中考数学一轮复习精品讲义 二次函数 人教新课标版

中考数学一轮复习精品讲义 二次函数 人教新课标版
本章小结
小结1 本章概述
本章从实际问题的情境入手引出基本概念，引导学生自主探索变量之间的关系及其规律，认识二次函数及其图象的一些基本性质，学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系，掌握其基本的解决方法．本章的主要内容有两大部分：一部分是二次函数及其图象的基本性质，另一部分是二次函数模型．通过分析实例，尝试着解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力．
二次函数综合了初中所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中各种知识的总结．二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用． 小结2 本章学习重难点
【本章重点】 通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
【本章难点】 会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题． 【学习本章应注意的问题】
1．在学习本章的过程中，不要死记硬背，要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草
图，然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系，由简单的二次函数y ＝ax 2
(a ≠0)开始，总
结、归纳其性质，然后逐步扩展，从y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2一直到y ＝ax 2
＋bx ＋c ，最后总结出一般规律，符合从特殊到一般、从易到难的认识规律，降低了学习难度．
2．在研究抛物线的画法时，要特别注意抛物线的轴对称性，列表时，自变量x 的选取应以对称轴为界进行对称选取，要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征．
3．有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础，通过观察、操作、思考、交流、探索，加深对教材的理解，在学习数学的过程中学会与他人交流，同时，在学习本章时，要深刻理解两种思想和两种方法，两种思想指的是函数思想和数形结合思想，两种方法指的是待定系数法和配方法，在学习过程中，对数学思想和方法要认真总结并积累经验
小结3 中考透视
近几年来，各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题，尤其是全国各地中考试题中的压轴题，有三分之一以上是这一类题，试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查，特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题，主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力，同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.
知识网络结构图
二次函数的概念
二次函数的图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
专题总结及应用
二次函数 二次函数的性质 二次函数的应用 一元二次方程的近似解 一元二次不等式的解集 二次函数的最大(小)值 在实际问题中的应用
一、知识性专题
专题1 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象和性质
【专题解读】 对二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握．
例1 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图26－84所示，则下列结论：①a ＞0；②c ＞0；③b 2
－4ac ＞0．其中正确的个数是 ( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
分析 ∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵抛物线与y 轴交于正半铀，∴c ＞0;∵抛物线与x 轴
有两个交点，∴b 2
－4ac ＞0．故②③正确．故选C ．
【解题策略】 解此类题时，要注意观察图象的开口方向、与y 轴交点的位置以及与x 轴交点的个数．
例2 若y ＝ax 2
＋bx ＋c ，则由表格中的信息可知y 与x 之间的函数关系式是 ( )
x -1 0 1 ax 2 1 ax 2+bx +c
8
3
A ．y ＝x 2－4x ＋3
B ．y ＝x 2
－3x ＋4
C ．y ＝x 2－3x ＋3
D ．y ＝x 2
－4x ＋8
分析 由表格中的信息可知，当x ＝1时，ax 2＝1，所以a ＝1．当x =－1时，ax 2
＋bx ＋c ＝8，当x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3，所以c ＝3，所以1×(－1)2＋b ×(－1)＋3＝8，所以b ＝－4．故选A ．
【解题策略】 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的突破口是x ＝1时，ax 2
＝1，x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3和x ＝－1时，ax 2
＋bx ＋c ＝8．
例3 已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋1的大致图象如图26－85所示，则函数y ＝ax ＋b 的图象不经过 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 分析 由图象可知a ＜0，2b
a
-
＜0，则b ＜0，所以y ＝ax ＋b 的图象不经过第一象限．故选A ．
【解题策略】 抛物线的开口方向决定了a 的符号，b 的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定．
例4 已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (其中a ＞0，b ＞0，c ＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．其中正确的个数为 ( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
分析 由a ＞0，得抛物线开口向上，由2b
a
-
＜0，得对称轴在y 轴左侧，由c ＜0可知抛物线与y 轴交于负半轴上，可得其大致图象如图26—86所示，因此顶点在第三象限，故①③正确．故选C.
【解题策略】 此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质，解题时运用了数形结合思想．
例5 若A 113,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 31,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为二次函数y ＝x 2
＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大
小关系是 ( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
分析因为y＝x2＋4x＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以x=
13
4
-与x＝－
3
4
的函数值相同，因为抛物
线开口向上，所以当
5
4
-＜
3
4
-＜
1
4
时，y2＜y1＜y3．故选B．
【解题策略】此题考查了抛物线的增减性和对称轴，讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑，因此将
x=
13
4
-的函数值转化为x＝－
3
4
的函数值．
例6 在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－
