B 两点分别为1122(,),(,)x y x y
联立22
3424x y x ty ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩
得22(34)180t y ++-=
12122
18340y y y y t ⎧+=⎪⎪
-⎪
∴=⎨+⎪
∆>⎪⎪⎩
…………………………10分
12121212
2212122((18(1)()18(1)183418
NA NB x x y y ty ty y y t y y y y t t u u u r u u u r
g =--+=--+-=+-++=+-+= 1t ∴=± …………………………12分
故直线l
的方程为：x y =±+ …………………………13分
21.解：①由23n n n S a +=
，111
(2)3
n n n S a n --+=≥
1121
33
n n n n n n n a S S a a --++∴=-=
-，即111,1(1)(1)n n n n a a n a a n n n n n --+=
=-+-。

……………4分 由113a =
，11(1)26n a a n n ∴==+，即证(1)n a n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
是常数列且(1)
6n
n n a +=*n N ∈ ………6分 ②
1231111111111
6(1)6(1)62231n a a a a n n n
L L ++++=-+-++-=-<- ……9分 故2ln 6x x m -+≥，即62ln m x x ≥-+对任意的(0,)+∞上恒成立。

………10分 令()62ln f x x x =-+，则22()1x
f x x x
-'=-+
=。

当()0f x '=时，2x =， …………………………11分 当()0f x '>时，(0,2)x ∈； 当()0f x '<时，(2,)x ∈+∞；
所以()f x 的最大值为(2)42ln 2f =+，故4ln4m ≥+。

…………………………13分。