3
2
(x－1)2的图象大致是(如图26—87所示) ( )
分析直线y＝－x＋1与y轴交于正半轴，抛物线y＝－3
2
(x－1)2的顶点为(1，0)，且开口向下．故选D．
专题2 抛物线的平移规律
【专题解读】当二次函数的二次项系数a相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x轴左、右平移，此时与k的值无关；顶点上、下变化，即沿y轴上、下平移，此时与h的值无关．其口诀是“左加右减，上加下减”．
例7 把抛物线y＝－2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 ( )
A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x－1)2
C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1
分析原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移一个单位后，顶点为(0，1)．故选C．
【解题策略】解决此题时，可以用“左加右减，上加下减”的口诀来求解，也可以根据顶点坐标的变化来求解．
例8 把抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝x2－3x ＋5，则 ( )
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
分析y＝x2－3x＋5变形为y＝
2
3
2
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＋5－
9
4
，即y＝
2
3
2
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＋
11
4
，将其向左平移3个单位，再向上平
移2个单位，可得抛物线y＝
2
3
3
2
x
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
＋
11
4
＋2，即y＝x2＋3x＋7，所以b＝3，c＝7．故选A．
【解题策略】此题运用逆向思维解决了平移问题，即抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y＝x2－3x＋5，那么抛物线y＝x2－3x＋5则向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得
到抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c ．
专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用
【专题解读】若抛物线经过原点，则c ＝0，若抛物线的顶点坐标已知，则2b
a
-和244ac b a -的值也被确定等
等，这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a ，b ，c 以及与之有关的代数式的值．
例9 如图26－88所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋3ax ＋a 2
－1的图象，则a 的值是 .
分析 因为图象经过原点，所以当x ＝0时，y ＝0，所以a 2
－1=0，a ＝±1，因为抛物线开口向下，所以a ＝－1.故填－1:
专题4 求二次函数的最值
【专题解读】 在自变量x 的取值范围内，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 在顶点24,24b ac b a a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
处取得最值．当a ＞
0时，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 开口向上，顶点最低，当x ＝2b
a
-时，y 有最小值为244ac b a -；当a ＜0时，抛物线
y ＝ax 2
＋bx ＋c 开口向下，顶点最高，当x ＝2b
a
-时，y 有最大值为244ac b a -．
例10 已知实数x ，y 满足x 2
＋2x ＋4y ＝5，则x ＋2y 的最大值为 .
分析 x 2＋2x ＋4y ＝5，4y ＝5－x 2
－2x ，2y ＝
12(5－x 2－2x )，x ＋2y ＝12
(5－x 2
－2x )＋x ，整理得x ＋2y ＝－12x 2＋52.当x ＝0时，x ＋2y 取得最大值，为52．故填5
2
． 专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
【专题解读】 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集．已知函数值，求自变量的对应值，就是解方程，已知函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式．
例11 已知二次函数y ＝ax 2
＋bx 的图象经过点(2，0)，(－1，6)． (1)求二次函数的解析式；
(2)不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y ＞0时x 的取值范围．
分析 (1)列出关于a ，b 的方程组，求a ，b 的值即可．(2)观察图象求出y ＞0的解集．
解：(1)由题意可知，当x ＝2时，y ＝0，当x ＝－1时，y ＝6，
则420,6,a b a b +=⎧⎨-=⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩
∴二次函数的解析式为y ＝2x 2
－4x ．
(2)图象如图26—89所示，由图象可知，当y ＞0时，x ＜0或x ＞2．
【解题策略】 求二次函数的解析式，其实质就是先根据题意寻求方程组，并解方程组，从而使问题得到解决．
二、规律方法专题
专题6 二次函数解析式的求法
【专题解读】 用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法．
(1)设一般式：y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)．
若已知条件是图象经过三个点，则可设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，即可求出a，b，c的值．
(2)设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．
(3)设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．
(4)设对称点式：y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)．
若已知二次函数图象上的对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)，将已知条件代入，求得待定系数a,m，最后将解析式化为一般式．
例12 根据下列条件求函数解析式．
(1)已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式；
(2)已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求此抛物线的解析式；
(3)已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(1，0)两点，且经过点M(0，1)，求此抛物线的解析式；
(4)已知抛物线经过(－3，4)，(1，4)和(0，7)三点，求此抛物线的解析式．
分析 (1)已知图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式．(2)已知抛物线的顶点坐标，应选用顶点式．(3)由于A(－l，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，因此应选用交点式．(4)显然已知条件是抛物线经过三点，故可用一般式，但由于(－3，4)，(1，4)是抛物线上两个对称点，因此选用对称点式更简便．
解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c
将(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)分别代入，
得
6,
2,
423,
a b c
a b c
a b c
-+=-
⎧
⎪
++=-
⎨
⎪++=
⎩
解得
1,
2,
5.
a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
∴所求的二次函数的解析式为y＝x2＋2x－5．
(2)∵抛物线的顶点为(－1，－3)，
∴设其解析式为y＝a(x＋1)2－3，
将点(0，－5)代入，得－5＝a－3，∴a＝－2，
∴所求抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2－3．
即y＝－2x2－4x－5．
(3)∵点A(－1，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)，
将点M(0，1)代入，得1＝－a，∴a＝－1，
∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y=－x2＋1
(4)∵抛物线经过(－3，4)，(1，4)两点，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)＋4，
将点(0，7)代入，得7＝a·3·(－1)＋4，∴a＝－1，
∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＋4，
即y＝－x2－2x＋7．
【解题策略】 (1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法，它们之间是相互联系的，不是孤立的.
(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的4种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果．
(3)求，函数解析式的问题，如果采用交点式、顶点式或对称点式，最后要将解析式化为一般形式．
三、思想方法专题 专题7 数形结合思想
【专题解读】 把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究．
例13 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图26－90所示，则点A (a ，b )在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 分析 由图象开口方向向下可知a ＜0，由对称轴的位置可知x ＝2b
a
-
＞0，所以b ＞0，故点A 在第二象限．故选B ．
【解题策略】 解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置． 专题8 分类讨论思想
【专题解读】 分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果．
例14 已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴交于B (1，0)，C (5，0)两点． (1)求此抛物线的解析式；
(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；
(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F )，最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E ，F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．
分析 (1)用待定系数法求a ，b ，c 的值．(2)用分类讨论法求直线CD 的解析式．(3)根据轴对称解决最短路径问题.
解：(1)根据题意，得c =3，所以30,25530,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得3,5
18.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
所以抛物线的解析式为y ＝35x 2－18
5
x ＋3．
(2)依题意可知，OA 的三等分点分别为(0，1)，(0，2)， 设直线CD 的解析式为y ＝k x ＋b ，
当点D 的坐标为(0，1)时，直线CD 的解析式为y ＝－1
5
x ＋1，
当点D 的坐标为(0，2)时，直线CD 的解析式为y ＝－2
5
x ＋2． (3)由题意可知M 30,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，如甲26－91所示，
点M 关于x 轴的对称点为M ′30,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
点A 关于抛物线对称轴x ＝3的对称点为A ′(6，3)，
连接A ′M ′，根据轴对称性及两点间线段最短可知，A ′M ′的长就是点P 运动的最短总路径的长．
所以A ′M ′与x 轴的交点为所求的E 点，与直线x ＝3的交点为所求的F 点． 可求得直线A ′M ，的解析式为y ＝
34x －32． 所以E 点坐标为(2，0)，F 点坐标为33,4⎛⎫
⎪⎝⎭
，
由勾股定理可求出A ′M ′＝
152
． 所以点P 运动的最短总路径(ME ＋EF ＋FA )的长为
152
． 【解题策略】 (2)中点D 的位置不确定，需要分类讨论，体现了分类讨论的数学思想．(3)中的关键是利用轴对称性找到E ，F 两点的位置，从而求出其坐标，进而解决问题．
专题9 方程思想
【专题解读】 求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y ＝0或x ＝0，通过解方程解决交点的坐标问题．求抛物线与x 轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况．
例15 抛物线y ＝x 2
－2x ＋1与x 轴交点的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
分析 可设x 2－2x ＋1＝0，Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，可得抛物线y ＝x 2
－2x ＋1与x 轴只有一个交点．故选B ．
【解题策略】 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的个数可由一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝o(a ≠0)的根的个数来确定．
专题10 建模思想
【专题解读】 根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题． 例16 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y (箱)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润W (元)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?
分析 (1)原来每箱售价50元，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，若提高(x －50)元，则平均每天少销售3(x －50)箱，所以提价后每天销售[90－3(x －50)]箱，即y ＝90－3(x －50).(2)每天的销售利润可用(x －40)[90－3(x －50)]来表示．(3)建立W 和x 之间的二次函数关系式，利用二次函数的最值求利润的最值． 解：(1)y ＝90－3(x －50)，即y ＝－3x ＋240．
(2)W ＝(x －40)(－3x ＋240)＝－3x 2
＋360x －9600，
(3)∵a ＝－3＜0，∴当x ＝2b
a
-
＝60时，W 有最大值， 又∵当x ＜60时，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝55时，W 取得最大值为1125元，
即每箱苹果的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．
【解题策略】 求实际问题的最值时，可通过建立二次函数关系式，根据二次函数的最值来求解． 例17 某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25％，设每双鞋的成本价为a 元． (1)试求a 的值；
(2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每
年投入广告费为x(万元)，则产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图26—92所示，可近似看作是抛物线的一部分．
①根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式；
②求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式，并计算广告费x(万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S(万元)随广告费的增多而增多．(注：年利润S＝年销售总额－成本费－广告费) 解：(1)由题意得a(1＋25％)＝250，解得a＝200(元)．
(2)①依题意可设y与x之间的函数关系式为y＝ax2＋bx＋1，
则
421 1.36,
1641 1.64,
a b
a b
++=
⎧
⎨
++=
⎩
，解得
0.01,
0.2,
a
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
∴y＝－0.01x2＋0.2x＋1．
②S＝(－0.01x2＋0.2x＋1)×10×250－10×200－x,
即S＝－25x2＋499x＋500，
整理得S=－25(x－9.98)2＋2990.01．
∴当0≤x≤9．98时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多．
例18 某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．(注：宾馆客房是以整间出租的)
(1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是元；
(2)设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是；
(3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y＝17600元，试求这天每间客房的价格是多少元．
分析本题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题．
解：(1)18000
(2)y=
1
2
-x2＋10x＋18000
(3)当y＝17600时，
－1
2
x2＋10x＋400=0，
即x2－20x－800＝0．
解得x＝－20(舍去)或x＝40．
180＋40＝220，
所以这天每间客房的价格是220元．
例19 （09·泰安）如图26－93(1)所示，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝
3
-x＋m
与x轴交于点E．
(1)求点E的坐标；
(2)求过A，O，E三点的抛物线的解析式．
解：(1)如图26－93(2)所示，过A作AF⊥x轴于F，
则OF=OA cos 60
°=1，AF=OF tan 60°=3，∴点A(1，3)．
代入直线解析式，得
3
-×1＋m＝3，∴m＝
43
，
∴y=
3
-x＋
43
.
当y=0时，
3
-x＋
43
=0，
解得x＝4，∴点E(4，0)．
(2)设过A，O，E三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线过原点，∴c＝0，
∴
3,
1640,
a b
a b
⎧+=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
解得
3
,
43
.
a
b
⎧
=-
⎪
⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
∴抛物线的解析式为y＝
3
-x2＋
43
x.
例20 如图26－94所示，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．
(1)求点B的坐标；
(2)求过点A，O，B的抛物线的表达式．
解：(1)如图26－95所示，过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，则AF＝2，OF＝1．
∵OA⊥OB，
∴∠AOF＋∠BOE＝90°．
又∵∠BOE＋∠OBE＝90°，
∴∠AOF＝∠OBE．
∴Rt△AFO∽Rt△OEB．
∴BE OE OB
OF AF OA
==＝2
∴BE＝2，OE＝4．
∴B(4，2)．
(2)设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
则
2,
1642,
0.
a b c
a b c
c
-+=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪=
⎩
解得
1
,
2
3
,
2
0.
a
b
c
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=-
⎨
⎪
=
⎪
⎪
⎩
∴所求抛物线的表达式为y＝1
2
x2－
3
2
x.
例21如图26－96所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．
解：(1)已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，
∴
01,
200,
b c
c
=++
⎧
⎨
=++
⎩
解得
3,
2,
b
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
∴所求抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2．
(2)∵A(1，0)，B(0，2)，∴OA＝1，OB＝2，
可得旋转后C点的坐标为(3，1)．
当x＝3时，由y=x2－3x＋2得y＝2，
可知抛物线y＝x2－3x＋2过点(3，2)．
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C
∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2－3x＋1．
例22 如图26－97所示，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，与x 轴交于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．
解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，
∴
40,
4 4.
a b a
a
--=⎧
⎨
-=
⎩
解得
1,
3. a
b
=-⎧
⎨
=
⎩
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4．
(2)如图26－98所示，点D(m，m＋1)在抛物线上，
∴m＋1＝－m2＋3m＋4，
即m2－2m－3＝0，∴m＝－1或m＝3．
∵点D在第一象限，∴点D的坐标为(3，4)．
由(1)得B点的坐标为(4，0)，
∴OC=OB，∴∠CBA＝45°．
设点D关于直线BC的对称点为点E．
∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD＝3，
∴∠ECB＝∠DCB＝45°，
∴E点在y轴上，且CE＝CD＝3．
∴OE＝1，∴E(0，1)．
即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．
2011中考真题精选
一、选择题
1.（2011内蒙古呼和浩特，8，3）已知一元二次方程x2+bx-3=0的一根为-3，在二次函数y=x2+bx-3的图象上
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．
2.（2011黑龙江牡丹江，18，3分）抛物线y=ax2+bx﹣3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）
A、﹣2
B、2
C、15
D、﹣15
考点：二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值。

分析：根据图象上点的性质，将（2，4）代入得出4a+2b=7，即可得出答案．
解答：解：∵y=ax2+bx﹣3过点（2，4），
∴4=4a+2b﹣3，
∴4a+2b=7，
∴8a+4b+1=2×7+1=15，
故选：C．
点评：此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及代数式求值，根据题意得出4a+2b=7是解决问题的关键．
二、解答题
1.（2011•泰州，27，12分）已知二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）
（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P（m+2，y3）在这个二次函数的图象上，
①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
考点：二次函数图象上点的坐标特征；三角形三边关系。

专题：计算题。

分析：（1）把（﹣2，5）代入二次函数y=x2+bx﹣3，求出b，根据图象的对称轴即可得出y的范围；
（2）①不能，因为代入求出y1=5，y2=12，y3=21，不符合三边关系定理；②求出y1+y2﹣y3的值即可．
解答：（1）解：把（﹣2，5）代入二次函数y=x2+bx﹣3得：5=4﹣2b﹣3，
∴b=﹣2，
y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x=1，
把x=1代入得：y=﹣4，
把x=3代入得：y=0，
∴当1＜x≤3时y的取值范围是﹣4＜y≤0，
答：b的值是﹣2，当1＜x≤3时y的取值范围是﹣4＜y≤0．
（2）①答：当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当m=4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P（6，y3），
代入抛物线的解析式得：y1=5，y2=12，y3=21，
∵5+12＜21，
∴当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：（m﹣1）2﹣4+（m+1﹣1）2﹣4﹣[（m+2﹣1）2﹣4]=（m﹣2）2，
∵m≥5，
∴（m﹣2）2＞0，
∴当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长．
点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能正确根据定理进行计算是解此题的关键．
一、选择题
1.（2011•江苏宿迁，8，3）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）
A、a＞0
B、当x＞1时，y随x的增大而增大
C、c＜0
D、3是方程ax2+bx+c=0的一个根
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系。

专题：计算题。

分析：根据图象可得出a＜0，c＞0，对称轴x=1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与﹣1到x=1的距离相等，得出另一个根．
解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故A选项错误；
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，故B选项错误；
∵对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小；故C选项错误；
∵对称轴x=1，∴另一个根为1+2=3，故D选项正确．
故选D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的图象与系数的关系，是基础知识要熟练掌握．
2.（2011江苏无锡，9，3分）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）
A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1
C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣3
考点：二次函数的性质。

专题：计算题。

分析：采用逐一排除的方法．先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可．
解答：解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴可排除B 、D ，
将点（0，1）代入A 中，得（x ﹣2）2+1=（0﹣2）2
+1=5，错误，
代入C 中，得（x ﹣2）2﹣3=（0﹣2）2
﹣3=1，正确． 故选C ．
点评：本题考查了二次函数的性质．关键是根据对称轴，点的坐标与抛物线解析式的关系，逐一排除． 3. （2011江苏无锡，10，3分）如图，抛物线y=x 2
+1与双曲线y=
x
k
的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式x
k +x 2
+1＜0的解集是（ ）
A ．x ＞1
B ．x ＜﹣1
C ．0＜x ＜1
D ．﹣1＜x ＜0
考点：二次函数与不等式（组）。

专题：数形结合。

分析：根据图形双曲线y=x k 与抛物线y=x 2
+1的交点A 的横坐标是1，即可得出关于x 的不等式x
k +x 2+1＜0的解集．
解答：解：∵抛物线y=x 2
+1与双曲线y=x
k
的交点A 的横坐标是1， ∴关于x 的不等式
x
k +x 2
+1＜0的解集是﹣1＜x ＜0． 故选D ．
点评：本题主要考查了二次函数与不等式．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解双曲线与二次函数的解析式．
4. （2011江苏镇江常州，8，2分）已知二次函数y ＝－x 2
＋x －
1
5
，当自变量x 取m 时对应的值大于0，当自变量x 分别取m ﹣1．m +1时对应的函数值为y 1．y 2，则y 1．y 2必须满足（ ） A ．y 1＞0．y 2＞0 B ．y 1＜0．y 2＜0 C ．y 1＜0．y 2＞0 D ．y 1＞0．y 2＜0
考点：抛物线与x 轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征． 专题：计算题．
分析：根据函数的解析式求得函数与x 轴的交点坐标，利用自变量x 取m 时对应的值大于0，确定m ﹣1．m +1的位置，进而确定函数值为y 1．y 2． 解答：解：令y ＝－x 2
＋x －
1
5
=0， 解得：x 535
， ∵当自变量x 取m 时对应的值大于0，
∴
510
-＜m
＜510+，
∴m ﹣1
＜
510
-，m +1
＞510+，
∴y 1＜0．y 2＜0．
故选B ． 点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点和二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求得抛物线与横轴的交点坐标．
5. （2011山西，12，2分）已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴为直线1x =，则下列结论
正确的是（ ）
A ．0ac >
B ．方程20ax bx c ++=的两根是121,3x x =-=
C ． 20a b -=
D ． 当x > 0时，y 随x 的增大而减小
考点：二次函数的图象及性质 专题：二次函数
分析：由二次函数的图象知0a ＜，，0c > ，所以0ac ＜．故A 错．由-
12b
a
=，知C 错．由二次函数的图象知当x > 1时，y 随x 的增大而减小，所以D 错，故选B ．
解答：B
点评：此题是针对学生的易错点设计的．掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
6.（2011陕西，10，3分）若二次函数c x x y +-=62
的图像过),23(),,2(),,1(321y C y B y A +-三点，则3
21y y y 、、大小关系正确的是（ ）
A ．321y y y >>
B ．231y y y >>
C ．312y y y >>
D ．213y y y >> 考点：二次函数图象上点的坐标特征。

专题：函数思想。

分析：根据二次函数图象上点的坐标特征，将),23(),,2(),,1(321y C y B y A +-分别代入二次函数的解析式y=x 2
﹣
6x+c 求得y 1，y 2，y 3，然后比较它们的大小并作出选择．
解答：解：根据题意，得y 1=1+6+c=7+c ，即y 1=7+c ； y 2=4﹣12+c=﹣8+c ，即y 2=﹣8+c ； y 3=9+2+62﹣18﹣62+c=
﹣7+c ，即y 3=﹣7+c ；∵8＞﹣7＞﹣8，∴7+c ＞﹣7+c ＞﹣8+c ，即y 1＞y 3＞y 2．
第12题。